Giải bài tập hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong thực tế muốn xác định độ cao của một vật mà ta không thể đo được, hoặc khoảng cách nào đó mà ta không thể đi đến được, người ta thường dùng thước cuộn và giác kế để tính bằng phương pháp qui về giải tam giác vuông. Việc đó được thực hiện như thế nào, ta cùng tìm hiểu qua việc giải những bài tập hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Giải bài tập 26 trang 88 sgk hình 9 tập 1
Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng $34^0$ và bóng của một tháp trên mặt đất dài 86m (h.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)
Bài giải:
 |
| Tính chiều cao của tháp. |
Chiều cao của tháp bằng: 86.tg$34^0$ $\approx$ 58 (m)
a) b = 10cm, $\widehat{C}$ = $30^0$
b) c = 10cm, $\widehat{C}$ = $45^0$
c) a = 20cm, $\widehat{B}$ = $35^0$
d) c = 21cm, b = 18cm
Bài giải:
a) $\widehat{B}$ = $90^0$ - $30^0$ = $60^0$
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB = AC.tg C = 10.tg $30^0$ = 10.$\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\approx$ 5,774 (cm)
AC = BC.cos C => BC = $\frac{AC}{cos C}$ = $\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\approx$ 11,547 (cm)
b)
$\widehat{B}$ = $90^0$ - $45^0$ = $45^0$ nên
ABC là tam giác vuông cân tại A
Do đó: AB = AC = 10 (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB = BC. sin C
=> BC = $\frac{AB}{sin C}$ = $\frac{10}{sin 45^0}$ $\approx$ 14,142 (cm)
c)
$\widehat{C}$ = $90^0$ - $35^0$ = $55^0$
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB = BC.cos B = 20.cos $35^0$ $\approx$ 16,383 (cm)
AC = BC.sin B = 20.sin $35^0$ $\approx$ 11,472 (cm)
d)
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
tg B = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{18}{21}$ $\approx$ 0,8571
Giải bài tập 27 trang 88 sgk hình 9 tập 1
Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng:a) b = 10cm, $\widehat{C}$ = $30^0$
b) c = 10cm, $\widehat{C}$ = $45^0$
c) a = 20cm, $\widehat{B}$ = $35^0$
d) c = 21cm, b = 18cm
Bài giải:
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB = AC.tg C = 10.tg $30^0$ = 10.$\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\approx$ 5,774 (cm)
AC = BC.cos C => BC = $\frac{AC}{cos C}$ = $\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\approx$ 11,547 (cm)
b)
ABC là tam giác vuông cân tại A
Do đó: AB = AC = 10 (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB = BC. sin C
=> BC = $\frac{AB}{sin C}$ = $\frac{10}{sin 45^0}$ $\approx$ 14,142 (cm)
c)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB = BC.cos B = 20.cos $35^0$ $\approx$ 16,383 (cm)
AC = BC.sin B = 20.sin $35^0$ $\approx$ 11,472 (cm)
d)
tg B = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{18}{21}$ $\approx$ 0,8571
Suy ra $\widehat{B}$ $\approx$ $41^0$
$\widehat{C}$ = $90^0$ - $\widehat{B}$ $\approx$ $49^0$
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta có: AB = BC. cos B
=> BC = $\frac{AB}{cos B}$ = $\frac{21}{cos 41^0}$ $\approx$ 27,825 (cm)
(Các bạn cũng có thể giải theo cách khác)
Bài giải:
tg $\alpha$ = $\frac{7}{4}$ => $\alpha$ $\approx$ $60^0$15'
Bài giải:
Ta có: cos $\alpha$ = $\frac{250}{320}$ => $\alpha$ $\approx$ $38^0$37'
Vậy dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc $\alpha$ $\approx$ $38^0$37'
a) Đoạn thẳng AN
b) Cạnh AC
Gợi ý: kẻ BK vuông góc với AC
Bài giải:
Kẻ BK $\perp$ AC
Ta có $\widehat{KBC}$ = $90^0$ - $30^0$ = $60^0$, $\widehat{KBA}$ = $60^0$ - $38^0$ = $22^0$
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác KBC vuông tại K, ta có:
BK = BC.sin C = 11.sin $30^0$ $\approx$ 5,5 (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác KBA vuông tại K, ta có:
BK = AB.cos $\widehat{KBA}$ => AB = $\frac{BK}{cos \widehat{KBA}}$ = $\frac{5,5}{cos 22^0}$ $\approx$ 5,932 (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác ABN vuông tại N, ta có:
AN = AB.sin $\widehat{ABN}$ = 5,932.sin $38^0$ $\approx$ 3,652 (cm)
b) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác ACN vuông tại N, ta có:
AN = AC.sin C => AC = $\frac{AN}{sin C}$ = $\frac{3,652}{sin 30^0}$ $\approx$ 7,304 (cm)
a) AB
b) $\widehat{ADC}$
Bài giải:
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác ABC vuông tại B, ta có:
AB = AC.$\widehat{ACB}$ = AC.sin $54^0$ = 8.0,809 $\approx$ 6,472 (cm)
Kẻ đường cao AH của tam giác ACD
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác AHC vuông tại H, ta có:
AH = AC.sin $\widehat{ACH}$ = 8.sin $74^0$ $\approx$ 7,690 (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác AHD vuông tại H, ta có:
AH = AD.sin D => sin D = $\frac{AH}{AD}$ $\approx$ $\frac{7,69}{9,6}$ $\approx$ 0,801
Suy ra $\widehat{D}$ $\approx$ $53^0$
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
(Các bạn cũng có thể giải theo cách khác)
Giải bài tập 28 trang 89 sgk hình 9 tập 1
Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc $\alpha$ trong hình 31)Bài giải:
 |
| Cột đèn cao 7m. |
Giải bài tập 29 trang 89 sgk hình 9 tập 1
Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc $\alpha$ trong hình 32 sgk trang 89)Bài giải:
Ta có: cos $\alpha$ = $\frac{250}{320}$ => $\alpha$ $\approx$ $38^0$37'
Vậy dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc $\alpha$ $\approx$ $38^0$37'
Giải bài tập 30 trang 89 sgk hình 9 tập 1
Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, $\widehat{ABC}$ = $38^0$, $\widehat{ACB}$ = $30^0$. Gọi điểm N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:a) Đoạn thẳng AN
b) Cạnh AC
Gợi ý: kẻ BK vuông góc với AC
Bài giải:
 |
| AN vuông góc với BC |
Ta có $\widehat{KBC}$ = $90^0$ - $30^0$ = $60^0$, $\widehat{KBA}$ = $60^0$ - $38^0$ = $22^0$
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác KBC vuông tại K, ta có:
BK = BC.sin C = 11.sin $30^0$ $\approx$ 5,5 (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác KBA vuông tại K, ta có:
BK = AB.cos $\widehat{KBA}$ => AB = $\frac{BK}{cos \widehat{KBA}}$ = $\frac{5,5}{cos 22^0}$ $\approx$ 5,932 (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác ABN vuông tại N, ta có:
AN = AB.sin $\widehat{ABN}$ = 5,932.sin $38^0$ $\approx$ 3,652 (cm)
b) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác ACN vuông tại N, ta có:
AN = AC.sin C => AC = $\frac{AN}{sin C}$ = $\frac{3,652}{sin 30^0}$ $\approx$ 7,304 (cm)
Giải bài tập 31 trang 89 sgk hình 9 tập 1
Trong hình 33, AC = 8cm, AD = 9,6cm, $\widehat{ABC}$ = $90^0$, $\widehat{ACB}$ = $54^0$ và $\widehat{ACD}$ = $74^0$. Hãy tính:a) AB
b) $\widehat{ADC}$
Bài giải:
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác ABC vuông tại B, ta có:
AB = AC.$\widehat{ACB}$ = AC.sin $54^0$ = 8.0,809 $\approx$ 6,472 (cm)
Kẻ đường cao AH của tam giác ACD
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác AHC vuông tại H, ta có:
AH = AC.sin $\widehat{ACH}$ = 8.sin $74^0$ $\approx$ 7,690 (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác AHD vuông tại H, ta có:
AH = AD.sin D => sin D = $\frac{AH}{AD}$ $\approx$ $\frac{7,69}{9,6}$ $\approx$ 0,801
Suy ra $\widehat{D}$ $\approx$ $53^0$
Giải bài tập 32 trang 89 sgk hình 9 tập 1
Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc $70^0$. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét)
Bài giải:
Với những dữ kiện đã cho kết hợp với hình bên, ta có thể tính chiều rộng khúc sông như sau:
5 phút = $\frac{5}{60}$ giờ
Gọi đoạn đường con thuyền đã đi là AB, ta có:
AB = 2.$\frac{5}{60}$ = $\frac{1}{6}$ (km)
Chiều rộng của con sông chính là đoạn BC trên hình vẽ, ta có:
BC = AB.sin $70^0$ = $\frac{1}{6}$.0,94 = 0,157 (km) = 157 (m)
Qua những bài tập trên, ta rút ra được một cách thật đơn giản để thực hiện công việc đo đạc tưởng chừng rất khó khăn đó là:
- Muốn xác định chiều cao thì đo khoảng cách và số đo của một góc nhọn kề cạnh ấy.
- Muốn xác định khoảng cách thì đo chiều cao và số đo một góc nhọn.
5 phút = $\frac{5}{60}$ giờ
Gọi đoạn đường con thuyền đã đi là AB, ta có:
AB = 2.$\frac{5}{60}$ = $\frac{1}{6}$ (km)
Chiều rộng của con sông chính là đoạn BC trên hình vẽ, ta có:
BC = AB.sin $70^0$ = $\frac{1}{6}$.0,94 = 0,157 (km) = 157 (m)
Qua những bài tập trên, ta rút ra được một cách thật đơn giản để thực hiện công việc đo đạc tưởng chừng rất khó khăn đó là:
- Muốn xác định chiều cao thì đo khoảng cách và số đo của một góc nhọn kề cạnh ấy.
- Muốn xác định khoảng cách thì đo chiều cao và số đo một góc nhọn.
Xem bài trước: Giải bài tập bảng lượng giác
EmoticonEmoticon