Luyện tập hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Tiếp tục với những bài tập hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, là rất cần thiết, giúp ta linh hoạt trong việc vận dụng những hệ thức đã học vào từng trường hợp cụ thể.
Bài giải:
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài tập 5 trang 69 sgk hình 9 tập 1
Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.Bài giải:
 |
| Cạnh và đường cao của tam giác |
Theo định lí Pi-ta-go, ta có:
$BC^2$ = $AB^2$ + $AC^2$ = $3^2$ + $4^2$ = 9 + 16 = 25 => BC = 5
Theo định lí 4 về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC, ta có:
$\frac{1}{AH^2}$ = $\frac{1}{AB^2}$ + $\frac{1}{AC^2}$ = $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{25}{144}$
=> $AH^2$ = $\frac{144}{25}$ => AH = $\frac{12}{5}$ = 2,5
Theo định lí 1 về cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AB^2$ = BC.BH => BH = $\frac{AB^2}{BC}$ = $\frac{9}{5}$ = 1,8
CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2
Giải bài tập 6 trang 69 sgk hình 9 tập 1
Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Bài giải:
 |
| Đường cao AH của tam giác vuông ABC |
Ta có BC = BH + CH = 1 + 2 = 3
Áp dụng hệ thức 1 trong tam giác vuông ABC, ta có:
$AB^2$ = BC. BH = 3.1 = 3 => AB = $\sqrt{3}$
$AC^2$ = BC. CH = 3.2 = 6 => AC = $\sqrt{6}$
Giải bài tập 7 trang 69 sgk hình 9 tập 1
Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là $x^2$ = ab) như trong hai hình sau:
Cách 1 (h.8) Cách 2 (h.9)
Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Bài giải:
$AH^2$ = BH.HC <=> $x^2$ = ab
Cách 2:
Áp dụng hệ thức 1, ta có:
$AB^2$ = BH.BC <=> $x^2$ = ab
Như vậy các cách vẽ trên đều đúng.
Bài giải:
Kí hiệu các điểm như hình vẽ trên, ta có:
OA = OB = OC = $\frac{1}{2}$ BC (bằng bán kính đường tròn tâm O)
Tam giác ABC có trung tuyến AO bằng một nửa cạnh tương ứng BC nên ABC là tam giác vuông tại A, kẻ đường cao AH
Cách 1:
Áp dụng hệ thức 2, ta có:$AH^2$ = BH.HC <=> $x^2$ = ab
Cách 2:
Áp dụng hệ thức 1, ta có:
$AB^2$ = BH.BC <=> $x^2$ = ab
Như vậy các cách vẽ trên đều đúng.
Giải bài tập 8 trang 70 sgk hình 9 tập 1
Tìm x và y trong mỗi hình sau:
a) (h.10) b) (h.11) c) (h.12)
Bài giải:
a) Áp dụng hệ thức 2, ta có:
$x^2$ = 4.9 = 36 => x = 6
b) Áp dụng hệ thức 2, ta có: $2^2$ = x.x = 4 => x = 2
Áp dụng hệ thức 1, ta có $y^2$ = x.(x + x) = 2.(2 + 2) = 8 => y = 2$\sqrt{2}$
c) Áp dụng hệ thức 2, ta có: $12^2$ = x.16 => x = $\frac{144}{16}$ = 9
Áp dụng hệ thức 1, ta có $y^2$ = x.(x + 16) = 9.(9 + 16) = 225 => y = 15
$x^2$ = 4.9 = 36 => x = 6
b) Áp dụng hệ thức 2, ta có: $2^2$ = x.x = 4 => x = 2
Áp dụng hệ thức 1, ta có $y^2$ = x.(x + x) = 2.(2 + 2) = 8 => y = 2$\sqrt{2}$
c) Áp dụng hệ thức 2, ta có: $12^2$ = x.16 => x = $\frac{144}{16}$ = 9
Áp dụng hệ thức 1, ta có $y^2$ = x.(x + 16) = 9.(9 + 16) = 225 => y = 15
Giải bài tập 9 trang 70 sgk hình 9 tập 1
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ơ K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DIL là một tam giác cân
b) Tổng $\frac{1}{DI^2}$ + $\frac{1}{DK^2}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Bài giải:
Hai tam giác vuông DCI và DCL có:
AD = DC
$\widehat{D_1}$ = $\widehat{D_2}$ (Vì cùng phụ với $\widehat{D_3}$)
Nên $\Delta$DCI = $\Delta$DCL
Suy ra DI = DL
Do đó $\Delta$DIL cân tại D
b) Trong tam giác vuông $\Delta$DKL có DC là đường cao ứng với cạnh huyền nên theo hệ thức 4, ta có:
$\frac{1}{DC^2}$ = $\frac{1}{DL^2}$ + $\frac{1}{DK^2}$
Hay $\frac{1}{DC^2}$ = $\frac{1}{DI^2}$ + $\frac{1}{DK^2}$
Mặt khác DC là cạnh của hình vuông ABCD nên DC không đổi, điều đó cũng có nghĩa là $\frac{1}{DC^2}$ không đổi
Do đó $\frac{1}{DI^2}$ + $\frac{1}{DK^2}$ không đổi.
AD = DC
$\widehat{D_1}$ = $\widehat{D_2}$ (Vì cùng phụ với $\widehat{D_3}$)
Nên $\Delta$DCI = $\Delta$DCL
Suy ra DI = DL
Do đó $\Delta$DIL cân tại D
b) Trong tam giác vuông $\Delta$DKL có DC là đường cao ứng với cạnh huyền nên theo hệ thức 4, ta có:
$\frac{1}{DC^2}$ = $\frac{1}{DL^2}$ + $\frac{1}{DK^2}$
Hay $\frac{1}{DC^2}$ = $\frac{1}{DI^2}$ + $\frac{1}{DK^2}$
Mặt khác DC là cạnh của hình vuông ABCD nên DC không đổi, điều đó cũng có nghĩa là $\frac{1}{DC^2}$ không đổi
Do đó $\frac{1}{DI^2}$ + $\frac{1}{DK^2}$ không đổi.
Xem bài trước: Giải bài tập hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
EmoticonEmoticon