Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
Xuyên suốt chương II là những kiến thức về hai tam giác bằng nhau. Chương III sẽ tiếp tục với mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Đầu tiên là quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
Ta đã được học về tam giác cân nên biết được rằng trong tam giác ABC khi ta có AC = AB thì theo tính chất tam giác cân ta có $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$, ngược lại khi $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ thì AC = AB. Ta chỉ biết vậy thôi. Giờ ta để ý thêm một chút, một cách trực quan nhất ta dễ dàng thấy $\widehat{C}$ là góc đối diện với cạnh AB và $\widehat{B}$ là góc đối diện với cạnh AC. Như vậy, trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau và ngược lại.
Theo đó nếu ta có AC > AB thì điều gì sẽ xảy ra với hai góc B và C. Ta sẽ tìm hiểu ngay sau đây.
a) $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$
b) $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
c) $\widehat{B}$ < $\widehat{C}$
Chắc chắn bạn nào cũng đoán được $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$.
Nếu vẫn còn nghi ngờ về dự đoán trên, hãy tiếp tục với "trò chơi" gấp hình như sau:
- Cắt một tam giác ABC bằng giấy với AB > AC (h1)
- Sau đó gấp tam giác ABC từ đỉnh A sao cho cạnh AB chồng lên cạnh AC để xác định tia phân giác của góc BAC, khi đó điểm B trùng với một điểm B' trên cạnh AC (h2)
Yêu cầu của "trò chơi" là so sánh góc AB'M và góc C.
Khi thực hiện bước 2, ta dễ dàng nhận thấy góc AB'M lớn hơn góc C.
Mà góc AB'M bằng góc ABM của tam giác ABC.
Do đó góc ABM lớn hơn góc C
Hay $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
Từ đó ta có định lí 1:
GT $\Delta$ ABC, AC > AB
KL $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
Chứng minh:
Trên tia AC, lấy điểm B' sao cho AB = AB'
Theo gt AC > AB nên B' sẽ nằm giữa A và C, ta có hình 3.
Kẻ tia phân giác AM của góc A (với M $\in$ BC)
Xét $\Delta$ ABM và $\Delta$ AB'M có:
AB = AB' (theo cách dựng điểm B')
$\widehat{A_1}$ = $\widehat{A_2}$ (do AM là tia phân giác góc A)
Cạnh AM chung.
Vậy $\Delta$ ABM = $\Delta$ AB'M (c-g-c)
Suy ra $\widehat{B}$ = $\widehat{AB'M}$ (1) (góc tương ứng)
Mặt khác ta có $\widehat{AB'M}$ > $\widehat{C}$ (2) (theo tính chất góc ngoài của tam giác B'MC)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
a) AB = AC
b) AB > AC
c) AC > AB
Với tính thông minh sẵn có của một học sinh lớp 7, cộng với chút tinh mắt, cả lớp nhanh chóng thống nhất chọn phương án c).
Nhưng cô giáo đặt vấn đề nếu AB = AC thì sao? Cả lớp lập tức phản đối, khi đó tam giác ABC cân tại A, nên $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$, điều này trái với giả thiết.
Thế còn phương án b) thì sao, cô giáo "tấn công". May quá vừa mới học, nên cả lớp rất tự tin, nếu AB > AC thì theo định lí 1, $\widehat{B}$ < $\widehat{C}$, điều này cũng trái với giả thiết.
Vì vậy chỉ có thể là AC > AB, cả lớp đồng thanh khẳng định.
Cô giáo rất hài lòng với sự lựa chọn và phản biện của cả lớp. Đến đây, cô trò cùng vui vẻ ghi nhận định lí 2:
GT $\Delta$ ABC, $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
KL AC > AB.
Như vậy, sau khi tìm hiểu hai định lí, ngoài việc nắm vững nội dung định lí 1 và định lí 2, ta còn rút ra hai nhận xét như sau:
- Định lí 2 là định lí đảo của định lí 1. Do đó ta có thể ghi trong tam giác ABC, AC > AB <=> $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
- Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất. Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Ta đã được học về tam giác cân nên biết được rằng trong tam giác ABC khi ta có AC = AB thì theo tính chất tam giác cân ta có $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$, ngược lại khi $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ thì AC = AB. Ta chỉ biết vậy thôi. Giờ ta để ý thêm một chút, một cách trực quan nhất ta dễ dàng thấy $\widehat{C}$ là góc đối diện với cạnh AB và $\widehat{B}$ là góc đối diện với cạnh AC. Như vậy, trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau và ngược lại.
Theo đó nếu ta có AC > AB thì điều gì sẽ xảy ra với hai góc B và C. Ta sẽ tìm hiểu ngay sau đây.
Góc đối diện với cạnh lớn hơn.
Để dễ hình dung, ta vẽ tam giác ABC với AC > AB. Quan sát hình vẽ và dự đoán xem góc B và C sẽ nằm trong trường hợp nào sau đây:a) $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$
b) $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
c) $\widehat{B}$ < $\widehat{C}$
Chắc chắn bạn nào cũng đoán được $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$.
Nếu vẫn còn nghi ngờ về dự đoán trên, hãy tiếp tục với "trò chơi" gấp hình như sau:
- Cắt một tam giác ABC bằng giấy với AB > AC (h1)
 |
| Hình 1. |
 |
| Hình 2. |
Khi thực hiện bước 2, ta dễ dàng nhận thấy góc AB'M lớn hơn góc C.
Mà góc AB'M bằng góc ABM của tam giác ABC.
Do đó góc ABM lớn hơn góc C
Hay $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
Từ đó ta có định lí 1:
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.Với định lí trên, giả thiết và kết luận được viết như sau:
GT $\Delta$ ABC, AC > AB
KL $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
Chứng minh:
Trên tia AC, lấy điểm B' sao cho AB = AB'
Theo gt AC > AB nên B' sẽ nằm giữa A và C, ta có hình 3.
 |
| Hình 3. |
Xét $\Delta$ ABM và $\Delta$ AB'M có:
AB = AB' (theo cách dựng điểm B')
$\widehat{A_1}$ = $\widehat{A_2}$ (do AM là tia phân giác góc A)
Cạnh AM chung.
Vậy $\Delta$ ABM = $\Delta$ AB'M (c-g-c)
Suy ra $\widehat{B}$ = $\widehat{AB'M}$ (1) (góc tương ứng)
Mặt khác ta có $\widehat{AB'M}$ > $\widehat{C}$ (2) (theo tính chất góc ngoài của tam giác B'MC)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
Cạnh đối diện với góc lớn hơn.
Ngay sau khi chứng minh xong định lí 1 trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn, cả lớp đều thắc mắc nếu cạnh đối diện với góc lớn hơn thì sẽ như thế nào? Không để cả lớp đợi lâu, cô giáo vẽ ngay tam giác ABC với $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$, nhiệm vụ của cả lớp là chăm chú quan sát và dự đoán xem sẽ xảy ra trường hợp nào trong các trường hợp sau:a) AB = AC
b) AB > AC
c) AC > AB
Với tính thông minh sẵn có của một học sinh lớp 7, cộng với chút tinh mắt, cả lớp nhanh chóng thống nhất chọn phương án c).
Nhưng cô giáo đặt vấn đề nếu AB = AC thì sao? Cả lớp lập tức phản đối, khi đó tam giác ABC cân tại A, nên $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$, điều này trái với giả thiết.
Thế còn phương án b) thì sao, cô giáo "tấn công". May quá vừa mới học, nên cả lớp rất tự tin, nếu AB > AC thì theo định lí 1, $\widehat{B}$ < $\widehat{C}$, điều này cũng trái với giả thiết.
Vì vậy chỉ có thể là AC > AB, cả lớp đồng thanh khẳng định.
Cô giáo rất hài lòng với sự lựa chọn và phản biện của cả lớp. Đến đây, cô trò cùng vui vẻ ghi nhận định lí 2:
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.Viết giả thiết, kết luận sẽ giúp ta dễ dàng ghi nhớ nội dung định lí, nên mặc dù cô giáo không yêu cầu nhưng bạn nào cũng tự giác ghi giả thiết kết luận vào vở.
GT $\Delta$ ABC, $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
KL AC > AB.
Như vậy, sau khi tìm hiểu hai định lí, ngoài việc nắm vững nội dung định lí 1 và định lí 2, ta còn rút ra hai nhận xét như sau:
- Định lí 2 là định lí đảo của định lí 1. Do đó ta có thể ghi trong tam giác ABC, AC > AB <=> $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$
- Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất. Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon