Luyện tập giải bài toán bằng cách lập phương trình
Giải bài 45 sgk trang 59 đại số 9 tập 2
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.Bài giải:
Gọi x là số tự nhiên nhỏ hơn, điều kiện x $\geq$ 0
Số tự nhiên liền sau x sẽ là x + 1
Tích của hai số tự nhiên này là x.(x + 1)
Tổng của chúng là x + (x + 1) = 2x + 1
Theo đề ta có phương trình: x.(x + 1) = 2x + 1 + 109 <=> $x^2$ + x - 2x - 110 = 0 <=> $x^2$ - x - 110 = 0
Giải phương trình $x^2$ - x - 110 = 0
$\Delta$ = $(-1)^2$ - 4.1.(-110) = 1 + 440 = 441 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{441}$ = 21
Phương trình có hai nghiệm: $x_1$ = $\frac{-(-1) + 21}{2}$ = 11, $x_2$ = $\frac{-(-1) - 21}{2}$ = -10
Nghiệm x = -10 không thỏa mãn điều kiện nên số tự nhiên nhỏ là 11.
Vậy hai số cần tìm là 11 và 12
Giải bài 46 sgk trang 59 đại số 9 tập 2
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 $m^2$. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.Bài giải:
Gọi x (m) là chiều rộng của hình chữ nhật, điều kiện x > 0
Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là $\frac{240}{x}$
Sau khi thay đổi kích thước thì mảnh đất mới có:
Chiều rộng là x + 3 (m)
Chiều dài là $\frac{240}{x}$ - 4 (m)
Diện tích là (x + 3).($\frac{240}{x}$ - 4) ($m^2$)
Theo đề bài ta có phương trình: (x + 3).($\frac{240}{x}$ - 4) = 240 <=> (x + 3).(240 - 4x) = 240x
<=> 240x - 4$x^2$ + 240.3 - 12x - 240x = 0 <=> - 4$x^2$ - 12x + 720 = 0 <=> $x^2$ + 3x - 180 = 0
Giải phương trình $x^2$ + 3x - 180 = 0
$\Delta$ = $3^2$ - 4.1.(-180) = 9 + 720 = 729 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{729}$ = 27
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-3 + 27}{2}$ = 12, $x_2$ = $\frac{-3 - 27}{2}$ = -15
Nghiệm x = -15 không phù hợp với điều kiện. Nên chỉ chọn x = 12
Vậy chiều rộng của mảnh đất là 12 m và chiều dài là 240 : 12 = 20 m
Giải bài 47 sgk trang 59 đại số 9 tập 2
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.Bài giải:
Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x (km/h), điều kiện x > 3
Vận tốc xe của cô Liên sẽ là (x - 3) (km/h)
Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là $\frac{30}{x}$ (giờ)
Thời gian cô Liên đi từ nhà lên tỉnh là $\frac{30}{x - 3}$ (giờ)
Theo đề ta có phương trình: $\frac{30}{x - 3}$ - $\frac{30}{x}$ = $\frac{1}{2}$
<=> 60x - 60(x - 3) = x(x - 3) <=> 60x - 60x + 180 = $x^2$ - 3x <=> $x^2$ - 3x - 180 = 0
Giải phương trình $x^2$ - 3x - 180 = 0
$\Delta$ = $(-3)^2$ - 4.1.(-180) = 9 + 720 = 729
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{729}$ = 27
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-3) + 27}{2}$ = 15, $x_2$ = $\frac{-(-3) - 27}{2}$ = -12
Nghiệm x = -12 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy vận tốc xe của bác Hiệp là 15 (km/h)
Và vận tốc xe của cô Liên là 15 - 3 = 12 (km/h)
Giải bài 48 sgk trang 59 đại số 9 tập 2
Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5 dm để làm thành một cái thùng không nắp có dung tích 1500 $dm^3$. Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.Bài giải:
Gọi chiều rộng của miếng tôn khi chưa cắt là x (dm), điều kiện x > 0
Chiều dài miếng tôn sẽ là 2x (dm)
Với cách cắt nêu trong đề bài thì cái thùng không nắp có
Chiều rộng là x - 10 (dm)
Chiều dài là 2x - 10 (dm)
Chiều cao là 5 (dm)
Khi đó dung tích của thùng là: (2x - 10).(x - 10). 5 ($dm^3$)
Theo đề bài ta có phương trình: (2x - 10).(x - 10). 5 = 1500
<=> 10$x^2$ - 50x - 100x + 500 - 1500 = 0 <=> 10$x^2$ - 150x - 1000 = 0 <=> $x^2$ - 15x - 100 = 0
Giải phương trình $x^2$ + 15x - 100 = 0
$\Delta$ = $(-15)^2$ - 4.1.(-100) = 225 + 400 = 625
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{625}$ = 25
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-15) + 25}{2}$ = 20, $x_2$ = $\frac{-(-15) - 25}{2}$ = -5
Nghiệm x = -5 không thỏa mãn điều kiện
Vậy miếng tôn ban đầu có chiều rộng 20 (dm) và chiều dài là 40 (dm)
Giải bài 49 sgk trang 59 đại số 9 tập 2
Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc?Bài giải:
Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày), điều kiện x > 4
Đội II làm xong việc một mình hết x + 6 (ngày)
Như vậy, mỗi ngày:
- Đội I làm xong được $\frac{1}{x}$ (công việc)
- Đội II làm xong được $\frac{1}{x + 6}$ (công việc)
- Cả hai đội làm xong được $\frac{1}{4}$ (công việc)
Khi đó ta có phương trình: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 6}$ = $\frac{1}{4}$
<=> 4(x + 6) + 4x = x(x + 6) <=> 4x + 24 + 4x = $x^2$ + 6x <=> $x^2$ + 6x - 4x - 4x - 24 = 0 <=> $x^2$ -2x - 24 = 0
Giải phương trình $x^2$ -2x - 24 = 0
$\Delta'$ = $(-1)^2$ - 1.(-24) = 1 + 24 = 25
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{25}$ = 5
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-1) + 5}{1}$ = 6, $x_2$ = $\frac{-(-1) - 5}{1}$ = -4
Nghiệm x = -4 không thỏa mãn điều kiện
Vậy khi làm một mình, đội I xong việc trong 6 ngày, đội II xong việc trong 12 ngày.
Giải bài 50 sgk trang 59 đại số 9 tập 2
Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 $cm^3$, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/$cm^3$. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.Bài giải:
Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là x (g/$cm^3$), điều kiện x > 1
Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là x - 1 (g/$cm^3$)
Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là $\frac{880}{x}$ ($cm^3$)
Thể tích của miếng kim loại thứ hai là $\frac{858}{x - 1}$ ($cm^3$)
Theo đề bài ta có phương trình: $\frac{858}{x - 1}$ - $\frac{880}{x}$ = 10
<=> 858x - 880(x - 1) = 10x(x - 1) <=> 858x - 880x + 880 = 10$x^2$ - 10x <=> 10$x^2$ - 10x - 858x + 880x - 880 = 0 <=> 10$x^2$ - 12x - 880 = 0 <=> 5$x^2$ - 6x - 440 = 0
Giải phương trình 5$x^2$ - 6x - 440 = 0
$\Delta'$ = $(-3)^2$ - 5.(-440) = 9 + 2200 = 2209
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{2209}$ = 47
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-3) + 47}{5}$ = 8,8; $x_2$ = $\frac{-(-3) - 47}{5}$ = -10
Nghiệm x = -10 không thỏa mãn điều kiện
Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 8,8 (g/$cm^3$)
Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 7,8 (g/$cm^3$)
Giải bài 51 sgk trang 59 đại số 9 tập 2
Người ta đổ thêm 200 g nước vào một dung dịch chứa 40 g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước?Bài giải:
Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước vào là x (g), điều kiện x > 0. Khi đó khối lượng dung dịch là x + 40 (g)
Nồng độ muối trong dung dịch là $\frac{40}{x + 40}$
Nếu đổ thêm 200g nước vào thì khối lượng dung dịch sẽ là x + 40 + 200 = x + 240 (g)
Nồng độ dung dịch lúc này là $\frac{40}{x + 240}$
Theo đề nồng độ muối giảm 10% nên ta có phương trình: $\frac{40}{x + 40}$ - $\frac{40}{x + 240}$ = $\frac{10}{100}$
<=> 4000(x + 240) - 4000(x + 40) = 10(x + 40)(x + 240)
<=> 4000(x + 240 - x - 40) = 10$x^2$ + 400x + 2400x + 96000 <=> 10$x^2$ + 400x + 2400x + 96000 - 800000 = 0
<=> 10$x^2$ + 2800x - 704000 = 0 <=> $x^2$ + 280x - 70400 = 0
Giải phương trình $x^2$ + 280x - 70400 = 0
$\Delta'$ = $(140)^2$ - 1.(-70400) = 19600 +70400 = 90000
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{90000}$ = 300
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-140 + 300}{1}$ = 160; $x_2$ = $\frac{-140 - 300}{1}$ = -440
Nghiệm x = -440 không thỏa mãn điều kiện
Vậy trước khi thêm nước, dung dịch chứa 160 g nước.
Giải bài 52 sgk trang 60 đại số 9 tập 2
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay trở lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả là 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.Bài giải:
Giả sử vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h), điều kiện x > 3
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x + 3 (km/h)
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là x - 3 (km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng là $\frac{30}{x + 3}$ (giờ)
Thời gian ca nô ngược dòng là $\frac{30}{x - 3}$ (giờ)
Ca nô nghỉ ở bến B 40 phút = $\frac{2}{3}$ (giờ)
Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{30}{x + 3}$ + $\frac{30}{x - 3}$ + $\frac{2}{3}$ = 6 <=> 90(x - 3) + 90(x + 3) + 2(x + 3)(x - 3) = 18(x + 3)(x - 3) <=> 90(x - 3 + x + 3) + 2$x^2$ - 18 = 18$x^2$ - 162 <=> 18$x^2$ - 162 - 2$x^2$ + 18 - 180x = 0 <=> 16$x^2$ - 180x - 144 = 0 <=> 4$x^2$ - 45x - 36 = 0
Giải phương trình 4$x^2$ - 45x - 36 = 0
$\Delta$ = $(45)^2$ - 4.4.(-36) = 2025 +576 = 2601
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{2601}$ = 51
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-45) + 51}{8}$ = 12; $x_2$ = $\frac{-(-45) - 51}{8}$ = -$\frac{6}{8}$ = -$\frac{3}{4}$
Nghiệm x = -$\frac{3}{4}$ không thỏa mãn điều kiện.
Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.
Giải bài 53 sgk trang 60 đại số 9 tập 2
Tỉ số vàng. Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn hơn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ hơn với đoạn lớn hơn. Hãy tìm tỉ số ấy.Đó chính là bài toán mà Ơ-clit đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.
Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.
Bài giải:
Gọi a là độ dài đoạn AB, x là độ dài đoạn AM, điều kiện 0 < x < a
Khi đó MB = a - x
Theo đề bài, ta có: $\frac{AM}{AB}$ = $\frac{MB}{MA}$ hay $\frac{x}{a}$ = $\frac{a - x}{x}$ <=> $x^2$ = a(a - x) <=> $x^2$ + ax - $a^2$ = 0
Giải phương trình $x^2$ + ax - $a^2$ = 0
$\Delta$ = $(a)^2$ - 4.1.(-$a^2$) = $a^2$ + 4$a^2$ = 5$a^2$ > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{5a^2}$ = a$\sqrt{5}$
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-a + a\sqrt{5}}{2}$ = $\frac{a(\sqrt{5} - 1)}{2}$; $x_2$ = $\frac{-a - a\sqrt{5}}{2}$ = $\frac{-a(\sqrt{5} + 1)}{2}$
Nghiệm $x_2$ không thỏa mãn điều kiện
Nên AM = $\frac{a(\sqrt{5} - 1)}{2}$
Vậy tỉ số cần tìm là $\frac{AM}{AB}$ = $\frac{\frac{a(\sqrt{5} - 1)}{2}}{a}$ = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
Xem bài trước: Bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon