[Toán 9] Chứng minh: AH^3 = BC.BE.CF

Ngày 17/8/2017 bạn có nickname Henji Hatori gửi bài tập
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết $\frac{AH}{AC}$ = $\frac{3}{5}$, AB = 15cm
a) Tính HB, HC.
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh: $AH^3$ = BC.BE.CF

Trả lời cho bạn:
Những hệ thức lượng trong tam giác vuông mà bạn đã học trên lớp là kiến thức cần thiết giúp hoàn thành bài toán mà bạn yêu cầu.

a) Ta có $\frac{AH}{AC}$ = $\frac{3}{5}$
Suy ra AH = $\frac{3}{5}$AC
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB.AC = BC.AH
<=> BC = $\frac{AB.AC}{AH}$
<=> BC = $\frac{AB.AC}{\frac{3}{5}AC}$ (thay AH = $\frac{3}{5}$AC)
<=> BC = $\frac{5}{3}$AB
<=> BC = $\frac{5}{3}$.15 = 25
Cũng theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có
$AB^2$ = BC.BH => BH = $\frac{AB^2}{BC}$ = $\frac{15^2}{25}$ = 9
Khi đó CH = BC - BH = 25 - 9 = 16.
Vậy BH = 9 cm, CH = 16 cm.

AH là đường cao của tam giác ABC.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông:
➤ ABC ta có:
AB.AC = BC.AH => BC = $\frac{AB.AC}{AH}$
➤ AHB ta có:
$BH^2$ = AB.BE => BE = $\frac{BH^2}{AB}$
➤ AHC ta có:
$CH^2$ = AC.CF => CF = $\frac{CH^2}{AC}$
Khi đó: BE.CF = $\frac{BH^2}{AB}$.$\frac{CH^2}{AC}$
<=> BE.CF = $\frac{AH^4}{AB.AC}$ (vì $AH^2$ = BH.CH)

Vậy BC.BE.CF = $\frac{AB.AC}{AH}$.$\frac{AH^4}{AB.AC}$

<=> BC.BE.CF = $AH^3$ (đpcm)

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!