[Toán 9] Giải các phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$
Ngày 5/8/2018 bạn Nguyễn Hân gửi bài toán giải các phương trình sau:
1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x + 15) = $x^2$
2) 4(x + 5) (x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3$x^2$
3) (x + 2)$(x + 4)^2$(x + 8) = $x^2$
4) (4$x^2$ - 4x + 1)($x^2$ - 4x + 4) = $x^2$
Trả lời cho bạn: Chào bạn, có lẽ bạn đã được làm quen với phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$. Những bài tập bạn yêu cầu cũng tương tự, nên ta sẽ áp dụng linh hoạt cách giải mà cô giáo của bạn đã trang bị trên lớp.
1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x + 15) = $x^2$
2) 4(x + 5) (x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3$x^2$
3) (x + 2)$(x + 4)^2$(x + 8) = $x^2$
4) (4$x^2$ - 4x + 1)($x^2$ - 4x + 4) = $x^2$
 |
| Đề bài giải phương trình. |
Trả lời cho bạn: Chào bạn, có lẽ bạn đã được làm quen với phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$. Những bài tập bạn yêu cầu cũng tương tự, nên ta sẽ áp dụng linh hoạt cách giải mà cô giáo của bạn đã trang bị trên lớp.
1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x + 15) = $x^2$
Ta có (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x + 15) = $x^2$
<=> [(2x + 1)(2x + 15)][(2x + 3)(2x + 5)] = $x^2$
<=> (4$x^2$ + 32x + 15)(4$x^2$ + 16x + 15) = $x^2$
Dễ dàng nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
$\frac{(4x^2 + 32x + 15)(4x^2 + 16x + 15)}{x^2}$ = 1
<=> $\frac{4x^2 + 32x + 15}{x}$.$\frac{4x^2 + 16x + 15}{x}$ = 1
<=> (4x + 32 + $\frac{15}{x}$).(4x + 16 + $\frac{15}{x}$) = 1 (1)
Đặt t = 4x + $\frac{15}{x}$ + 16
Khi đó (1) <=> t(t + 16) = 1
<=> $t^2$ + 16t - 1 = 0
Giải ra được $t_1$ = $\frac{1}{10}$; $t_2$ = $\frac{-161}{10}$
Với t = $\frac{1}{10}$, ta có 4x + $\frac{15}{x}$ + 16 = $\frac{1}{10}$
Giải ra được $x_1;_2$ = $\frac{-159 \pm \sqrt{1281}}{80}$
Giải ra được $t_1$ = $\frac{1}{10}$; $t_2$ = $\frac{-161}{10}$
Với t = $\frac{1}{10}$, ta có 4x + $\frac{15}{x}$ + 16 = $\frac{1}{10}$
Giải ra được $x_1;_2$ = $\frac{-159 \pm \sqrt{1281}}{80}$
Với t = $\frac{-161}{10}$, ta có: 4x + $\frac{15}{x}$ + 16 = $\frac{-161}{10}$
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$\frac{-159 - \sqrt{1281}}{80}$; $\frac{-159 + \sqrt{1281}}{80}$}
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$\frac{-159 - \sqrt{1281}}{80}$; $\frac{-159 + \sqrt{1281}}{80}$}
2) 4(x + 5) (x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3$x^2$
Ta có 4(x + 5) (x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3$x^2$
<=> 4[(x +5)(x + 12)][(x + 6)(x + 10)] = 3$x^2$
<=> 4($x^2$ + 17x + 60)($x^2$ + 16x + 60) = 3$x^2$
Có thể thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt, nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
$\frac{4}{x^2}$($x^2$ + 17x + 60)($x^2$ + 16x + 60) = 3
<=> 4(x + $\frac{60}{x}$ + 17)(x + $\frac{60}{x}$ + 16) = 3 (2)
Đặt t = x + $\frac{60}{x}$ + 16
Khi đó (2) <=> 4t(t + 1) = 3
<=> 4$t^2$ + 4t - 3 = 0
<=> (2t + 3)(2t - 1) = 0
<=> t = -$\frac{3}{2}$ và t = $\frac{1}{2}$
Với t = -$\frac{3}{2}$, ta có: x + $\frac{60}{x}$ + 16 = -$\frac{3}{2}$
Giải ra ta được $x_1$ = 4,7; $x_2$ = -12,8
Với t = $\frac{1}{2}$, ta có x + $\frac{60}{x}$ + 16 = $\frac{1}{2}$
Giải ra ta được $x_1$ = -7,5; $x_2$ = -8
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {-12,8; -8; -7,5; 4,7}
3) (x + 2)$(x + 4)^2$(x + 8) = $x^2$
<=> [(x + 2)(x + 8)][(x + 4)(x + 4) = $x^2$
<=> ($x^2$ + 10x + 16)($x^2$ + 8x + 16) = $x^2$
Có thể thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt, nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
$\frac{(2x^2 - 5x + 2)(2x^2 - 5x + 2)}{x^2}$ = 1
<=> $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x}$.$\frac{2x^2 - 5x + 2}{x}$ = 1
<=> (2x - 5 + $\frac{2}{x}$)(2x - 5 + $\frac{2}{x}$) = 1 (3)
Đặt t = 2x - 5 + $\frac{2}{x}$
Khi đó (3) <=> $t^2$ = 1 <=> t = $\pm$1
Với t = 1, ta có:
2x - 5 + $\frac{2}{x}$ = 1
Giải ra được $x_1;_2$ = $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
Với t = -1, ta có:
2x - 5 + $\frac{2}{x}$ = 1
Giải ra được $x_3$ = $x_4$ = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$; $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$; 1}
4) (4$x^2$ - 4x + 1)($x^2$ - 4x + 4) = $x^2$
<=> [(x + 2)(x + 8)][(x + 4)(x + 4)] = $x^2$
($x^2$ + 10x + 16)($x^2$ + 8x + 16) = $x^2$
Có thể thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt, nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
$\frac{(x^2 + 10x + 16)(x^2 + 8x + 16)}{x^2}$ = 1
<=> $\frac{x^2 + 10x + 16}{x}$.$\frac{x^2 + 8x + 16}{x}$ = 1
<=> (x + 10 + $\frac{16}{x}$)(x + 8 + $\frac{16}{x}$) = 1 (4)
Đặt t = x + 8 + $\frac{16}{x}$
Khi đó (4) <=> t(t + 2) = 1
<=> $t^2$ + 2t - 1 = 0
Ta tìm được $t_1$ = 0,4; $t_2$ = -2,4
Với t = 0,4; ta có x + 8 + $\frac{16}{x}$ = 0,4
<=> x + 8 + $\frac{16}{x}$ = $\frac{4}{10}$
<=> 10$x^2$ + 80x + 160 = 4x
<=> 10$x^2$ + 76x + 160 = 0 : Phương trình này vô nghiệm.
Với t = -2,4; ta có x + 8 + $\frac{16}{x}$ = -2,4
<=> x + 8 + $\frac{16}{x}$ = -$\frac{24}{10}$
<=> 10$x^2$ + 80x + 160 = -24x
<=> 10$x^2$ + 104x + 160 = 0
<=> 5$x^2$ + 52x + 80 = 0
Giải ra được $x_1;_2$ = $\frac{-26 \pm \sqrt{256}}{5}$
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$\frac{-26 - \sqrt{256}}{5}$; $\frac{-26 + \sqrt{256}}{5}$}
☺ Trên đây là những gợi ý về cách giải, các con số hơi phức tạp nên các kết quả chỉ mang tính tương đối. Bạn tính toán lại thật kỹ để có kết luận nghiệm thật chính xác bạn nhé!
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Ta có 4(x + 5) (x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3$x^2$
<=> 4[(x +5)(x + 12)][(x + 6)(x + 10)] = 3$x^2$
<=> 4($x^2$ + 17x + 60)($x^2$ + 16x + 60) = 3$x^2$
Có thể thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt, nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
$\frac{4}{x^2}$($x^2$ + 17x + 60)($x^2$ + 16x + 60) = 3
<=> 4(x + $\frac{60}{x}$ + 17)(x + $\frac{60}{x}$ + 16) = 3 (2)
Đặt t = x + $\frac{60}{x}$ + 16
Khi đó (2) <=> 4t(t + 1) = 3
<=> 4$t^2$ + 4t - 3 = 0
<=> (2t + 3)(2t - 1) = 0
<=> t = -$\frac{3}{2}$ và t = $\frac{1}{2}$
Với t = -$\frac{3}{2}$, ta có: x + $\frac{60}{x}$ + 16 = -$\frac{3}{2}$
Giải ra ta được $x_1$ = 4,7; $x_2$ = -12,8
Với t = $\frac{1}{2}$, ta có x + $\frac{60}{x}$ + 16 = $\frac{1}{2}$
Giải ra ta được $x_1$ = -7,5; $x_2$ = -8
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {-12,8; -8; -7,5; 4,7}
3) (x + 2)$(x + 4)^2$(x + 8) = $x^2$
<=> [(x + 2)(x + 8)][(x + 4)(x + 4) = $x^2$
<=> ($x^2$ + 10x + 16)($x^2$ + 8x + 16) = $x^2$
Có thể thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt, nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
$\frac{(2x^2 - 5x + 2)(2x^2 - 5x + 2)}{x^2}$ = 1
<=> $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x}$.$\frac{2x^2 - 5x + 2}{x}$ = 1
<=> (2x - 5 + $\frac{2}{x}$)(2x - 5 + $\frac{2}{x}$) = 1 (3)
Đặt t = 2x - 5 + $\frac{2}{x}$
Khi đó (3) <=> $t^2$ = 1 <=> t = $\pm$1
Với t = 1, ta có:
2x - 5 + $\frac{2}{x}$ = 1
Giải ra được $x_1;_2$ = $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
Với t = -1, ta có:
2x - 5 + $\frac{2}{x}$ = 1
Giải ra được $x_3$ = $x_4$ = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$; $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$; 1}
4) (4$x^2$ - 4x + 1)($x^2$ - 4x + 4) = $x^2$
<=> [(x + 2)(x + 8)][(x + 4)(x + 4)] = $x^2$
($x^2$ + 10x + 16)($x^2$ + 8x + 16) = $x^2$
Có thể thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt, nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
$\frac{(x^2 + 10x + 16)(x^2 + 8x + 16)}{x^2}$ = 1
<=> $\frac{x^2 + 10x + 16}{x}$.$\frac{x^2 + 8x + 16}{x}$ = 1
<=> (x + 10 + $\frac{16}{x}$)(x + 8 + $\frac{16}{x}$) = 1 (4)
Đặt t = x + 8 + $\frac{16}{x}$
Khi đó (4) <=> t(t + 2) = 1
<=> $t^2$ + 2t - 1 = 0
Ta tìm được $t_1$ = 0,4; $t_2$ = -2,4
Với t = 0,4; ta có x + 8 + $\frac{16}{x}$ = 0,4
<=> x + 8 + $\frac{16}{x}$ = $\frac{4}{10}$
<=> 10$x^2$ + 80x + 160 = 4x
<=> 10$x^2$ + 76x + 160 = 0 : Phương trình này vô nghiệm.
Với t = -2,4; ta có x + 8 + $\frac{16}{x}$ = -2,4
<=> x + 8 + $\frac{16}{x}$ = -$\frac{24}{10}$
<=> 10$x^2$ + 80x + 160 = -24x
<=> 10$x^2$ + 104x + 160 = 0
<=> 5$x^2$ + 52x + 80 = 0
Giải ra được $x_1;_2$ = $\frac{-26 \pm \sqrt{256}}{5}$
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$\frac{-26 - \sqrt{256}}{5}$; $\frac{-26 + \sqrt{256}}{5}$}
☺ Trên đây là những gợi ý về cách giải, các con số hơi phức tạp nên các kết quả chỉ mang tính tương đối. Bạn tính toán lại thật kỹ để có kết luận nghiệm thật chính xác bạn nhé!
EmoticonEmoticon