[Toán 9] Chứng minh bất đẳng thức.

Câu hỏi của bạn Điều ước ngày 20/7/2016
Cho a, b, c > 0 và a + b + c $\leq$1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2 + 2bc}$ + $\frac{1}{b^2 + 2ac}$ + $\frac{1}{c^2 + 2ab}$ $\geq$ 9

Chào bạn! Bài toán bạn yêu cầu, ta có thể chứng minh như sau:

Đặt x = $a^2$ + 2bc; y = $b^2$ + 2ac; z = $c^2$ + 2ab
Ta có x + y + z = $a^2$ + 2bc + $b^2$ + 2ac + $c^2$ + 2ab = $(a + b + c)^2$ < 1
Khi đó với x, y, z > 0 và x + y + z $\leq$1, bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ $\geq$ 9
Theo bất đẳng thức Cosi, ta có
x + y + z $\geq$ 3.$\sqrt[3]{xyz}$ (1)
và $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ $\geq$ 3.$\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$ (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế, ta được:
(x + y + z).($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$) $\geq$ 3.$\sqrt[3]{xyz}$.3.$\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$
<=> (x + y + z).($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$) $\geq$ 9
Mà x + y + z $\leq$1 nên $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ $\geq$ 9.
Hay $\frac{1}{a^2 + 2bc}$ + $\frac{1}{b^2 + 2ac}$ + $\frac{1}{c^2 + 2ab}$ $\geq$ 9 (đpcm)

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.

• [Toán 9] Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosCNgày 4/10/2018 bạn Anh Tran gửi bài toán: Cho tam giác ABC nhọn a) Chứng minh $\frac{BC}{sinA}$ = $
• [Toán 8] Chứng minh tứ giác BB''CC'' là hình thang.Ngày 11/9/2018 bạn có nickname Đepchat gửi bài toán: Cho tam giác ABC. Trên tia AC lấy điểm B'&
• Hai đường thẳng Mz và Ny có song song với nhau hay không.Ngày 2/8/2018 bạn có nickname Toikhongbiet yêu cầu bài tập bổ sung 4.3 trong bài hai đường thẳng so
• [Toán 8] Chứng minh AECB là hình thang vuông.Ngày 13/9/2018 bạn Dang Dang gửi bài toán:Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC bằng 2cm. Ở phía ngo
• [Toán 8] Tính chiều cao của ống khói. Ngày 1/4/2018 bạn Tam Nguyen yêu cầu bài toán: Một ống khói của nhà máy có bóng trên mặt đất là 36
• [Toán 9] Giải các phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$Ngày 5/8/2018 bạn Nguyễn Hân gửi bài toán giải các phương trình sau: 1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x