Giải bài ôn tập chương IV đại số 9 tập 2(tt)
Định lí Vi-ét được vận dụng linh hoạt sẽ giúp các bạn tìm nghiệm của phương trình bậc 2 một cách nhanh chóng. Kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình cũng được củng cố khi hoàn thành những bài ôn tập chương này.
a) 12$x^2$ - 8x + 1 = 0, $x_1$ = $\frac{1}{2}$; b) 2$x^2$ - 7x - 39 = 0, $x_1$ = -3
c) $x^2$ + x - 2 + $\sqrt{2}$ = 0, $x_1$ = -$\sqrt{2}$; d) $x^2$ -2mx + m - 1 = 0, $x_1$ = 2
Bài giải:
Theo đề bài, các phương trình đã cho có hai nghiệm, nên ta có thể áp dụng định lí Vi-ét để tìm nghiệm chưa biết.
a) 12$x^2$ - 8x + 1 = 0, $x_1$ = $\frac{1}{2}$
Ta có $x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ <=> $\frac{1}{2}$.$x_2$ = $\frac{1}{12}$ <=> $x_2$ = $\frac{1}{6}$
Vậy nghiệm kia là $x_2$ = $\frac{1}{6}$
b) 2$x^2$ - 7x - 39 = 0, $x_1$ = -3
Ta có $x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ <=> -3.$x_2$ = $\frac{-39}{2}$ <=> $x_2$ = $\frac{-39}{-6}$ <=> $x_2$ = $\frac{13}{2}$
Vậy nghiệm kia là $x_2$ = $\frac{13}{2}$
c) $x^2$ + x - 2 + $\sqrt{2}$ = 0, $x_1$ = -$\sqrt{2}$
Ta có $x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ <=> -$\sqrt{2}$.$x_2$ = $\frac{\sqrt{2} - 2}{1}$ <=> $x_2$ = $\frac{\sqrt{2} - 2}{-\sqrt{2}}$ <=> $x_2$ = $\frac{\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{-\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$ - 1
d) $x^2$ - 2mx + m - 1 = 0, $x_1$ = 2
Thay $x_1$ = 2 vào phương trình, ta được $2^2$ - 2m.2 + m - 1 = 0 <=> 4 - 2m + m - 1 = 0 <=> 3m = 3 <=> m = 1
Ta có $x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ <=> 2.$x_2$ = m - 1
Với m = 1 thì 2.$x_2$ = 0 <=> $x_2$ = 0
Vậy nghiệm kia là $x_2$ = 0
a) u + v = 12, u.v = 28 và u > v b) u + v = 3, u.v = 6
Bài giải:
Bài toán có dạng tìm hai số khi biết tổng và tích.
a) Ta có u + v = 12, u.v = 28 nên u, v là hai nghiệm của phương trình $X^2$ - 12X + 28 = 0
$\Delta'$ = $(-6)^2$ - 1.28 = 36 - 28 = 8 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{8}$ = 2$\sqrt{2}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $X_1$ = -(-6) + 2$\sqrt{2}$ = 6 + 2$\sqrt{2}$,
$X_2$ = -(-6) - 2$\sqrt{2}$ = 6 - 2$\sqrt{2}$
Theo đề u > v nên u = 6 + 2$\sqrt{2}$ và v = 6 - 2$\sqrt{2}$
b) Tương tự, ta có u + v = 3, u.v = 6 nên u, v là nghiệm của phương trình $X^2$ - 3X + 6 = 0
$\Delta$ = $(-3)^2$ - 4.1.6 = 9 - 24 = -15 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm nên sẽ không có hai số u, v nào thỏa mãn điều kiện đề bài.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.
Bài giải:
a) Phương trình có nghiệm khi $\Delta'$ $\geq$ 0
Ta có $\Delta'$ = $(m - 1)^2$ - 7.(-$m^2$) = $(m - 1)^2$ + 7$m^2$ $\geq$ 0 với mọi m
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Trường hợp phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$. Khi đó tổng các bình phương hai nghiệm là $x_1^2$ + $x_2^2$
Ta có $x_1^2$ + $x_2^2$ = $(x_1 + x_2)^2$ - 2$x_1$$x_2$ = $(\frac{-b}{a})^2$ - 2$\frac{c}{a}$ = $[\frac{-2(m - 1)}{7})^2$ - 2$\frac{-m^2}{7}$
= $\frac{4(m^2 - 2m + 1)}{49}$ + $\frac{2m^2}{7}$ = $\frac{4m^2 - 8m + 4 + 14m^2}{49}$ = $\frac{18m^2 - 8m + 4}{49}$
Vậy $x_1^2$ + $x_2^2$ = $\frac{18m^2 - 8m + 4}{49}$
Bài giải:
Gọi tỉ lệ dân số trung bình mỗi năm của thành phố là x %, điều kiện x > 0
Như vậy sau một năm, dân số của thành phố là:
2 000 000 + 2 000 000.$\frac{x}{100}$ = 2 000 000 + 20 000x (người)
Sau hai năm dân số của thành phố sẽ là
2 000 000 + 20 000x + (2 000 000 + 20 000x).$\frac{x}{100}$ = 2 000 000 + 20 000x + 20 000x + 200$x^2$ = 2 000 000 + 40 000x + 200$x^2$ (người)
Theo đề bài ta có phương trình:
2 000 000 + 40 000x + 200$x^2$ = 2 020 050 <=> 200$x^2$ + 40 000x - 20 050 = 0 <=> 4$x^2$ + 800x - 401 = 0
$\Delta'$ = $400^2$ - 4.(-401) = 160 000 + 1604 = 161 604 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{161 604}$ = 402
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-400 + 402}{4}$ = $\frac{1}{2}$ = 0,5; $x_2$ = $\frac{-400 - 402}{4}$ = -$\frac{802}{4}$ = -200,5
Nghiệm $x_2$ không thỏa mãn điều kiện nên loại
Vậy tỉ lệ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố là 0,5 %
Bài giải:
Gọi số dương ban đầu đề bài yêu cầu là x, điều kiện x $\in$ N*
Khi đó số mà bạn Quân chọn để nhân với x là (x - 2)
Theo đề bài, ta có: x(x - 2) = 120 <=> $x^2$ - 2x - 120 = 0
Giải phương trình trên:
$\Delta'$ = $(-1)^2$ - 1.(-120) = 1 + 120 = 121 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{121}$ = 11
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = -(-1) + 11 = 12, $x_2$ = -(-1) - 11 = -10
Nghiệm $x_2$ không thỏa mãn điều kiện nên loại.
Vậy số dương mà đề cho là 12
Do đó kết quả đúng theo yêu cầu của đề bài là 12.(12 + 2) = 168
Bài giải:
Gọi vận tốc của xe lửa đi từ Hà Nội là x (km/h), điều kiện x > 0
Khi đó vận tốc của xe lửa đi từ Bình Sơn là x + 5 (km/h)
Nửa quãng đường Hà Nội - Bình Sơn là 900 : 2 = 450 km
Thời gian xe lửa đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là $\frac{450}{x}$ (giờ)
Thời gian xe lửa đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là $\frac{450}{x + 5}$ (giờ)
Theo đề bài ta có phương trình:
$\frac{450}{x}$ - $\frac{450}{x + 5}$ = 1 <=> 450(x + 5) - 450x = x(x + 5) <=> 450x + 2250 - 450x = $x^2$ + 5x <=> $x^2$ + 5x - 2250 = 0
Giải phương trình trên
$\Delta$ = $5^2$ - 4.1.(-2250) = 25 + 9000 = 9025 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{9025}$ = 95
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-5 + 95}{2}$ = 45, $x_2$ = $\frac{-5 - 95}{2}$ = -50
Nghiệm $x_2$ không thỏa mãn điều kiện
Vậy vận tốc của xe lửa đi từ Hà Nội là 45 km/h
Vận tốc của xe lửa đi từ Bình Sơn là 45 + 5 = 50 km/h
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài tập 60 trang 64 sgk đại số 9 tập 2
Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hay tìm nghiệm kia:a) 12$x^2$ - 8x + 1 = 0, $x_1$ = $\frac{1}{2}$; b) 2$x^2$ - 7x - 39 = 0, $x_1$ = -3
c) $x^2$ + x - 2 + $\sqrt{2}$ = 0, $x_1$ = -$\sqrt{2}$; d) $x^2$ -2mx + m - 1 = 0, $x_1$ = 2
Bài giải:
Theo đề bài, các phương trình đã cho có hai nghiệm, nên ta có thể áp dụng định lí Vi-ét để tìm nghiệm chưa biết.
Xem lại định lí Vi-étTheo định lí Vi-ét, ta đã biết $x_1$ nên việc tính $x_2$ thật dễ dàng dựa vào tích hai nghiệm $x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$.
a) 12$x^2$ - 8x + 1 = 0, $x_1$ = $\frac{1}{2}$
Ta có $x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ <=> $\frac{1}{2}$.$x_2$ = $\frac{1}{12}$ <=> $x_2$ = $\frac{1}{6}$
Vậy nghiệm kia là $x_2$ = $\frac{1}{6}$
b) 2$x^2$ - 7x - 39 = 0, $x_1$ = -3
Ta có $x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ <=> -3.$x_2$ = $\frac{-39}{2}$ <=> $x_2$ = $\frac{-39}{-6}$ <=> $x_2$ = $\frac{13}{2}$
Vậy nghiệm kia là $x_2$ = $\frac{13}{2}$
c) $x^2$ + x - 2 + $\sqrt{2}$ = 0, $x_1$ = -$\sqrt{2}$
Ta có $x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ <=> -$\sqrt{2}$.$x_2$ = $\frac{\sqrt{2} - 2}{1}$ <=> $x_2$ = $\frac{\sqrt{2} - 2}{-\sqrt{2}}$ <=> $x_2$ = $\frac{\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{-\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$ - 1
d) $x^2$ - 2mx + m - 1 = 0, $x_1$ = 2
Thay $x_1$ = 2 vào phương trình, ta được $2^2$ - 2m.2 + m - 1 = 0 <=> 4 - 2m + m - 1 = 0 <=> 3m = 3 <=> m = 1
Ta có $x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ <=> 2.$x_2$ = m - 1
Với m = 1 thì 2.$x_2$ = 0 <=> $x_2$ = 0
Vậy nghiệm kia là $x_2$ = 0
Giải bài tập 61 trang 64 sgk đại số 9 tập 2
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:a) u + v = 12, u.v = 28 và u > v b) u + v = 3, u.v = 6
Bài giải:
Bài toán có dạng tìm hai số khi biết tổng và tích.
a) Ta có u + v = 12, u.v = 28 nên u, v là hai nghiệm của phương trình $X^2$ - 12X + 28 = 0
$\Delta'$ = $(-6)^2$ - 1.28 = 36 - 28 = 8 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{8}$ = 2$\sqrt{2}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $X_1$ = -(-6) + 2$\sqrt{2}$ = 6 + 2$\sqrt{2}$,
$X_2$ = -(-6) - 2$\sqrt{2}$ = 6 - 2$\sqrt{2}$
Theo đề u > v nên u = 6 + 2$\sqrt{2}$ và v = 6 - 2$\sqrt{2}$
b) Tương tự, ta có u + v = 3, u.v = 6 nên u, v là nghiệm của phương trình $X^2$ - 3X + 6 = 0
$\Delta$ = $(-3)^2$ - 4.1.6 = 9 - 24 = -15 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm nên sẽ không có hai số u, v nào thỏa mãn điều kiện đề bài.
Giải bài tập 62 trang 64 sgk đại số 9 tập 2
Cho phương trình 7$x^2$ + 2(m - 1)x - $m^2$ = 0a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình.
Bài giải:
a) Phương trình có nghiệm khi $\Delta'$ $\geq$ 0
Ta có $\Delta'$ = $(m - 1)^2$ - 7.(-$m^2$) = $(m - 1)^2$ + 7$m^2$ $\geq$ 0 với mọi m
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Trường hợp phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$. Khi đó tổng các bình phương hai nghiệm là $x_1^2$ + $x_2^2$
Ta có $x_1^2$ + $x_2^2$ = $(x_1 + x_2)^2$ - 2$x_1$$x_2$ = $(\frac{-b}{a})^2$ - 2$\frac{c}{a}$ = $[\frac{-2(m - 1)}{7})^2$ - 2$\frac{-m^2}{7}$
= $\frac{4(m^2 - 2m + 1)}{49}$ + $\frac{2m^2}{7}$ = $\frac{4m^2 - 8m + 4 + 14m^2}{49}$ = $\frac{18m^2 - 8m + 4}{49}$
Vậy $x_1^2$ + $x_2^2$ = $\frac{18m^2 - 8m + 4}{49}$
Giải bài tập 63 trang 64 sgk đại số 9 tập 2
Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm số dân của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?Bài giải:
Gọi tỉ lệ dân số trung bình mỗi năm của thành phố là x %, điều kiện x > 0
Như vậy sau một năm, dân số của thành phố là:
2 000 000 + 2 000 000.$\frac{x}{100}$ = 2 000 000 + 20 000x (người)
Sau hai năm dân số của thành phố sẽ là
2 000 000 + 20 000x + (2 000 000 + 20 000x).$\frac{x}{100}$ = 2 000 000 + 20 000x + 20 000x + 200$x^2$ = 2 000 000 + 40 000x + 200$x^2$ (người)
Theo đề bài ta có phương trình:
2 000 000 + 40 000x + 200$x^2$ = 2 020 050 <=> 200$x^2$ + 40 000x - 20 050 = 0 <=> 4$x^2$ + 800x - 401 = 0
$\Delta'$ = $400^2$ - 4.(-401) = 160 000 + 1604 = 161 604 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{161 604}$ = 402
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-400 + 402}{4}$ = $\frac{1}{2}$ = 0,5; $x_2$ = $\frac{-400 - 402}{4}$ = -$\frac{802}{4}$ = -200,5
Nghiệm $x_2$ không thỏa mãn điều kiện nên loại
Vậy tỉ lệ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố là 0,5 %
Giải bài tập 64 trang 64 sgk đại số 9 tập 2
Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?Bài giải:
Gọi số dương ban đầu đề bài yêu cầu là x, điều kiện x $\in$ N*
Khi đó số mà bạn Quân chọn để nhân với x là (x - 2)
Theo đề bài, ta có: x(x - 2) = 120 <=> $x^2$ - 2x - 120 = 0
Giải phương trình trên:
$\Delta'$ = $(-1)^2$ - 1.(-120) = 1 + 120 = 121 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{121}$ = 11
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = -(-1) + 11 = 12, $x_2$ = -(-1) - 11 = -10
Nghiệm $x_2$ không thỏa mãn điều kiện nên loại.
Vậy số dương mà đề cho là 12
Do đó kết quả đúng theo yêu cầu của đề bài là 12.(12 + 2) = 168
Giải bài tập 65 trang 64 sgk đại số 9 tập 2
Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội - Bình Sơn dài 900 km.Bài giải:
Gọi vận tốc của xe lửa đi từ Hà Nội là x (km/h), điều kiện x > 0
Khi đó vận tốc của xe lửa đi từ Bình Sơn là x + 5 (km/h)
Nửa quãng đường Hà Nội - Bình Sơn là 900 : 2 = 450 km
Thời gian xe lửa đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là $\frac{450}{x}$ (giờ)
Thời gian xe lửa đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là $\frac{450}{x + 5}$ (giờ)
Theo đề bài ta có phương trình:
$\frac{450}{x}$ - $\frac{450}{x + 5}$ = 1 <=> 450(x + 5) - 450x = x(x + 5) <=> 450x + 2250 - 450x = $x^2$ + 5x <=> $x^2$ + 5x - 2250 = 0
Giải phương trình trên
$\Delta$ = $5^2$ - 4.1.(-2250) = 25 + 9000 = 9025 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{9025}$ = 95
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-5 + 95}{2}$ = 45, $x_2$ = $\frac{-5 - 95}{2}$ = -50
Nghiệm $x_2$ không thỏa mãn điều kiện
Vậy vận tốc của xe lửa đi từ Hà Nội là 45 km/h
Vận tốc của xe lửa đi từ Bình Sơn là 45 + 5 = 50 km/h
Xem bài trước: Ôn tập chương IV phần 1
EmoticonEmoticon