[Toán 9] Chứng minh tứ giác MBCD là hình bình hành.

Ngày 24/12/2017 bạn Hoàng Hiền gửi bài toán
Bài 1. AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) với B và C là hai tiếp điểm. Vẽ CH vuông góc với AB tại H, CH cắt đường tròn tâm O tại E và cắt OA tại D.
a) Chứng minh CO = CD
b) Chứng minh: Tứ giác OBDC là hình thoi.
c) Gọi M là trung điểm của CE, BM cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của HO.
d) Tiếp tuyến tại E với đường tròn tâm O cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng.
Bài 2. Cho một nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC. H là trung điểm của AC, OH cắt nửa đường tròn (O) tại M. Từ C vẽ đường thẳng song song với BM và cắt OM tại D.
a) Chứng minh tứ giác MBCD là hình bình hành.
b) AM cắt CD tại K, chứng minh bốn điểm C, H, M, K cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh AH.AC=AM.AK

Trả lời cho bạn:

Bài 1.
a) Ta có:
$\widehat{HDA}$ = $90^0$ - $\widehat{A_1}$
$\widehat{COA}$ = $90^0$ - $\widehat{A_2}$ hay $\widehat{COD}$ = $90^0$ - $\widehat{A_2}$
Mà $\widehat{A_1}$ = $\widehat{A_2}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Nên $\widehat{HDA}$ = $\widehat{COD}$
Ta lại có $\widehat{HDA}$ = $\widehat{ODC}$ (hai góc đối đỉnh)
Nên $\widehat{COD}$ = $\widehat{ODC}$
Suy ra tam giác OCD cân tại C.
Do đó CO = CD (đpcm)

M là trung điểm của CE

b) Ta có
OB = OC (1) (bán kính đường tròn)
DB = DC (2) (D nằm trên đường trung trực của BC)
CO = CD (3) (cmt)
Từ (1) (2) (3) suy ra OB = OC = CD = DB
Do đó tứ giác OBDC là hình thoi (đpcm)
➤ Xem lại định nghĩa hình thoi.

c) Ta có:
BH $\perp$ MH (4) (gt)
OB $\perp$ BH (5) (AB là tiếp tuyến)
Mặt khác tam giác COE cân tại O (vì OC = OE = R)
Có M là trung điểm của CE.
Nên OM vừa là trung tuyến vừa là đường cao.
Do đó OM $\perp$ MH (6)
Từ (4) (5) (6) suy ra tứ giác BHMO là hình chữ nhật.
Mà I là giao điểm của hai đường chéo BM và OH.
Nên I là trung điểm của HO (đpcm)
➤ Xem lại định nghĩa hình chữ nhật

d) Ta có KE = KC (tinh chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Nên tam giác EKC cân tại K.
Mà M là trung điểm của CE
Do đó KM vừa là trung tuyến vừa là trung trực.
Khi đó điểm M và K thuộc đường trung trực của CE. (7)
Tương tự tam giác COE cân tại O có OM là trung trực
Nên điểm O và M thuộc đường trung trực của CE (8)
Từ (7) và (8) suy ra ba điểm O, M, K thẳng hàng.

Bài 2.
a) Ta có BM // CD (gt)  (1)

Ta có H là trung điểm của AC, O là trung điểm của AB 

Nên OH là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra OH // BC 

Hay MD // BC (vì O, H, M, D thẳng hàng)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MBCD là hình bình hành (đpcm)
➤ Xem lại định nghĩa hình bình hành.

H là trung điểm của AC.

b) Ta có MH $\perp$ AC (bán kính đi qua trung điểm của AC nên vuông góc với dây AC)
Nên $\widehat{MHC}$ = $90^0$ (1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì M thuộc tia phân giác của góc D tạo bởi hai tiếp tuyến DA và DC.
Khi đó M sẽ cách đều cạnh DC và DA (theo tính chất tia phân giác)
Nên MK $\perp$ DC
Do đó $\widehat{MKC}$ = $90^0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MKCH là tứ giác nội tiếp
Nên bốn điểm C, H, M, K cùng nằm trên một đường tròn (đpcm)
➤ Xem lại định lí 3 về đường kính và dây của đường tròn.

c) Xét hai tam giác KAC và HAM có:
$\widehat{AKC}$ = $\widehat{AHM}$ = $90^0$
$\widehat{A}$ chung.
Nên $\Delta$ KAC $\sim$ $\Delta$ HAM
Suy ra $\frac{AK}{AH}$ = $\frac{AC}{AM}$
=> AH.AC = AM.AK (đpcm)

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.