[Toán 9] Chứng minh tam giác ABC đều.
Chứng minh tam giác đều, nghe giống như một bài toán lớp 7. Tuy nhiên, với bài toán sau, ta phải vận dụng những kiến thức của cả toán lớp 7, toán lớp 8 và toán lớp 9.
Ngày 25/07/2016, bạn Trần Tuyết gửi bài toán:
Cho đường tròn O, đường kính MN = 4cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 4cm. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm).
a) CM tam giác ABC đều
b) CM tứ giác OBEC là hình thoi (E là giao điểm của OA với đường tròn O)
c) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
Gợi ý trả lời cho bạn:
a) Theo định lí về 2 tiếp tuyến cắt nhau thì tam giác ABC cân tại A. (1)
Tam giác ABO vuông tại B (AB là tiếp tuyến) có:
sin$\widehat{A_1}$ = $\frac{OB}{OA}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$
Suy ra $\widehat{A_1}$ = $30^0$
Ta có AO là phân giác góc A (định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau)
Nên $\widehat{A}$ = 2$\widehat{A_1}$ = 2.$30^0$ = $60^0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều.
b) Ta có OB = OE (bằng bán kính) (1)
Nên tam giác OBE cân.
Tam giác ABO vuông tại B nên ta có:
$\widehat{O_1}$ = $90^0$ - $\widehat{A_1}$ = $90^0$ - $30^0$ = $60^0$
Tam giác cân OBE có góc O bằng $60^0$ nên OBE là tam giác đều.
Suy ra OB = BE (2)
Lập luận tương tự ta có tam giác OCE đều.
Suy ra OC = EC (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra tứ giác OBEC là hình thoi.
c) Ta có:
AO = 4cm (gt)
OB = 2cm (bán kính)
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông ABO, ta có
$AO^2$ = $AB^2$ + $OB^2$
=> $AB^2$ = $AO^2$ - $OB^2$ = $4^2$ - $2^2$ = 16 - 4 = 12
=> AB = $\sqrt{12}$
Vì ABC là tam giác đều nên có:
- Chu vi bằng: C = 3.AB = 3$\sqrt{12}$
- Diện tích bằng: S = $(AB)^2$$\frac{\sqrt{3}}{4}$ = $(\sqrt{12})^2$$\frac{\sqrt{3}}{4}$ = 3$\sqrt{3}$.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Ngày 25/07/2016, bạn Trần Tuyết gửi bài toán:
Cho đường tròn O, đường kính MN = 4cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 4cm. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm).
a) CM tam giác ABC đều
b) CM tứ giác OBEC là hình thoi (E là giao điểm của OA với đường tròn O)
c) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
Gợi ý trả lời cho bạn:
a) Theo định lí về 2 tiếp tuyến cắt nhau thì tam giác ABC cân tại A. (1)
Tam giác ABO vuông tại B (AB là tiếp tuyến) có:
sin$\widehat{A_1}$ = $\frac{OB}{OA}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$
Suy ra $\widehat{A_1}$ = $30^0$
Ta có AO là phân giác góc A (định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau)
Nên $\widehat{A}$ = 2$\widehat{A_1}$ = 2.$30^0$ = $60^0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều.
 |
| Đường tròn tâm O đường kính MN. |
b) Ta có OB = OE (bằng bán kính) (1)
Nên tam giác OBE cân.
Tam giác ABO vuông tại B nên ta có:
$\widehat{O_1}$ = $90^0$ - $\widehat{A_1}$ = $90^0$ - $30^0$ = $60^0$
Tam giác cân OBE có góc O bằng $60^0$ nên OBE là tam giác đều.
Suy ra OB = BE (2)
Lập luận tương tự ta có tam giác OCE đều.
Suy ra OC = EC (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra tứ giác OBEC là hình thoi.
c) Ta có:
AO = 4cm (gt)
OB = 2cm (bán kính)
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông ABO, ta có
$AO^2$ = $AB^2$ + $OB^2$
=> $AB^2$ = $AO^2$ - $OB^2$ = $4^2$ - $2^2$ = 16 - 4 = 12
=> AB = $\sqrt{12}$
Vì ABC là tam giác đều nên có:
- Chu vi bằng: C = 3.AB = 3$\sqrt{12}$
- Diện tích bằng: S = $(AB)^2$$\frac{\sqrt{3}}{4}$ = $(\sqrt{12})^2$$\frac{\sqrt{3}}{4}$ = 3$\sqrt{3}$.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon