[Toán 9] Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosC
Ngày 4/10/2018 bạn Anh Tran gửi bài toán:
Cho tam giác ABC nhọn
a) Chứng minh $\frac{BC}{sinA}$ = $\frac{AC}{sinB}$ = $\frac{AB}{sinC}$
b) Vẽ đường cao AH, Chứng minh: AH = $\frac{BC}{cotB + cotC}$
c) Chứng minh: BC = AB.cosB + AC.cosC
Trả lời cho bạn:
a) Kẻ AH $\perp$ BC tại H. Khi đó AH là cạnh góc vuông của hai tam giác ABH và ACH.
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:
AH = AB.sin B = AC.sin C.
Suy ra:
sin B = $\frac{AH}{AB}$
sin C = $\frac{AH}{AC}$
Khi đó $\frac{sinB}{sinC}$ = $\frac{AH}{AB}$.$\frac{AC}{AH}$ = $\frac{AC}{AB}$
Suy ra $\frac{AC}{sinB}$ = $\frac{AB}{sinC}$ (1)
Kẻ BK $\perp$ AC và chứng minh tương tự ta được:
$\frac{BC}{sinA}$ = $\frac{AC}{sinB}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{BC}{sinA}$ = $\frac{AC}{sinB}$ = $\frac{AB}{sinC}$ (đpcm)
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
cotB = $\frac{BH}{AH}$; cotC = $\frac{HC}{AH}$
Khi đó cotB + cotC = $\frac{BH}{AH}$ + $\frac{HC}{AH}$ = $\frac{BH + HC}{AH}$ = $\frac{BC}{AH}$
Suy ra AH = $\frac{BC}{cotB + cotC}$ (đpcm)
c) Tương tự áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
cosB = $\frac{BH}{AB}$ => BH = AB.cosB
cosC = $\frac{HC}{AC}$ => HC = AC.cosC
Khi đó BH + HC = AB.cosB + AC.cosC
Hay BC = AB.cosB + AC.cosC (đpcm)
d) Ta có $S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$BK.AC
Mà BK = AB sinA
Nên $S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$AB.sinA.AC
Hay $S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$AB.AC.sinA (đpcm)
Tương tự ta có
$S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$AH.BC
Mà AH = AB sinB = AC sinC
Nên $S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$AB.BC sinB = $\frac{1}{2}$AC.BC sinC (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho tam giác ABC nhọn
a) Chứng minh $\frac{BC}{sinA}$ = $\frac{AC}{sinB}$ = $\frac{AB}{sinC}$
b) Vẽ đường cao AH, Chứng minh: AH = $\frac{BC}{cotB + cotC}$
c) Chứng minh: BC = AB.cosB + AC.cosC
Trả lời cho bạn:
a) Kẻ AH $\perp$ BC tại H. Khi đó AH là cạnh góc vuông của hai tam giác ABH và ACH.
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:
AH = AB.sin B = AC.sin C.
Suy ra:
sin B = $\frac{AH}{AB}$
sin C = $\frac{AH}{AC}$
Khi đó $\frac{sinB}{sinC}$ = $\frac{AH}{AB}$.$\frac{AC}{AH}$ = $\frac{AC}{AB}$
Suy ra $\frac{AC}{sinB}$ = $\frac{AB}{sinC}$ (1)
Kẻ BK $\perp$ AC và chứng minh tương tự ta được:
$\frac{BC}{sinA}$ = $\frac{AC}{sinB}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{BC}{sinA}$ = $\frac{AC}{sinB}$ = $\frac{AB}{sinC}$ (đpcm)
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
cotB = $\frac{BH}{AH}$; cotC = $\frac{HC}{AH}$
Khi đó cotB + cotC = $\frac{BH}{AH}$ + $\frac{HC}{AH}$ = $\frac{BH + HC}{AH}$ = $\frac{BC}{AH}$
Suy ra AH = $\frac{BC}{cotB + cotC}$ (đpcm)
c) Tương tự áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
cosB = $\frac{BH}{AB}$ => BH = AB.cosB
cosC = $\frac{HC}{AC}$ => HC = AC.cosC
Khi đó BH + HC = AB.cosB + AC.cosC
Hay BC = AB.cosB + AC.cosC (đpcm)
d) Ta có $S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$BK.AC
Mà BK = AB sinA
Nên $S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$AB.sinA.AC
Hay $S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$AB.AC.sinA (đpcm)
Tương tự ta có
$S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$AH.BC
Mà AH = AB sinB = AC sinC
Nên $S_{\Delta ABC}$ = $\frac{1}{2}$AB.BC sinB = $\frac{1}{2}$AC.BC sinC (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon