[Toán 9] Giải các phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$

Ngày 5/8/2018 bạn Nguyễn Hân gửi bài toán giải các phương trình sau:
1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x + 15) = $x^2$
2) 4(x + 5) (x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3$x^2$
3) (x + 2)$(x + 4)^2$(x + 8) = $x^2$
4) (4$x^2$ - 4x + 1)($x^2$ - 4x + 4) = $x^2$

Đề bài giải phương trình.

Trả lời cho bạn: Chào bạn, có lẽ bạn đã được làm quen với phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$. Những bài tập bạn yêu cầu cũng tương tự, nên ta sẽ áp dụng linh hoạt cách giải mà cô giáo của bạn đã trang bị trên lớp.

1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x + 15) = $x^2$

Ta có (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x + 15) = $x^2$

<=> [(2x + 1)(2x + 15)][(2x + 3)(2x + 5)] = $x^2$

<=> (4$x^2$ + 32x + 15)(4$x^2$ + 16x + 15) = $x^2$

Dễ dàng nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:

$\frac{(4x^2 + 32x + 15)(4x^2 + 16x + 15)}{x^2}$ = 1

<=> $\frac{4x^2 + 32x + 15}{x}$.$\frac{4x^2 + 16x + 15}{x}$ = 1

<=> (4x + 32 + $\frac{15}{x}$).(4x + 16 + $\frac{15}{x}$) = 1 (1)

Đặt t = 4x + $\frac{15}{x}$ + 16

Khi đó (1) <=> t(t + 16) = 1

<=> $t^2$ + 16t - 1 = 0
Giải ra được $t_1$ = $\frac{1}{10}$; $t_2$ = $\frac{-161}{10}$
Với t = $\frac{1}{10}$, ta có 4x + $\frac{15}{x}$ + 16 = $\frac{1}{10}$
Giải ra được $x_1;_2$ = $\frac{-159 \pm \sqrt{1281}}{80}$

Với t = $\frac{-161}{10}$, ta có: 4x + $\frac{15}{x}$ + 16 = $\frac{-161}{10}$
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$\frac{-159 - \sqrt{1281}}{80}$; $\frac{-159 + \sqrt{1281}}{80}$}

2) 4(x + 5) (x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3$x^2$
Ta có 4(x + 5) (x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3$x^2$
<=> 4[(x +5)(x + 12)][(x + 6)(x + 10)] = 3$x^2$
<=> 4($x^2$ + 17x + 60)($x^2$ + 16x + 60) = 3$x^2$
Có thể thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt, nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
$\frac{4}{x^2}$($x^2$ + 17x + 60)($x^2$ + 16x + 60) = 3
<=> 4(x + $\frac{60}{x}$ + 17)(x + $\frac{60}{x}$ + 16) = 3 (2)
Đặt t = x + $\frac{60}{x}$ + 16
Khi đó (2) <=> 4t(t + 1) = 3
<=> 4$t^2$ + 4t - 3 = 0
<=> (2t + 3)(2t - 1) = 0
<=> t = -$\frac{3}{2}$ và t = $\frac{1}{2}$
Với t = -$\frac{3}{2}$, ta có: x + $\frac{60}{x}$ + 16 = -$\frac{3}{2}$
Giải ra ta được $x_1$ = 4,7; $x_2$ = -12,8
Với t = $\frac{1}{2}$, ta có x + $\frac{60}{x}$ + 16 = $\frac{1}{2}$
Giải ra ta được $x_1$ = -7,5; $x_2$ = -8
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {-12,8; -8; -7,5; 4,7}

3) (x + 2)$(x + 4)^2$(x + 8) = $x^2$
<=> [(x + 2)(x + 8)][(x + 4)(x + 4) = $x^2$
<=> ($x^2$ + 10x + 16)($x^2$ + 8x + 16) = $x^2$
Có thể thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt, nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
 $\frac{(2x^2 - 5x + 2)(2x^2 - 5x + 2)}{x^2}$ = 1
<=> $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x}$.$\frac{2x^2 - 5x + 2}{x}$ = 1
<=> (2x - 5 + $\frac{2}{x}$)(2x - 5 + $\frac{2}{x}$) = 1 (3)
Đặt t = 2x - 5 + $\frac{2}{x}$
Khi đó (3) <=> $t^2$ = 1 <=> t = $\pm$1
Với t = 1, ta có:
2x - 5 + $\frac{2}{x}$ = 1
Giải ra được $x_1;_2$ = $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
Với t = -1, ta có:
2x - 5 + $\frac{2}{x}$ = 1
Giải ra được $x_3$ = $x_4$ = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$; $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$; 1}

4) (4$x^2$ - 4x + 1)($x^2$ - 4x + 4) = $x^2$
<=> [(x + 2)(x + 8)][(x + 4)(x + 4)] = $x^2$
($x^2$ + 10x + 16)($x^2$ + 8x + 16) = $x^2$
Có thể thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt, nên chia 2 vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
 $\frac{(x^2 + 10x + 16)(x^2 + 8x + 16)}{x^2}$ = 1
<=> $\frac{x^2 + 10x + 16}{x}$.$\frac{x^2 + 8x + 16}{x}$ = 1
<=> (x + 10 + $\frac{16}{x}$)(x + 8 + $\frac{16}{x}$) = 1 (4)
Đặt t = x + 8 + $\frac{16}{x}$
Khi đó (4) <=> t(t + 2) = 1
<=> $t^2$ + 2t - 1 = 0
Ta tìm được $t_1$ = 0,4; $t_2$ = -2,4
Với t = 0,4; ta có x + 8 + $\frac{16}{x}$ = 0,4
<=> x + 8 + $\frac{16}{x}$ = $\frac{4}{10}$
<=> 10$x^2$ + 80x + 160 = 4x
<=> 10$x^2$ + 76x + 160 = 0 : Phương trình này vô nghiệm.
Với t = -2,4; ta có x + 8 + $\frac{16}{x}$ = -2,4
<=> x + 8 + $\frac{16}{x}$ = -$\frac{24}{10}$
<=> 10$x^2$ + 80x + 160 = -24x
<=> 10$x^2$ + 104x + 160 = 0
<=> 5$x^2$ + 52x + 80 = 0
Giải ra được $x_1;_2$ = $\frac{-26 \pm \sqrt{256}}{5}$
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$\frac{-26 - \sqrt{256}}{5}$; $\frac{-26 + \sqrt{256}}{5}$}

☺ Trên đây là những gợi ý về cách giải, các con số hơi phức tạp nên các kết quả chỉ mang tính tương đối. Bạn tính toán lại thật kỹ để có kết luận nghiệm thật chính xác bạn nhé!

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.

• [Toán 9] Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosCNgày 4/10/2018 bạn Anh Tran gửi bài toán: Cho tam giác ABC nhọn a) Chứng minh $\frac{BC}{sinA}$ = $
• [Toán 8] Tính chiều cao của ống khói. Ngày 1/4/2018 bạn Tam Nguyen yêu cầu bài toán: Một ống khói của nhà máy có bóng trên mặt đất là 36
• Hai đường thẳng Mz và Ny có song song với nhau hay không.Ngày 2/8/2018 bạn có nickname Toikhongbiet yêu cầu bài tập bổ sung 4.3 trong bài hai đường thẳng so
• [Toán 8] Chứng minh tứ giác BB''CC'' là hình thang.Ngày 11/9/2018 bạn có nickname Đepchat gửi bài toán: Cho tam giác ABC. Trên tia AC lấy điểm B'&
• [Toán 8] Chứng minh AECB là hình thang vuông.Ngày 13/9/2018 bạn Dang Dang gửi bài toán:Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC bằng 2cm. Ở phía ngo