Giải bài ôn tập chương IV đại số 9 tập 2.
Bài tập ở chương này giúp các bạn ôn lại kiến thức về hàm số y = a$x^2$ và rèn luyện kỹ năng giải phương trình bậc hai a$x^2$ + bx + c = 0.
a) Qua điểm B(0 ; 4) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ tại hai điểm M và M'. Tìm hoành độ của M và M'
b) Tìm trên đồ thị của hàm số y = -$\frac{1}{4}$$x^2$ điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N' có cùng hoành độ với M'. Đường thẳng NN' có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N va N' bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ.
- Tính toán theo công thức
Bài giải:
Vẽ đồ thị hàm số: y = $\frac{1}{4}$$x^2$ và y = -$\frac{1}{4}$$x^2$
- Tập xác định: R
- Bảng giá trị:
- Đồ thị hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ và y = -$\frac{1}{4}$$x^2$ là những Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ nằm trên trục Ox. Đồ thị hàm số y = -$\frac{1}{4}$$x^2$ nằm dưới trục Ox.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 4 và đồ thị hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ là:
$\frac{1}{4}$$x^2$ = 4 <=> $x^2$ = 16 <=> x = $\pm$4
Vậy đường thẳng y = 4 cắt đồ thị hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ tại điểm M có hoành độ x = 4 và điểm M' có hoành độ x = -4.
b) Ta có điểm N có cùng hoành độ với M, tức $x_N$ = 4 và điểm N' có cùng hoành độ với M', tức $x_{N'}$ = -4. Điều đó chứng tỏ hai điểm N và N' đều cách trục Ox một khoảng bằng 4 đơn vị. Do đó đường thẳng NN' song song với trục Ox.
# Tìm tung độ của điểm N và N':
- Nhìn hình vẽ bên dưới, có thể ước lượng tọa độ của hai điểm: N(4 ; -4) và điểm N'(-4 ; -4). Từ đó suy ra tung độ của hai điểm N và N' là -4.
a) Giải phương trình
b) Vẽ hai đồ thị y = $x^2$ và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ
c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Bài giải:
a) Giải phương trình $x^2$ - x - 2 = 0
Ta có $\Delta$ = $(-1)^2$ - 4.1.(-2) = 1 + 8 = 9 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{9}$ = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-1) + 3}{2}$ = 2, $x_2$ = $\frac{-(-1) - 3}{2}$ = -1
b) Vẽ đồ thị:
# Hàm số y = $x^2$
- Tập xác định D = R
- Bảng giá trị:
- Đồ thị hàm số được vẽ như sau:
- Đồ thị hàm số y = $x^2$ là Parabol (P) đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng
# Hàm số y = x + 2
- Cho x = 0, y = 2, ta được điểm A(0 ; 2)
- Cho y = 0, x = -2, ta được điểm B(-2 ; 0)
Đồ thị hàm số y = x + 2 là đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(0 ; 2) và B(-2 ; 0)
c) Nhìn vào đồ thị ta thấy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm M(-1 ; 1) và N(2 ; 4). Nghĩa là đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x = -1 và x = 2. Hai giá trị này cũng chính là nghiệm của phương trình $x^2$ - x - 2 = 0
a) 3$x^4$ - 12$x^2$ + 9 = 0 b) 2$x^4$ + 3$x^2$ - 2 = 0 c) $x^4$ + 5$x^2$ + 1 = 0
Bài giải:
a) 3$x^4$ - 12$x^2$ + 9 = 0 (1)
Đặt t = $x^2$, điều kiện t $\geq$ 0
Khi đó (1) <=> 3$t^2$ - 12t + 9 = 0 (*)
Phương trình (*) có a + b + c = 3 -12 + 9 = 0. Nên có nghiệm $t_1$ = 1 và $t_2$ = 3
Cả hai nghiệm điều thỏa mãn điều kiện.
- Khi t = 1 <=> $x^2$ = 1 <=> x = $\pm$ 1
- Khi t = 3 <=> $x^2$ = 3 <=> x = $\pm \sqrt{3}$
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm $x_1$ = - 1, $x_2$ = 1, $x_3$ = - $\sqrt{3}$, $x_4$ = $\sqrt{3}$ (*)
b) 2$x^4$ + 3$x^2$ - 2 = 0 (2)
Đặt t = $x^2$, điều kiện t $\geq$ 0
Khi đó (2) <=> 2$t^2$ + 3t - 2 = 0
$\Delta$ = $3^2$ - 4.2.(-2) = 9 + 16 = 25 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{25}$ = 5
Vậy phương trình có hai nghiệm $t_1$ = $\frac{-3 + 5}{4}$ = $\frac{1}{2}$, $t_2$ = $\frac{-3 - 5}{4}$ = -2
Nghiệm $t_2$ không thỏa mãn điều kiện
Với t = $\frac{1}{2}$ <=> $x^2$ = $\frac{1}{2}$ <=> x = $\pm \sqrt {\frac{1}{2}}$ = $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm $x_1$ = -$\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x_2$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
c) $x^4$ + 5$x^2$ + 1 = 0 (3)
Đặt t = $x^2$, điều kiện t $\geq$ 0
Khi đó (3) <=> $t^2$ + 5t + 1 = 0
$\Delta$ = $5^2$ - 4.1.1 = 25 - 4 = 21 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{21}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $t_1$ = $\frac{-5 + \sqrt{21}}{2}$, $t_2$ = $\frac{-5 - \sqrt{21}}{2}$
Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện của t.
Vậy phương trình (3) vô nghiệm
a) 5$x^2$ - 3x + 1 = 2x + 11 b) $\frac{x^2}{5}$ - $\frac{2x}{3}$ = $\frac{x + 5}{6}$
c) $\frac{x}{x - 2}$ = $\frac{10 - 2x}{x^2 - 2x}$ d) $\frac{x + 0,5}{3x + 1}$ = $\frac{7x + 2}{9x^2 - 1}$
e) 2$\sqrt{3}$$x^2$ + x + 1 = $\sqrt{3}$(x + 1) f) $x^2$ + 2$\sqrt{2}$x + 4 = 3(x + $\sqrt{2}$)
Bài giải:
a) 5$x^2$ - 3x + 1 = 2x + 11 <=> 5$x^2$ - 3x + 1 - 2x - 11 = 0 <=> 5$x^2$ - 5x - 10 = 0 <=> $x^2$ - x - 2 = 0
Phương trình có a - b + c = 1 - (-1) + (-2) = 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm $x_1$ = -1 và $x_2$ = 2
b) $\frac{x^2}{5}$ - $\frac{2x}{3}$ = $\frac{x + 5}{6}$ <=> 6$x^2$ - 20x = 5x + 25 <=> 6$x^2$ - 20x - 5x - 25 = 0 <=> 6$x^2$ - 25x - 25 = 0
$\Delta$ = $(-25)^2$ - 4.6.(-25) = 625 + 600 = 1225 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{1225}$ = 35
MTC: 9$x^2$ - 1 = (3x + 1)(3x - 1)
Ta có: (4) <=> (x + 0,5)(3x - 1) = 7x + 2
<=> 3$x^2$ - x + 1,5x - 0,5 - 7x - 2 = 0 <=> 3$x^2$ - 6,5x - 2,5 = 0 <=> 6$x^2$ - 13x - 5 = 0
a) 1,2$x^3$ - $x^2$ - 0,2x = 0 b) 5$x^3$ - $x^2$ - 5x + 1 = 0
Bài giải:
a) 1,2$x^3$ - $x^2$ - 0,2x = 0 (1)
<=> x(1,2$x^2$ - x - 0,2) = 0 <=> $\left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ 1,2x^2 - x - 0,2 = 0\, (*)\end{matrix}\right.$
Phương trình (*) có a + b + c = 1,2 - 1 - 0,2 = 0 nên có hai nghiệm $x_2$ = 1, $x_3$ = $\frac{-0,2}{1,2}$ = -$\frac{1}{6}$
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm $x_1$ = 0, $x_2$ = 1, $x_3$ = -$\frac{1}{6}$
b) 5$x^3$ - $x^2$ - 5x + 1 = 0 (2)
<=> $x^2$(5x - 1) - (5x - 1) = 0 <=> (5x - 1)($x^2$ - 1) = 0
<=> $\left[ \,\begin{matrix}5x - 1 = 0 \\ x^2 - 1 = 0\end{matrix}\right.$ <=> $\left[ \,\begin{matrix}x = \frac{1}{5} \\ (x - 1)(x + 1) = 0\end{matrix}\right.$ <=> $\left[ \,\begin{matrix}x = \frac{1}{5} \\ x = \pm 1\end{matrix}\right.$
Vậy phương trình (2) có 3 nghiệm $x_1$ = $\frac{1}{5}$, $x_2$ = -1, $x_3$ = 1
a) 2$(x^2 - 2x)^2$ + 3($x^2$ - 2x) + 1 = 0 b) $(x + \frac{1}{x})^2$ - 4(x + $\frac{1}{x}$) + 3 = 0
Bài giải:
a) 2$(x^2 - 2x)^2$ + 3($x^2$ - 2x) + 1 = 0 (1)
Đặt t = $x^2$ - 2x
Lúc đó (1) <=> 2$t^2$ + 3t + 1 = 0 (*)
Phương trình (*) có a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0 nên có hai nghiệm $t_1$ = -1, $t_2$ = -$\frac{1}{2}$
- Với t = -1, ta có $x^2$ - 2x = -1 <=> $x^2$ - 2x + 1 = 0, phương trình có nghiệm kép $x_1$ = $x_2$ = 1
- Với t = -$\frac{1}{2}$, ta có $x^2$ - 2x = -$\frac{1}{2}$ <=> 2$x^2$ - 4x + 1 = 0
$\Delta'$ = $(-2)^2$ - 2 = 2 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{2}$
Phương trình có hai nghiệm $x_3$ = $\frac{-(-2) + \sqrt{2}}{2}$ = $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$, $x_4$ = $\frac{-(-2) - \sqrt{2}}{2}$ = $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm $x_1$ = $x_2$ = 1, $x_3$ = $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$, $x_4$ = $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$.
b) $(x + \frac{1}{x})^2$ - 4(x + $\frac{1}{x}$) + 3 = 0 (2)
Điều kiện x $\neq$ 0
Đặt t = x + $\frac{1}{x}$
Lúc đó (2) <=> $t^2$ - 4t + 3 = 0 (*)
Phương trình (*) có a + b + c = 1 - 4 + 3 = 0 nên có hai nghiệm $t_1$ = 1, $t_2$ = 3
- Với t = 1, ta có x + $\frac{1}{x}$ = 1 <=> $x^2$ - x + 1 = 0
$\Delta'$ = $(-1)^2$ - 4.1.1 = -3 < 0 nên phương trình vô nghiệm
- Với t = 3, ta có x + $\frac{1}{x}$ = 3 <=> $x^2$ - 3x + 1 = 0
$\Delta'$ = $(-3)^2$ - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{5}$
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-3) + \sqrt{5}}{2}$ = $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2$ = $\frac{-(-3) - \sqrt{5}}{2}$ = $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài tập 54 sgk trang 63 đại số 9 tập 2.
Vẽ đồ thị của hai hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ và y = -$\frac{1}{4}$$x^2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.a) Qua điểm B(0 ; 4) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ tại hai điểm M và M'. Tìm hoành độ của M và M'
b) Tìm trên đồ thị của hàm số y = -$\frac{1}{4}$$x^2$ điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N' có cùng hoành độ với M'. Đường thẳng NN' có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N va N' bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ.
- Tính toán theo công thức
Bài giải:
Vẽ đồ thị hàm số: y = $\frac{1}{4}$$x^2$ và y = -$\frac{1}{4}$$x^2$
- Tập xác định: R
- Bảng giá trị:
x
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
y = $\frac{1}{4}$$x^2$
|
1
|
$\frac{1}{4}$
|
0
|
$\frac{1}{4}$
|
1
|
y = -$\frac{1}{4}$$x^2$
|
-1
|
-$\frac{1}{4}$
|
0
|
-$\frac{1}{4}$
|
-1
|
- Đồ thị hàm số được vẽ như hình sau:
- Đồ thị hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ và y = -$\frac{1}{4}$$x^2$ là những Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ nằm trên trục Ox. Đồ thị hàm số y = -$\frac{1}{4}$$x^2$ nằm dưới trục Ox.
Các bạn có thể tự vẽ đồ thị hai hàm số trên tại đâya) Đường thẳng đi qua điểm B(0 ; 4) song song với trục Ox có phương trình là y = 4.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 4 và đồ thị hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ là:
$\frac{1}{4}$$x^2$ = 4 <=> $x^2$ = 16 <=> x = $\pm$4
Vậy đường thẳng y = 4 cắt đồ thị hàm số y = $\frac{1}{4}$$x^2$ tại điểm M có hoành độ x = 4 và điểm M' có hoành độ x = -4.
b) Ta có điểm N có cùng hoành độ với M, tức $x_N$ = 4 và điểm N' có cùng hoành độ với M', tức $x_{N'}$ = -4. Điều đó chứng tỏ hai điểm N và N' đều cách trục Ox một khoảng bằng 4 đơn vị. Do đó đường thẳng NN' song song với trục Ox.
# Tìm tung độ của điểm N và N':
- Nhìn hình vẽ bên dưới, có thể ước lượng tọa độ của hai điểm: N(4 ; -4) và điểm N'(-4 ; -4). Từ đó suy ra tung độ của hai điểm N và N' là -4.
- Tính toán theo công thức:
Ta có điểm M có tọa độ M(4 ; 4), mà điểm N đối xứng với điểm M qua trục Ox nên điểm N sẽ có tọa độ N(4 ; -4)
Ta có điểm M' có tọa độ M'(-4 ; 4), mà điểm N' đối xứng với M' qua trục Ox nên điểm N' có tọa độ N'(-4 ; -4)
Vậy điểm N và N' đều có tung độ là -4.
Giải bài tập 55 sgk trang 63 đại số 9 tập 2.
Cho phương trình: $x^2$ - x - 2 = 0a) Giải phương trình
b) Vẽ hai đồ thị y = $x^2$ và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ
c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Bài giải:
a) Giải phương trình $x^2$ - x - 2 = 0
Ta có $\Delta$ = $(-1)^2$ - 4.1.(-2) = 1 + 8 = 9 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{9}$ = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-1) + 3}{2}$ = 2, $x_2$ = $\frac{-(-1) - 3}{2}$ = -1
b) Vẽ đồ thị:
# Hàm số y = $x^2$
- Tập xác định D = R
- Bảng giá trị:
x
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
y = $x^2$
|
4
|
1
|
0
|
1
|
4
|
# Hàm số y = x + 2
- Cho x = 0, y = 2, ta được điểm A(0 ; 2)
- Cho y = 0, x = -2, ta được điểm B(-2 ; 0)
Đồ thị hàm số y = x + 2 là đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(0 ; 2) và B(-2 ; 0)
c) Nhìn vào đồ thị ta thấy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm M(-1 ; 1) và N(2 ; 4). Nghĩa là đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x = -1 và x = 2. Hai giá trị này cũng chính là nghiệm của phương trình $x^2$ - x - 2 = 0
Giải bài tập 56 sgk trang 63 đại số 9 tập 2.
Giải các phương trình:a) 3$x^4$ - 12$x^2$ + 9 = 0 b) 2$x^4$ + 3$x^2$ - 2 = 0 c) $x^4$ + 5$x^2$ + 1 = 0
Bài giải:
a) 3$x^4$ - 12$x^2$ + 9 = 0 (1)
Đặt t = $x^2$, điều kiện t $\geq$ 0
Khi đó (1) <=> 3$t^2$ - 12t + 9 = 0 (*)
Phương trình (*) có a + b + c = 3 -12 + 9 = 0. Nên có nghiệm $t_1$ = 1 và $t_2$ = 3
Cả hai nghiệm điều thỏa mãn điều kiện.
- Khi t = 1 <=> $x^2$ = 1 <=> x = $\pm$ 1
- Khi t = 3 <=> $x^2$ = 3 <=> x = $\pm \sqrt{3}$
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm $x_1$ = - 1, $x_2$ = 1, $x_3$ = - $\sqrt{3}$, $x_4$ = $\sqrt{3}$ (*)
b) 2$x^4$ + 3$x^2$ - 2 = 0 (2)
Đặt t = $x^2$, điều kiện t $\geq$ 0
Khi đó (2) <=> 2$t^2$ + 3t - 2 = 0
$\Delta$ = $3^2$ - 4.2.(-2) = 9 + 16 = 25 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{25}$ = 5
Vậy phương trình có hai nghiệm $t_1$ = $\frac{-3 + 5}{4}$ = $\frac{1}{2}$, $t_2$ = $\frac{-3 - 5}{4}$ = -2
Nghiệm $t_2$ không thỏa mãn điều kiện
Với t = $\frac{1}{2}$ <=> $x^2$ = $\frac{1}{2}$ <=> x = $\pm \sqrt {\frac{1}{2}}$ = $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm $x_1$ = -$\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x_2$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
c) $x^4$ + 5$x^2$ + 1 = 0 (3)
Đặt t = $x^2$, điều kiện t $\geq$ 0
Khi đó (3) <=> $t^2$ + 5t + 1 = 0
$\Delta$ = $5^2$ - 4.1.1 = 25 - 4 = 21 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{21}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $t_1$ = $\frac{-5 + \sqrt{21}}{2}$, $t_2$ = $\frac{-5 - \sqrt{21}}{2}$
Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện của t.
Vậy phương trình (3) vô nghiệm
Giải bài tập 57 sgk trang 63 đại số 9 tập 2.
Giải các phương trình:a) 5$x^2$ - 3x + 1 = 2x + 11 b) $\frac{x^2}{5}$ - $\frac{2x}{3}$ = $\frac{x + 5}{6}$
c) $\frac{x}{x - 2}$ = $\frac{10 - 2x}{x^2 - 2x}$ d) $\frac{x + 0,5}{3x + 1}$ = $\frac{7x + 2}{9x^2 - 1}$
e) 2$\sqrt{3}$$x^2$ + x + 1 = $\sqrt{3}$(x + 1) f) $x^2$ + 2$\sqrt{2}$x + 4 = 3(x + $\sqrt{2}$)
Bài giải:
a) 5$x^2$ - 3x + 1 = 2x + 11 <=> 5$x^2$ - 3x + 1 - 2x - 11 = 0 <=> 5$x^2$ - 5x - 10 = 0 <=> $x^2$ - x - 2 = 0
Phương trình có a - b + c = 1 - (-1) + (-2) = 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm $x_1$ = -1 và $x_2$ = 2
b) $\frac{x^2}{5}$ - $\frac{2x}{3}$ = $\frac{x + 5}{6}$ <=> 6$x^2$ - 20x = 5x + 25 <=> 6$x^2$ - 20x - 5x - 25 = 0 <=> 6$x^2$ - 25x - 25 = 0
$\Delta$ = $(-25)^2$ - 4.6.(-25) = 625 + 600 = 1225 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{1225}$ = 35
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-25) + 35}{2.6}$ = 5, $x_2$ = $\frac{-(-25) - 35}{2.6}$ = -$\frac{5}{6}$
c) $\frac{x}{x - 2}$ = $\frac{10 - 2x}{x^2 - 2x}$ (3)
Điều kiện: $\begin{cases}x - 2 \neq 0 \\x^2 - 2x \neq 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x - 2 \neq 0 \\x(x - 2) \neq 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \neq 2 \\x \neq 0 \end{cases}$
MTC: $x^2$ - 2x = x(x - 2)
Khi đó (3) <=> $x^2$ = 10 - 2x <=> $x^2$ + 2x - 10 = 0
$\Delta'$ = $1^2$ - 1.(-10) = 1 + 10 = 11 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{11}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-1 + \sqrt{11}}{1}$ = -1 + $\sqrt{11}$, $x_2$ = $\frac{-1 - 35}{2.6}$ = -$\frac{5}{6}$
d) $\frac{x + 0,5}{3x + 1}$ = $\frac{7x + 2}{9x^2 - 1}$ (4)
Điều kiện: $\begin{cases}3x + 1 \neq 0 \\9x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}3x + 1 \neq 0 \\(3x + 1)(3x - 1) \neq 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \neq -\frac{1}{3} \\x \neq \frac{1}{3} \end{cases}$d) $\frac{x + 0,5}{3x + 1}$ = $\frac{7x + 2}{9x^2 - 1}$ (4)
MTC: 9$x^2$ - 1 = (3x + 1)(3x - 1)
Ta có: (4) <=> (x + 0,5)(3x - 1) = 7x + 2
<=> 3$x^2$ - x + 1,5x - 0,5 - 7x - 2 = 0 <=> 3$x^2$ - 6,5x - 2,5 = 0 <=> 6$x^2$ - 13x - 5 = 0
$\Delta'$ = $(-13)^2$ - 4.6.(-5) = 169 + 120 = 289 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{289}$ = 17
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-13) + 17}{2.6}$ = $\frac{5}{2}$, $x_2$ = $\frac{-(-13) - 17}{2.6}$ = -$\frac{1}{3}$
Nghiệm $x_2$ không thỏa mãn điều kiện nên loại
Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{5}{2}$
e) 2$\sqrt{3}$$x^2$ + x + 1 = $\sqrt{3}$(x + 1)
<=> 2$\sqrt{3}$$x^2$ + x + 1 - $\sqrt{3}$x - $\sqrt{3}$ = 0 <=> 2$\sqrt{3}$$x^2$ - ($\sqrt{3}$ - 1)x + 1 - $\sqrt{3}$ = 0 <=>
$\Delta$ = $ (\sqrt{3} - 1)^2$ - 4.2.$\sqrt{3}$.(1 - $\sqrt{3}$) = 3 - 2.$\sqrt{3}$ + 1 - 8$\sqrt{3}$ + 24 = 25 - 2.5.$\sqrt{3}$ + 3 = $5 - \sqrt{3})^2$ > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{5 - \sqrt{3})^2}$ = 5 - $\sqrt{3}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{\sqrt{3} - 1 + 5 - \sqrt{3}}{2.2.\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x_2$ = $\frac{\sqrt{3} - 1 - 5 + \sqrt{3}}{2.2.\sqrt{3}}$ = $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$
f) $x^2$ + 2$\sqrt{2}$x + 4 = 3(x + $\sqrt{2}$)
<=> $x^2$ + 2$\sqrt{2}$x + 4 - 3x - 3$\sqrt{2}$ = 0 <=> $x^2$ + (2$\sqrt{2}$ - 3)x + 4 - 3$\sqrt{2}$ = 0
$\Delta$ = $ (2\sqrt{2} - 3)^2$ - 4.1.(4 - 3$\sqrt{2}$) = 8 - 12$\sqrt{2}$ + 9 - 16 + 12$\sqrt{2}$ = 1 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{- 2\sqrt{2} + 3 + 1}{2}$ = $\frac{2( 2 - \sqrt{2})}{2}$ = 2 - $\sqrt{2}$, $x_2$ = $\frac{- 2\sqrt{2} + 3 - 1}{2}$ = $\frac{2( 1 - \sqrt{2})}{2}$ = 1 - $\sqrt{2}$
Nghiệm $x_2$ không thỏa mãn điều kiện nên loại
Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{5}{2}$
e) 2$\sqrt{3}$$x^2$ + x + 1 = $\sqrt{3}$(x + 1)
<=> 2$\sqrt{3}$$x^2$ + x + 1 - $\sqrt{3}$x - $\sqrt{3}$ = 0 <=> 2$\sqrt{3}$$x^2$ - ($\sqrt{3}$ - 1)x + 1 - $\sqrt{3}$ = 0 <=>
$\Delta$ = $ (\sqrt{3} - 1)^2$ - 4.2.$\sqrt{3}$.(1 - $\sqrt{3}$) = 3 - 2.$\sqrt{3}$ + 1 - 8$\sqrt{3}$ + 24 = 25 - 2.5.$\sqrt{3}$ + 3 = $5 - \sqrt{3})^2$ > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{5 - \sqrt{3})^2}$ = 5 - $\sqrt{3}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{\sqrt{3} - 1 + 5 - \sqrt{3}}{2.2.\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x_2$ = $\frac{\sqrt{3} - 1 - 5 + \sqrt{3}}{2.2.\sqrt{3}}$ = $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$
f) $x^2$ + 2$\sqrt{2}$x + 4 = 3(x + $\sqrt{2}$)
<=> $x^2$ + 2$\sqrt{2}$x + 4 - 3x - 3$\sqrt{2}$ = 0 <=> $x^2$ + (2$\sqrt{2}$ - 3)x + 4 - 3$\sqrt{2}$ = 0
$\Delta$ = $ (2\sqrt{2} - 3)^2$ - 4.1.(4 - 3$\sqrt{2}$) = 8 - 12$\sqrt{2}$ + 9 - 16 + 12$\sqrt{2}$ = 1 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{- 2\sqrt{2} + 3 + 1}{2}$ = $\frac{2( 2 - \sqrt{2})}{2}$ = 2 - $\sqrt{2}$, $x_2$ = $\frac{- 2\sqrt{2} + 3 - 1}{2}$ = $\frac{2( 1 - \sqrt{2})}{2}$ = 1 - $\sqrt{2}$
Giải bài tập 58 sgk trang 63 đại số 9 tập 2.
Giải các phương trình:a) 1,2$x^3$ - $x^2$ - 0,2x = 0 b) 5$x^3$ - $x^2$ - 5x + 1 = 0
Bài giải:
a) 1,2$x^3$ - $x^2$ - 0,2x = 0 (1)
<=> x(1,2$x^2$ - x - 0,2) = 0 <=> $\left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ 1,2x^2 - x - 0,2 = 0\, (*)\end{matrix}\right.$
Phương trình (*) có a + b + c = 1,2 - 1 - 0,2 = 0 nên có hai nghiệm $x_2$ = 1, $x_3$ = $\frac{-0,2}{1,2}$ = -$\frac{1}{6}$
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm $x_1$ = 0, $x_2$ = 1, $x_3$ = -$\frac{1}{6}$
b) 5$x^3$ - $x^2$ - 5x + 1 = 0 (2)
<=> $x^2$(5x - 1) - (5x - 1) = 0 <=> (5x - 1)($x^2$ - 1) = 0
<=> $\left[ \,\begin{matrix}5x - 1 = 0 \\ x^2 - 1 = 0\end{matrix}\right.$ <=> $\left[ \,\begin{matrix}x = \frac{1}{5} \\ (x - 1)(x + 1) = 0\end{matrix}\right.$ <=> $\left[ \,\begin{matrix}x = \frac{1}{5} \\ x = \pm 1\end{matrix}\right.$
Vậy phương trình (2) có 3 nghiệm $x_1$ = $\frac{1}{5}$, $x_2$ = -1, $x_3$ = 1
Giải bài tập 59 sgk trang 63 đại số 9 tập 2.
Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:a) 2$(x^2 - 2x)^2$ + 3($x^2$ - 2x) + 1 = 0 b) $(x + \frac{1}{x})^2$ - 4(x + $\frac{1}{x}$) + 3 = 0
Bài giải:
a) 2$(x^2 - 2x)^2$ + 3($x^2$ - 2x) + 1 = 0 (1)
Đặt t = $x^2$ - 2x
Lúc đó (1) <=> 2$t^2$ + 3t + 1 = 0 (*)
Phương trình (*) có a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0 nên có hai nghiệm $t_1$ = -1, $t_2$ = -$\frac{1}{2}$
- Với t = -1, ta có $x^2$ - 2x = -1 <=> $x^2$ - 2x + 1 = 0, phương trình có nghiệm kép $x_1$ = $x_2$ = 1
- Với t = -$\frac{1}{2}$, ta có $x^2$ - 2x = -$\frac{1}{2}$ <=> 2$x^2$ - 4x + 1 = 0
$\Delta'$ = $(-2)^2$ - 2 = 2 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{2}$
Phương trình có hai nghiệm $x_3$ = $\frac{-(-2) + \sqrt{2}}{2}$ = $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$, $x_4$ = $\frac{-(-2) - \sqrt{2}}{2}$ = $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm $x_1$ = $x_2$ = 1, $x_3$ = $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$, $x_4$ = $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$.
b) $(x + \frac{1}{x})^2$ - 4(x + $\frac{1}{x}$) + 3 = 0 (2)
Điều kiện x $\neq$ 0
Đặt t = x + $\frac{1}{x}$
Lúc đó (2) <=> $t^2$ - 4t + 3 = 0 (*)
Phương trình (*) có a + b + c = 1 - 4 + 3 = 0 nên có hai nghiệm $t_1$ = 1, $t_2$ = 3
- Với t = 1, ta có x + $\frac{1}{x}$ = 1 <=> $x^2$ - x + 1 = 0
$\Delta'$ = $(-1)^2$ - 4.1.1 = -3 < 0 nên phương trình vô nghiệm
- Với t = 3, ta có x + $\frac{1}{x}$ = 3 <=> $x^2$ - 3x + 1 = 0
$\Delta'$ = $(-3)^2$ - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{5}$
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-3) + \sqrt{5}}{2}$ = $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2$ = $\frac{-(-3) - \sqrt{5}}{2}$ = $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
Xem bài trước: Luyện tập giải bài toán bằng cách lập phương trình.
EmoticonEmoticon