[Toán 8] Chứng minh IK đi qua trung điểm của MN.
Ngày 20/10/2017 bạn Uyển Nhi Chung gửi bài toán:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của CD và AB.
1) Chứng minh tứ giác AKID là hình bình hành.
2) Đường chéo BD cắt AI, CK lần lượt tại M và N. Chứng minh:
a) AI // CK
b) IK đi qua trung điểm của MN.
Trả lời cho bạn:
Một số kiến thức cần thiết bạn cần xem lại trước khi giải bài này:
- Đường trung bình của tam giác, của hình thang.
- Hình bình hành
1) Ta đã biết hình bình hành ABCD là một hình thang đặc biệt.
Mà theo giả thiết: $\left.\begin{matrix} \text{I là trung điểm của CD} \\ \text{K là trung điểm của AB} \end{matrix}\right\}$ => IK là đường trung bình của hình thang ABCD.
Suy ra IK // AD (1)
Ta cũng có AB // CD (vì ABCD là hình bình hành)
Nên ID // AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKID là hình bình hành (đpcm)
2) Chứng minh:
a) AI // CK
Ta có
AK = $\frac{1}{2}$AB (K là trung điểm AB)
CI = $\frac{1}{2}$ CD (I là trung điểm CD)
Mà AB = CD (tính chất hình bình hành)
Nên AK = CI (1)
Ta cũng có AB // CD (ABCD là hình bình hành)
Nên AK // CI (2)
Từ (1) và (2) suy ra AKCI là hình bình hành.
Suy ra AI // CK (đpcm)
b) IK đi qua trung điểm của MN.
Gọi H là giao điểm hai đường chéo AC và KI của hình bình hành AKCI.
Khi đó KI đi qua trung điểm H (1)
Xét hai tam giác NHC và MHA có:
$\widehat{NCH}$ = $\widehat{MAH}$ (hai góc so le trong)
HA = HC (H là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành)
$\widehat{NHC}$ = $\widehat{MHA}$ (hai góc đối đỉnh)
Vậy $\Delta$ NHC = $\Delta$ MHA (g-c-g)
Suy ra NH = MH (hai cạnh tương ứng)
Hay H là trung điểm của MN (2)
Từ (1) và (2) suy ra IK đi qua trung điểm của MN.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của CD và AB.
1) Chứng minh tứ giác AKID là hình bình hành.
2) Đường chéo BD cắt AI, CK lần lượt tại M và N. Chứng minh:
a) AI // CK
b) IK đi qua trung điểm của MN.
Trả lời cho bạn:
Một số kiến thức cần thiết bạn cần xem lại trước khi giải bài này:
- Đường trung bình của tam giác, của hình thang.
- Hình bình hành
1) Ta đã biết hình bình hành ABCD là một hình thang đặc biệt.
Mà theo giả thiết: $\left.\begin{matrix} \text{I là trung điểm của CD} \\ \text{K là trung điểm của AB} \end{matrix}\right\}$ => IK là đường trung bình của hình thang ABCD.
Suy ra IK // AD (1)
Ta cũng có AB // CD (vì ABCD là hình bình hành)
Nên ID // AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKID là hình bình hành (đpcm)
 |
| Chứng minh IK đi qua trung điểm của MN. |
a) AI // CK
Ta có
AK = $\frac{1}{2}$AB (K là trung điểm AB)
CI = $\frac{1}{2}$ CD (I là trung điểm CD)
Mà AB = CD (tính chất hình bình hành)
Nên AK = CI (1)
Ta cũng có AB // CD (ABCD là hình bình hành)
Nên AK // CI (2)
Từ (1) và (2) suy ra AKCI là hình bình hành.
Suy ra AI // CK (đpcm)
b) IK đi qua trung điểm của MN.
Gọi H là giao điểm hai đường chéo AC và KI của hình bình hành AKCI.
Khi đó KI đi qua trung điểm H (1)
Xét hai tam giác NHC và MHA có:
$\widehat{NCH}$ = $\widehat{MAH}$ (hai góc so le trong)
HA = HC (H là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành)
$\widehat{NHC}$ = $\widehat{MHA}$ (hai góc đối đỉnh)
Vậy $\Delta$ NHC = $\Delta$ MHA (g-c-g)
Suy ra NH = MH (hai cạnh tương ứng)
Hay H là trung điểm của MN (2)
Từ (1) và (2) suy ra IK đi qua trung điểm của MN.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon