Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét.
Định lí Ta-lét cho ta biết nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Trong trường hợp ngược lại thì như thế nào, vấn đề đó sẽ được làm rõ trong bài định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét ngay sau đây.
GT $\left| \,\begin{matrix}\Delta ABC, AB = 6cm; \\ AC = 9cm; B' \in AB; \\ C' \in AC; AB' = 2cm; AC' = 3cm \end{matrix}\right.$
KL $\left| \,\begin{matrix} \text{a. So sánh} \frac{AB'}{AB} và \frac{AC'}{AC} \\ \text{b. a // BC qua B' cắt AC tại CC''.} \\ \text{Tính AC''. Nhận xét vị trí của:} \\ \text{C' và CC'', BC và B'C' } \end{matrix}\right.$
Sau khi được giải quyết, bài toán sẽ hé lộ câu trả lời cho câu hỏi ở ngay đầu bài.
a) So sánh $\frac{AB'}{AB}$ và $\frac{AC'}{AC}$
Ta có $\left.\begin{matrix}\frac{AB'}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ \frac{AC'}{AC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\end{matrix}\right\}$ => $\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC'}{AC}$
b) Tính AC''
Ta có B'C'' // BC. (gt)
Suy ra $\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC''}{AC}$ (Theo định lí Ta-let)
=> $\frac{2}{6}$ = $\frac{AC''}{9}$
=> AC'' = $\frac{2 . 9}{6}$ = 3 (cm)
Trên tia AC có AC' = 3cm, AC'' = 3cm. Nên C' $\equiv $ C''
Suy ra B'C' $\equiv $ B'C''
Mà theo giả thiết B'C'' // BC
Suy ra B'C' // BC.
Qua kết quả vừa chứng minh, ta có nhận xét như sau:
GT $\left| \,\begin{matrix}\Delta ABC; B' \in AB; \\ C' \in AC; \frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} \end{matrix}\right.$
KL $\left| \,\begin{matrix}B'C' // BC \end{matrix}\right.$
Lưu ý: Trong phần giả thiết, ta có thể chọn một trong ba tỉ lệ thức sau:
$\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC'}{AC}$; $\frac{AB'}{B'B}$ = $\frac{AC'}{C'C}$; $\frac{B'B}{AB}$ = $\frac{C'C}{AC}$
➤ Quan sát hình 9 bên dưới và trả lời các câu hỏi ở phần ?2 SGK trang 60.
a) Ta có $\frac{AD}{DB}$ = $\frac{AE}{EC}$ = $\frac{1}{2}$
Suy ra DE // BC (theo định lí đảo của định lí Ta-let)
Ta có $\frac{EC}{EA}$ = $\frac{CF}{FB}$ = $\frac{14}{7}$ = 2
Suy ra EF // AB (theo định lí đảo của định lí Ta-let)
b) Tứ giác BDEF có hai cặp cạnh đối song song nên BDEF là hình bình hành.
c) Vì BDEF là hình bình hành nên DE = BF = 7
Ta có:
$\left.\begin{matrix} \frac{AD}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \frac{AE}{AC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \\ \frac{DE}{BC} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} \end{matrix}\right\}$ => $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{DE}{BC}$
Vậy các cặp cạnh tương ứng của tam giác ADE và tam giác ABC tỉ lệ với nhau.
Bài toán trên cho ta một hệ quả, đó chính là hệ quả của định lí Ta-let.
GT $\left| \,\begin{matrix} \Delta ABC; B'C' // BC \\ B' \in AB; C' \in AC \end{matrix}\right.$
KL $\left| \,\begin{matrix} \frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} \end{matrix}\right.$
Chứng minh:
Ta có B'C' // BC (gt)
Suy ra $\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC'}{AC}$ (1) (theo định lí Ta-lét)
Để có $\frac{B'C'}{BC}$ = $\frac{AC'}{AC}$, ta cần kẻ qua C' một đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Khi đó theo định lí Ta-lét, ta có $\frac{AC'}{ÂC}$ = $\frac{BD}{BC}$ (2)
Tứ giác B'C'DB có các cặp cạnh đối song song nên B'C'DB là hình bình hành.
Do đó B'C' = BD (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$ (đpcm)
➤ Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. (hình 11)
Khi đó ta vẫn có tỉ lệ: $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$
Ta sẽ vận dụng ngay hệ quả trên để tính độ dài x của các đoạn thẳng trong hình 12.
a)
Ta có DE // BC (gt)
Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có:
$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{DE}{BC}$
=> $\frac{2}{2+3}$ = $\frac{x}{6,5}$ => x = $\frac{2 . 6,5}{5}$ = 2,6
b)
Ta có MN // PQ (gt)
Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có:
$\frac{ON}{OP}$ = $\frac{MN}{PQ}$
=> $\frac{2}{x}$ = $\frac{3}{5,2}$ => x = $\frac{2 . 5,2}{3}$ $\approx$ 3,46
c)
Ta có: $\left.\begin{matrix} AB \perp EF \\ CD \perp EF \end{matrix}\right\}$ => AB // CD (quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song)
Suy ra $\frac{OE}{OF}$ = $\frac{EB}{FC}$ (hệ quả của định lí Ta-lét)
=> $\frac{3}{x}$ = $\frac{2}{3,5}$ => x = $\frac{3 . 3,5}{2}$ = 5,25
⟳ Xem lại Từ vuông góc đến song song
Qua bài học này, ta lại có thêm một cách để nhận biết hai đường thẳng song song.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Định lí đảo
➤ Xét yêu cầu ?1 trong SGKGT $\left| \,\begin{matrix}\Delta ABC, AB = 6cm; \\ AC = 9cm; B' \in AB; \\ C' \in AC; AB' = 2cm; AC' = 3cm \end{matrix}\right.$
KL $\left| \,\begin{matrix} \text{a. So sánh} \frac{AB'}{AB} và \frac{AC'}{AC} \\ \text{b. a // BC qua B' cắt AC tại CC''.} \\ \text{Tính AC''. Nhận xét vị trí của:} \\ \text{C' và CC'', BC và B'C' } \end{matrix}\right.$
 |
| Hình 8 |
a) So sánh $\frac{AB'}{AB}$ và $\frac{AC'}{AC}$
Ta có $\left.\begin{matrix}\frac{AB'}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ \frac{AC'}{AC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\end{matrix}\right\}$ => $\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC'}{AC}$
b) Tính AC''
Ta có B'C'' // BC. (gt)
Suy ra $\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC''}{AC}$ (Theo định lí Ta-let)
=> $\frac{2}{6}$ = $\frac{AC''}{9}$
=> AC'' = $\frac{2 . 9}{6}$ = 3 (cm)
Trên tia AC có AC' = 3cm, AC'' = 3cm. Nên C' $\equiv $ C''
Suy ra B'C' $\equiv $ B'C''
Mà theo giả thiết B'C'' // BC
Suy ra B'C' // BC.
Qua kết quả vừa chứng minh, ta có nhận xét như sau:
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.Đó chính là nội dung định lí đảo của định lí Ta-let, định lí được thừa nhận chứ không chứng minh. Ta có thể ghi giả thiết, kết luận của định lí như sau:
GT $\left| \,\begin{matrix}\Delta ABC; B' \in AB; \\ C' \in AC; \frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} \end{matrix}\right.$
KL $\left| \,\begin{matrix}B'C' // BC \end{matrix}\right.$
Lưu ý: Trong phần giả thiết, ta có thể chọn một trong ba tỉ lệ thức sau:
$\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC'}{AC}$; $\frac{AB'}{B'B}$ = $\frac{AC'}{C'C}$; $\frac{B'B}{AB}$ = $\frac{C'C}{AC}$
➤ Quan sát hình 9 bên dưới và trả lời các câu hỏi ở phần ?2 SGK trang 60.
 |
| Hình 9 |
Suy ra DE // BC (theo định lí đảo của định lí Ta-let)
Ta có $\frac{EC}{EA}$ = $\frac{CF}{FB}$ = $\frac{14}{7}$ = 2
Suy ra EF // AB (theo định lí đảo của định lí Ta-let)
b) Tứ giác BDEF có hai cặp cạnh đối song song nên BDEF là hình bình hành.
c) Vì BDEF là hình bình hành nên DE = BF = 7
Ta có:
$\left.\begin{matrix} \frac{AD}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \frac{AE}{AC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \\ \frac{DE}{BC} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} \end{matrix}\right\}$ => $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{DE}{BC}$
Vậy các cặp cạnh tương ứng của tam giác ADE và tam giác ABC tỉ lệ với nhau.
Bài toán trên cho ta một hệ quả, đó chính là hệ quả của định lí Ta-let.
Hệ quả của định lí Ta-lét.
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.Giả thiết, kết luận của hệ quả trên có thể viết như sau:
GT $\left| \,\begin{matrix} \Delta ABC; B'C' // BC \\ B' \in AB; C' \in AC \end{matrix}\right.$
KL $\left| \,\begin{matrix} \frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} \end{matrix}\right.$
 |
| Hình 10 |
Ta có B'C' // BC (gt)
Suy ra $\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC'}{AC}$ (1) (theo định lí Ta-lét)
Để có $\frac{B'C'}{BC}$ = $\frac{AC'}{AC}$, ta cần kẻ qua C' một đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Khi đó theo định lí Ta-lét, ta có $\frac{AC'}{ÂC}$ = $\frac{BD}{BC}$ (2)
Tứ giác B'C'DB có các cặp cạnh đối song song nên B'C'DB là hình bình hành.
Do đó B'C' = BD (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$ (đpcm)
➤ Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. (hình 11)
 |
| Hình 11 |
Ta sẽ vận dụng ngay hệ quả trên để tính độ dài x của các đoạn thẳng trong hình 12.
a)
 |
| Hình 12a. DE//BC |
Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có:
$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{DE}{BC}$
=> $\frac{2}{2+3}$ = $\frac{x}{6,5}$ => x = $\frac{2 . 6,5}{5}$ = 2,6
b)
 |
| Hình 12b. MN//PQ |
Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có:
$\frac{ON}{OP}$ = $\frac{MN}{PQ}$
=> $\frac{2}{x}$ = $\frac{3}{5,2}$ => x = $\frac{2 . 5,2}{3}$ $\approx$ 3,46
c)
 |
| Hình 12c. |
Suy ra $\frac{OE}{OF}$ = $\frac{EB}{FC}$ (hệ quả của định lí Ta-lét)
=> $\frac{3}{x}$ = $\frac{2}{3,5}$ => x = $\frac{3 . 3,5}{2}$ = 5,25
⟳ Xem lại Từ vuông góc đến song song
Qua bài học này, ta lại có thêm một cách để nhận biết hai đường thẳng song song.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon