Giải bài luyện tập góc có đỉnh ở bên trong và bên ngoài đường tròn.
Giải bài 39 trang 83 sgk hình học 9 tập 2.
Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB tại E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S. Chứng minh ES = EM.Bài giải:
 |
| AB vuông góc với CD. |
Ta có $\widehat{MSE}$ = $\frac{1}{2}$(sđ⁀CA + sđ⁀BM) (1) (định lí góc có đỉnh ở bên trong đường tròn).
Mặt khác ta có $\widehat{CME}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀CM (định lí góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)
<=> $\widehat{CME}$ = $\frac{1}{2}$(sđ⁀CB + sđ⁀BM)
Mà ⁀CA = ⁀CB (vì AB $\perp$ CD)
Nên $\widehat{CME}$ = $\frac{1}{2}$(sđ⁀CA + sđ⁀BM) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MSE}$ = $\widehat{CME}$
Hay $\widehat{MSE}$ = $\widehat{SME}$.
Do đó tam giác MES cân tại E.
Suy ra ES = EM (đpcm).
Giải bài 40 trang 83 sgk hình học 9 tập 2.
Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD.Bài giải:
 |
| SA là tiếp tuyến của đường tròn (O) |
Ta có:
$\widehat{ADS}$ = $\frac{sđ⁀AB + sđ⁀CE}{2}$ (1) (định lí góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
$\widehat{SAD}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AE (2) (định lí góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)
Ta lại có $\widehat{A_1}$ = $\widehat{A_2}$ (AE là tia phân giác góc BAC)
Nên ⁀BE = ⁀CE
Khi đó sđ⁀AB + sđ⁀CE = sđ⁀AB + sđ⁀BE = sđ⁀AE. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{ADS}$ = $\widehat{SAD}$
Nên tam giác ASD cân tại S.
Suy ra SA = SD (đpcm).
➤ Nếu không thích cách trên các bạn có thể giải theo cách khác như sau:
Ta có $\widehat{ADS}$ = $\widehat{A_2}$ + $\widehat{C}$ (1) (góc ngoài của tam giác ADC).
Ta cũng có $\widehat{SAD}$ = $\widehat{A_1}$ + $\widehat{A_3}$
Hay $\widehat{SAD}$ = $\widehat{A_2}$ + $\widehat{A_3}$ (2) (vì $\widehat{A_1}$ = $\widehat{A_2}$)
Mặt khác ta có $\widehat{C}$ = $\widehat{A_3}$ (3) (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung AB).
Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\widehat{ADS}$ = $\widehat{SAD}$.
Do đó tam giác ASD cân tại S.
Suy ra SA = SD (đpcm).
Giải bài 41 trang 83 sgk hình học 9 tập 2.
Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm trong hình tròn. Chứng minh $\widehat{A}$ + $\widehat{BSM}$ = 2$\widehat{CMN}$.Bài giải:
 |
| ABC và AMN là hai cát tuyến của đường tròn (O) |
Ta có $\widehat{A}$ = $\frac{sđ⁀CN - sđ⁀BM}{2}$ (định lí góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)
$\widehat{BSM}$ = $\frac{sđ⁀CN + sđ⁀BM}{2}$ (định lí góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
Khi đó $\widehat{A}$ + $\widehat{BSM}$ = $\frac{sđ⁀CN - sđ⁀BM}{2}$ + $\frac{sđ⁀CN + sđ⁀BM}{2}$
<=> $\widehat{A}$ + $\widehat{BSM}$ = 2$\frac{sđ⁀CN}{2}$
<=> $\widehat{A}$ + $\widehat{BSM}$ = sđ⁀CN (1)
Mặt khác ta có $\widehat{CMN}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀CN (định lí góc nội tiếp)
<=> sđ⁀CN = 2$\widehat{CMN}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{A}$ + $\widehat{BSM}$ = 2$\widehat{CMN}$ (đpcm).
Giải bài 42 trang 83 sgk hình học 9 tập 2.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn . P, Q, R theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung BC, CA, AB.a) Chứng minh AP $\perp$ QR
b) AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân.
Bài giải:
 |
| Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) |
a) Gọi K là giao điểm của AP và RQ.
Ta có $\widehat{AKR}$ = $\frac{1}{2}$(sđ⁀AR + sđ⁀QCP) (định lí góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
<=> $\widehat{AKR}$ = $\frac{1}{2}$(sđ⁀AR + sđ⁀QC + sđ⁀CP)
<=> $\widehat{AKR}$ = $\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$sđ⁀AB + $\frac{1}{2}$sđ⁀AC + $\frac{1}{2}$sđ⁀BC)
<=> $\widehat{AKR}$ = $\frac{1}{4}$(sđ⁀AB + sđ⁀AC + sđ⁀BC)
<=> $\widehat{AKR}$ = $\frac{1}{4}$$360^0$
<=> $\widehat{AKR}$ = $90^0$..
Suy ra AP $\perp$ QR (đpcm).
b) Ta có
$\widehat{CIP}$ = $\frac{sđ⁀AR + sđ⁀PC}{2}$ (định lí góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
$\widehat{PCI}$ = $\frac{sđ⁀RB + sđ⁀PB}{2}$ (định lí góc nội tiếp)
Mà theo giả thiết ⁀PB = ⁀PC và ⁀AR = ⁀AR.
Nên $\widehat{CIP}$ = $\widehat{PCI}$.
Suy ra tam giác CPI cân tại P. (đpcm).
Giải bài 43 trang 83 sgk hình học 9 tập 2.
Cho đường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CD (A và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD); AD cắt BC tại I. Chứng minh $\widehat{AOC}$ = $\widehat{AIC}$Bài giải:
 |
| Dây cung AB song song với CD. |
Ta có ⁀AC = ⁀BD (vì AB // CD)
=> sđ⁀AC = sđ⁀BD
Ta lại có $\widehat{AIC}$ = $\frac{1}{2}$(sđ⁀AC + sđ⁀BD)
Hay $\widehat{AIC}$ = $\frac{1}{2}$(sđ⁀AC + sđ⁀AC) (vì sđ⁀AC = sđ⁀BD)
<=> $\widehat{AIC}$ = $\frac{1}{2}$2sđ⁀AC
<=> $\widehat{AIC}$ = sđ⁀AC
Mặt khác ta có $\widehat{AOC}$ = sđ⁀AC (vì AOC là góc ở tâm)
Suy ra $\widehat{AIC}$ = $\widehat{AOC}$ (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon