[Toán 9] Chứng minh bất đẳng thức.
Câu hỏi của bạn Điều ước ngày 20/7/2016
Cho a, b, c > 0 và a + b + c $\leq$1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2 + 2bc}$ + $\frac{1}{b^2 + 2ac}$ + $\frac{1}{c^2 + 2ab}$ $\geq$ 9
Chào bạn! Bài toán bạn yêu cầu, ta có thể chứng minh như sau:
Đặt x = $a^2$ + 2bc; y = $b^2$ + 2ac; z = $c^2$ + 2ab
Ta có x + y + z = $a^2$ + 2bc + $b^2$ + 2ac + $c^2$ + 2ab = $(a + b + c)^2$ < 1
Khi đó với x, y, z > 0 và x + y + z $\leq$1, bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ $\geq$ 9
Theo bất đẳng thức Cosi, ta có
x + y + z $\geq$ 3.$\sqrt[3]{xyz}$ (1)
và $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ $\geq$ 3.$\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$ (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế, ta được:
(x + y + z).($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$) $\geq$ 3.$\sqrt[3]{xyz}$.3.$\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$
<=> (x + y + z).($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$) $\geq$ 9
Mà x + y + z $\leq$1 nên $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ $\geq$ 9.
Hay $\frac{1}{a^2 + 2bc}$ + $\frac{1}{b^2 + 2ac}$ + $\frac{1}{c^2 + 2ab}$ $\geq$ 9 (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho a, b, c > 0 và a + b + c $\leq$1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2 + 2bc}$ + $\frac{1}{b^2 + 2ac}$ + $\frac{1}{c^2 + 2ab}$ $\geq$ 9
Chào bạn! Bài toán bạn yêu cầu, ta có thể chứng minh như sau:
Đặt x = $a^2$ + 2bc; y = $b^2$ + 2ac; z = $c^2$ + 2ab
Ta có x + y + z = $a^2$ + 2bc + $b^2$ + 2ac + $c^2$ + 2ab = $(a + b + c)^2$ < 1
Khi đó với x, y, z > 0 và x + y + z $\leq$1, bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ $\geq$ 9
Theo bất đẳng thức Cosi, ta có
x + y + z $\geq$ 3.$\sqrt[3]{xyz}$ (1)
và $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ $\geq$ 3.$\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$ (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế, ta được:
(x + y + z).($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$) $\geq$ 3.$\sqrt[3]{xyz}$.3.$\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$
<=> (x + y + z).($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$) $\geq$ 9
Mà x + y + z $\leq$1 nên $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ $\geq$ 9.
Hay $\frac{1}{a^2 + 2bc}$ + $\frac{1}{b^2 + 2ac}$ + $\frac{1}{c^2 + 2ab}$ $\geq$ 9 (đpcm)
EmoticonEmoticon