[Toán 9] Chứng minh OA vuông góc với EF.
Ngày 8/5/2017 bạn Nguyễn Thị Hồng Ngọc gửi bài toán:
Cho tam giác ABC nội tiếp (o;r) các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
a, C/M tứ giác AEHF,BEFC nội tiếp
b, C/M CH vuông góc với EF
c, biết số đo cung AB=90˚, cung AC=120˚,tính theo R diện tính phần hình tròn giới hạn bởi dây AB, cung BC, dâyAC.
Gợi ý trả lời cho bạn:
a) ➦ Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp
Ta có BE $\perp$ AC (BE là đường cao)
Hay HE $\perp$ AE
=> $\widehat{AEH}$ = $90^0$ (1)
Ta cũng có CF $\perp$ AB (CF là đường cao)
Hay HF $\perp$ AF
=> $\widehat{AFH}$ = $90^0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AEHF là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng số đo của hai góc đối bằng $180^0$ là tứ giác nội tiếp)
➦ Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
Ta có
$\widehat{BFC}$ = $90^0$
$\widehat{BEC}$ = $90^0$
Tứ giác BFEC có hai đỉnh kề E và F cùng nhìn cạnh BC chứa hai đỉnh B và C dưới một góc vuông.
Nên BFEC là tứ giác nội tiếp. (đpcm)
b) Câu này phải chứng minh OA $\perp$ EF thì mới hợp lý, bạn xem lại đề nhé!
Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Khi đó Ax $\perp$ OA (1)
Ta có: $\widehat{xAB}$ = $\widehat{ACB}$ (cùng chắn cung AB)
Tứ giác BFEC nội tiếp nên $\widehat{AFE}$ = $\widehat{ACB}$ (góc ngoài tại một đỉnh và góc trong của đỉnh đối diện)
Suy ra $\widehat{xAB}$ = $\widehat{AFE}$
Mà $\widehat{xAB}$ và $\widehat{AFE}$ ở vị trí so le trong.
Nên Ax // EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra OA $\perp$ EF. (đpcm)
c) Gọi S là diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AB, cung BC, dây AC
Khi đó S = $S_{(O)}$ - $S_{vpFAB}$ - $S_{vpEAC}$
Ta có:
$S_{(O)}$ = $\pi.R^2$
$S_{vpFAB}$ = $S_{quạtOAB}$ - $S_{\Delta OAB}$ = $\frac{\pi.R^2}{4}$ - $\frac{R^2}{2}$
$S_{vpEAC}$ = $S_{quạtOAC}$ - $S_{\Delta OAC}$ = $\frac{\pi.R^2}{3}$ - $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$
Do đó S = $S_{(O)}$ - $S_{vpFAB}$ - $S_{vpEAC}$
= $\pi.R^2$ - $\frac{\pi.R^2}{4}$ + $\frac{R^2}{2}$ - $\frac{\pi.R^2}{3}$ + $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{5\pi.R^2 + 6R^2 + 3\sqrt{3}R^2}{12}$
Vậy S = $\frac{5\pi.R^2 + 6R^2 + 3\sqrt{3}R^2}{12}$ (đvdt)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho tam giác ABC nội tiếp (o;r) các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
a, C/M tứ giác AEHF,BEFC nội tiếp
b, C/M CH vuông góc với EF
c, biết số đo cung AB=90˚, cung AC=120˚,tính theo R diện tính phần hình tròn giới hạn bởi dây AB, cung BC, dâyAC.
Gợi ý trả lời cho bạn:
a) ➦ Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp
Ta có BE $\perp$ AC (BE là đường cao)
Hay HE $\perp$ AE
=> $\widehat{AEH}$ = $90^0$ (1)
Ta cũng có CF $\perp$ AB (CF là đường cao)
Hay HF $\perp$ AF
=> $\widehat{AFH}$ = $90^0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AEHF là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng số đo của hai góc đối bằng $180^0$ là tứ giác nội tiếp)
➦ Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
Ta có
$\widehat{BFC}$ = $90^0$
$\widehat{BEC}$ = $90^0$
Tứ giác BFEC có hai đỉnh kề E và F cùng nhìn cạnh BC chứa hai đỉnh B và C dưới một góc vuông.
Nên BFEC là tứ giác nội tiếp. (đpcm)
 |
| Tam giác ABC nội tiếp đường tròn O. |
Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Khi đó Ax $\perp$ OA (1)
Ta có: $\widehat{xAB}$ = $\widehat{ACB}$ (cùng chắn cung AB)
Tứ giác BFEC nội tiếp nên $\widehat{AFE}$ = $\widehat{ACB}$ (góc ngoài tại một đỉnh và góc trong của đỉnh đối diện)
Suy ra $\widehat{xAB}$ = $\widehat{AFE}$
Mà $\widehat{xAB}$ và $\widehat{AFE}$ ở vị trí so le trong.
Nên Ax // EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra OA $\perp$ EF. (đpcm)
c) Gọi S là diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AB, cung BC, dây AC
Khi đó S = $S_{(O)}$ - $S_{vpFAB}$ - $S_{vpEAC}$
Ta có:
$S_{(O)}$ = $\pi.R^2$
$S_{vpFAB}$ = $S_{quạtOAB}$ - $S_{\Delta OAB}$ = $\frac{\pi.R^2}{4}$ - $\frac{R^2}{2}$
$S_{vpEAC}$ = $S_{quạtOAC}$ - $S_{\Delta OAC}$ = $\frac{\pi.R^2}{3}$ - $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$
Do đó S = $S_{(O)}$ - $S_{vpFAB}$ - $S_{vpEAC}$
= $\pi.R^2$ - $\frac{\pi.R^2}{4}$ + $\frac{R^2}{2}$ - $\frac{\pi.R^2}{3}$ + $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{5\pi.R^2 + 6R^2 + 3\sqrt{3}R^2}{12}$
Vậy S = $\frac{5\pi.R^2 + 6R^2 + 3\sqrt{3}R^2}{12}$ (đvdt)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon