Định lí Ta-lét trong tam giác.
Trong khi giải bài tập, các anh chị lớp 9 hay lập luận áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác ta có... gì gì đó một cách rất "bí hiểm". Ta thật sự không hiểu gì. Nhưng giờ đây, ta cũng được học về định lí Ta-lét và sẽ biết được có thể vận dụng định lí Ta-lét để giải một bài toán như thế nào. Cùng khám phá ngay thôi!
Cho AB = 3cm, CD = 5cm. $\frac{AB}{CD}$ = ?
EF = 4dm, MN = 7dm. $\frac{EF}{MN}$ = ?
Giải:
Ta có $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{3}{5}$, $\frac{EF}{MN}$ = $\frac{4}{7}$
Ta nói:
$\frac{AB}{CD}$ là tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD.
$\frac{EF}{MN}$ là tỉ số của hai đoạn thẳng EF và MN.
Ta nhận thấy hai đoạn thẳng AB, CD với đơn vị đo là cm, nhưng hai đoạn thẳng EF, MN lại là đơn vị dm. Điều chúng ta cần lưu ý là nếu đơn vị đo đoạn thẳng AB là cm thì đơn vị đo đoạn thẳng CD cũng phải là cm. Tương tự với EF và MN.
Như vậy tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo, nhưng hai đoạn thẳng đó phải cùng đơn vị đo.
Với những phân tích trên, ta đi đến định nghĩa:
Ví dụ:
Nếu AB = 20 dm, CD = 50 dm thì $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{20}{50}$ = $\frac{2}{5}$
Nếu AB = 3m, CD = 4m thì $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{3}{4}$
Nhưng nếu AB = 50 cm, CD = 2,5dm thì sao? Dĩ nhiên, ta sẽ đưa về cùng đơn vị đo. Ta có 2,5dm = 25cm. Nên tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là
$\frac{AB}{CD}$ = $\frac{50}{25}$ = 2.
Cho bốn đoạn thẳng AB, CD, A'B', C'D' (h2)
So sánh các tỉ số $\frac{AB}{CD}$ và $\frac{A'B'}{C'D'}$.
Giải:
Để so sánh, trước hết ta lập các tỉ số:
$\frac{AB}{CD}$ = $\frac{2}{3}$ (1)
$\frac{A'B'}{C'D'}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{A'B'}{C'D'}$
Từ tỉ lệ thức $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{A'B'}{C'D'}$ nếu hoán đổi hai trung tỉ, ta được tỉ lệ thức: $\frac{AB}{A'B'}$ = $\frac{CD}{C'D'}$
Từ đó ta có định nghĩa:
Dễ dàng nhận thấy các đường kẻ ngang là các đường thẳng song song cách đều nên:
- Các đoạn thẳng liên tiếp trên cạnh AB bằng nhau, chúng được gọi là các đoạn chắn trên AB.
- Tương tự các đoạn thẳng liên tiếp trên cạnh AC cũng bằng nhau, chúng được gọi là các đoạn chắn trên AC.
- Gọi mỗi đoạn chắn trên cạnh AB là m, mỗi đoạn chắn trên cạnh AC là n, ta được:
$\left.\begin{matrix} \frac{AB'}{AB} = \frac{5m}{8m} = \frac{5}{8} \\ \frac{AC'}{AC} = \frac{5n}{8n} = \frac{5}{8}\end{matrix}\right\}$ => $\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC'}{AC}$
$\left.\begin{matrix} \frac{AB'}{B'B} = \frac{5m}{3m} = \frac{5}{3} \\ \frac{AC'}{C'C} = \frac{5n}{3n} = \frac{5}{3}\end{matrix}\right\}$ => $\frac{AB'}{B'B}$ = $\frac{AC'}{C'C}$
$\left.\begin{matrix} \frac{BB'}{AB} = \frac{3m}{8m} = \frac{3}{8} \\ \frac{CC'}{AC} = \frac{3n}{8n} = \frac{3}{8}\end{matrix}\right\}$ => $\frac{B'B}{AB}$ = $\frac{C'C}{AC}$
Qua trường hợp cụ thể trên, một cách tổng quát, ta có định lí sau:
GT: $\Delta$ ABC, B'C' // BC (B' $\in$ AB, C' $\in$ AC)
KL: $\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC'}{AC}$; $\frac{AB'}{B'B}$ = $\frac{AC'}{C'C}$; $\frac{B'B}{AB}$ = $\frac{C'C}{AC}$
Giờ là lúc ta vận dụng định lí Ta-lét để tính độ dài của một đoạn thẳng nào đó thông qua các tỉ số bằng nhau.
Ví dụ: Tính độ dài x và y trong hình 5 (các số chỉ kích thước có cùng đơn vị đo)
Hình 5a:
Theo hình vẽ a // BC
Nên theo định lí Ta-lét ta có:
$\frac{AD}{DB}$ = $\frac{AE}{EC}$ <=> $\frac{\sqrt{3}}{5}$ = $\frac{x}{10}$ <=> x = $\frac{10.\sqrt{3}}{5}$ = 2$\sqrt{3}$
Hình 5b:
Ta có $\left.\begin{matrix} DE \perp CA\\ BA \perp CA\end{matrix}\right\}$ => DE // BA
Theo định lí Talet ta có:
$\frac{CD}{CB}$ = $\frac{CE}{CA}$ <=> $\frac{\sqrt{5}}{5 + 3,5}$ = $\frac{4}{y}$ <=> y = $\frac{4.8,5}{5}$ = 6,8
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Tỉ số của hai đoạn thẳng
Để hiểu về tỉ số đoạn thẳng ta sẽ giải phần ?1 trong sgkCho AB = 3cm, CD = 5cm. $\frac{AB}{CD}$ = ?
EF = 4dm, MN = 7dm. $\frac{EF}{MN}$ = ?
Giải:
Ta có $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{3}{5}$, $\frac{EF}{MN}$ = $\frac{4}{7}$
Ta nói:
$\frac{AB}{CD}$ là tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD.
$\frac{EF}{MN}$ là tỉ số của hai đoạn thẳng EF và MN.
Ta nhận thấy hai đoạn thẳng AB, CD với đơn vị đo là cm, nhưng hai đoạn thẳng EF, MN lại là đơn vị dm. Điều chúng ta cần lưu ý là nếu đơn vị đo đoạn thẳng AB là cm thì đơn vị đo đoạn thẳng CD cũng phải là cm. Tương tự với EF và MN.
Như vậy tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo, nhưng hai đoạn thẳng đó phải cùng đơn vị đo.
Với những phân tích trên, ta đi đến định nghĩa:
Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.➤ Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD được kí hiệu là $\frac{AB}{CD}$.
Ví dụ:
Nếu AB = 20 dm, CD = 50 dm thì $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{20}{50}$ = $\frac{2}{5}$
Nếu AB = 3m, CD = 4m thì $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{3}{4}$
Nhưng nếu AB = 50 cm, CD = 2,5dm thì sao? Dĩ nhiên, ta sẽ đưa về cùng đơn vị đo. Ta có 2,5dm = 25cm. Nên tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là
$\frac{AB}{CD}$ = $\frac{50}{25}$ = 2.
Đoạn thẳng tỉ lệ.
Xét bài toán:Cho bốn đoạn thẳng AB, CD, A'B', C'D' (h2)
So sánh các tỉ số $\frac{AB}{CD}$ và $\frac{A'B'}{C'D'}$.
 |
| Hình 2 |
Để so sánh, trước hết ta lập các tỉ số:
$\frac{AB}{CD}$ = $\frac{2}{3}$ (1)
$\frac{A'B'}{C'D'}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{A'B'}{C'D'}$
Từ tỉ lệ thức $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{A'B'}{C'D'}$ nếu hoán đổi hai trung tỉ, ta được tỉ lệ thức: $\frac{AB}{A'B'}$ = $\frac{CD}{C'D'}$
Từ đó ta có định nghĩa:
Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C'D' nếu có tỉ lệ thức: $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{A'B'}{C'D'}$ hay $\frac{AB}{A'B'}$ = $\frac{CD}{C'D'}$
Định lí Ta-lét trong tam giác.
Vẽ tam giác ABC trên giấy kẻ ô vuông như hình 3. |
| Hình 3 |
- Các đoạn thẳng liên tiếp trên cạnh AB bằng nhau, chúng được gọi là các đoạn chắn trên AB.
- Tương tự các đoạn thẳng liên tiếp trên cạnh AC cũng bằng nhau, chúng được gọi là các đoạn chắn trên AC.
- Gọi mỗi đoạn chắn trên cạnh AB là m, mỗi đoạn chắn trên cạnh AC là n, ta được:
$\left.\begin{matrix} \frac{AB'}{AB} = \frac{5m}{8m} = \frac{5}{8} \\ \frac{AC'}{AC} = \frac{5n}{8n} = \frac{5}{8}\end{matrix}\right\}$ => $\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC'}{AC}$
$\left.\begin{matrix} \frac{AB'}{B'B} = \frac{5m}{3m} = \frac{5}{3} \\ \frac{AC'}{C'C} = \frac{5n}{3n} = \frac{5}{3}\end{matrix}\right\}$ => $\frac{AB'}{B'B}$ = $\frac{AC'}{C'C}$
$\left.\begin{matrix} \frac{BB'}{AB} = \frac{3m}{8m} = \frac{3}{8} \\ \frac{CC'}{AC} = \frac{3n}{8n} = \frac{3}{8}\end{matrix}\right\}$ => $\frac{B'B}{AB}$ = $\frac{C'C}{AC}$
Qua trường hợp cụ thể trên, một cách tổng quát, ta có định lí sau:
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.Đó chính là nội dung của định lí Ta-lét, ta chỉ thừa nhận, không chứng minh. Nhưng ít ra, cũng cần viết được GT và KL của định lí.
GT: $\Delta$ ABC, B'C' // BC (B' $\in$ AB, C' $\in$ AC)
KL: $\frac{AB'}{AB}$ = $\frac{AC'}{AC}$; $\frac{AB'}{B'B}$ = $\frac{AC'}{C'C}$; $\frac{B'B}{AB}$ = $\frac{C'C}{AC}$
Giờ là lúc ta vận dụng định lí Ta-lét để tính độ dài của một đoạn thẳng nào đó thông qua các tỉ số bằng nhau.
Ví dụ: Tính độ dài x và y trong hình 5 (các số chỉ kích thước có cùng đơn vị đo)
Hình 5a:
 |
| Hình 5a |
Theo hình vẽ a // BC
Nên theo định lí Ta-lét ta có:
$\frac{AD}{DB}$ = $\frac{AE}{EC}$ <=> $\frac{\sqrt{3}}{5}$ = $\frac{x}{10}$ <=> x = $\frac{10.\sqrt{3}}{5}$ = 2$\sqrt{3}$
Hình 5b:
 |
| Hình 5b. |
Ta có $\left.\begin{matrix} DE \perp CA\\ BA \perp CA\end{matrix}\right\}$ => DE // BA
Theo định lí Talet ta có:
$\frac{CD}{CB}$ = $\frac{CE}{CA}$ <=> $\frac{\sqrt{5}}{5 + 3,5}$ = $\frac{4}{y}$ <=> y = $\frac{4.8,5}{5}$ = 6,8
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon