Luyện tập phương trình quy về phương trình bậc hai.
Giải bài tập 37 trang 56 sgk đại số 9 tập 2
Giải phương trình trùng phươnga) 9$x^4$ - 10$x^2$ + 1 = 0 b) 5$x^4$ +2$x^2$ - 16 = 10 - $x^2$
c) 0,3$x^4$ + 1,8$x^2$ + 1,5 = 0 d) 2$x^2$ + 1 = $\frac{1}{x^2}$ - 4
Bài giải:
a) 9$x^4$ - 10$x^2$ + 1 = 0 (1)Đặt t = $x^2$. Điều kiện t $\geq$ 0
Ta có 9$x^4$ - 10$x^2$ + 1 = 0 <=> 9$t^2$ - 10t + 1 = 0 (*)
Phương trình (*) có a + b + c = 9 - 10 + 1 = 0
Nên (*) có hai nghiệm $t_1$ = 1 và $t_2$ = $\frac{1}{9}$, cả hai đều thỏa mãn điều kiện.
# Với $t_1$ = 1, ta được $x^2$ = 1 <=> x = $\pm$ 1
# Với $t_2$ = $\frac{1}{9}$, ta được $x^2$ = $\frac{1}{9}$ <=> x = $\pm$ $\frac{1}{3}$.
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: $x_1$ = -1, $x_2$ = 1, $x_3$ = -$\frac{1}{3}$, $x_4$ = $\frac{1}{3}$
b) 5$x^4$ +2$x^2$ - 16 = 10 - $x^2$ (2)
Ta có (2) <=> 5$x^4$ +3$x^2$ - 26 = 0
Đặt t = $x^2$. Điều kiện t $\geq$ 0
Khi đó 5$x^4$ +3$x^2$ - 26 = 0 <=> 5$t^2$ +3t - 26 = 0 (*)
$\Delta$ = 9 - 4.5.(-26) = 9 + 520 = 529 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{529}$ = 23
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm $t_1$ = $\frac{-3 + 23}{2.5}$ = 2, $t_2$ = $\frac{-3 - 23}{2.5}$ = -2,6 (loại)
Khi t = 2 ta có $x^2$ = 2 <=> x = $\pm$ $\sqrt{2}$
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm $x_1$ = -$\sqrt{2}$, $x_2$ = $\sqrt{2}$
c) 0,3$x^4$ + 1,8$x^2$ + 1,5 = 0 (3)
Đặt t = $x^2$. Điều kiện t $\geq$ 0
Ta có 0,3$x^4$ + 1,8$x^2$ + 1,5 = 0 <=> 0,3$t^2$ + 1,8t + 1,5 = 0 (*)
Phương trình (*) có a - b + c = 0,3 - 1,8 + 1,5 = 0
Nên (*) có hai nghiệm $t_1$ = -1 và $t_2$ = -$\frac{1,5}{0,3}$ = -5
Cả hai nghiệm $t_1$, $t_2$ đều không thỏa mãn điều kiện t $\geq$ 0
Do đó phương trình (3) vô nghiệm.
d) 2$x^2$ + 1 = $\frac{1}{x^2}$ - 4 (4)
Khi x $\neq$ 0, ta có 2$x^2$ + 1 = $\frac{1}{x^2}$ - 4 <=> 2$x^4$ + $x^2$ = 1 - 4$x^2$ <=> 2$x^4$ + 5$x^2$ - 1 = 0
Đặt t = $x^2$. Điều kiện t $\geq$ 0
Khi đó 2$x^4$ + 5$x^2$ - 1 = 0 <=> 2$t^2$ + 5t - 1 = 0 (*)
$\Delta$ = 25 - 4.2.(-1) = 25 + 8 = 33 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{33}$
Nên phương trình (*) có hai nghiệm
$t_1$ = $\frac{-5 + \sqrt{33}}{2.2}$ = $\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$ (nhận), $t_2$ = $\frac{-5 - \sqrt{33}}{2.2}$ = $\frac{-5 - \sqrt{33}}{4}$ (loại)
Thay t = $\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$ vào t = $x^2$, ta có $x^2$ = $\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$ <=> x = $\pm$ $\sqrt{\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}}$
Vậy phương trình (4) có hai nghiệm: $x_1$ = $\sqrt{\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}}$, $x_2$ = -$\sqrt{\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}}$
Giải bài tập 38 trang 56 sgk đại số 9 tập 2
Giải các phương trình:a) $(x - 3)^2$ + $(x + 4)^2$ = 23 - 3x b) $x^3$ + 2$x^2$ - $(x - 3)^2$ = (x - 1)($x^2$ - 2)
c) $(x - 1)^3$ + 0,5$x^2$ = x($x^2$ + 1,5) d) $\frac{x(x - 7)}{3}$ - 1 = $\frac{x}{2}$ - $\frac{x - 4}{3}$
e) $\frac{14}{x^2 - 9}$ = 1 - $\frac{1}{3 - x}$ f) $\frac{2x}{x + 1}$ = $\frac{x^2 - x + 8}{(x + 1)(x - 4)}$
Bài giải:
a) $(x - 3)^2$ + $(x + 4)^2$ = 23 - 3x <=> $x^2$ - 6x + 9 + $x^2$ + 8x + 16 - 23 + 3x = 0 <=> 2$x^2$ + 5x + 2 = 0$\Delta$ = 25 - 4.2.2 = 25 - 16 = 9 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{9}$ = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-5 + 3}{2.2}$ = $\frac{-2}{4}$ = -$\frac{1}{2}$, $x_2$ = $\frac{-5 - 3}{2.2}$ = -2
b) $x^3$ + 2$x^2$ - $(x - 3)^2$ = (x - 1)($x^2$ - 2)
<=> $x^3$ + 2$x^2$ + 6x - 9 = $x^3$ - $x^2$ - 2x + 2 <=> 2$x^2$ + 8x - 11 = 0
$\Delta'$ = 16 - 2.(-11) = 16 + 22 = 38 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{38}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-4 + \sqrt{38}}{2}$, $x_2$ = $\frac{-4 - \sqrt{38}}{2}$
c) $(x - 1)^3$ + 0,5$x^2$ = x($x^2$ + 1,5) <=> $x^3$ - 3$x^2$ + 3x - 1 + 0,5$x^2$ = $x^3$ + 1,5$x^2$
<=> 2,5$x^2$ - 1,5x + 1 = 0
<=> 5$x^2$ - 3x + 2 = 0 (nhân hai vế với 2)
$\Delta'$ = 9 - 4.5.2 = 9 - 40 = -31 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) $\frac{x(x - 7)}{3}$ - 1 = $\frac{x}{2}$ - $\frac{x - 4}{3}$
Với MTC là 6, ta được:
2x(x - 7) - 6 = 3x - 2(x - 4) <=> 2$x^2$ - 14x - 6 = 3x - 2x + 8 <=> 2$x^2$ - 15x - 14 = 0
$\Delta$ = $(-15)^2$ - 4.2.(-14) = 225 + 112 = 337 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{337}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-(-15) + \sqrt{337}}{2.2}$ = $\frac{15 + \sqrt{337}}{4}$, $x_2$ = $\frac{-(-15) - \sqrt{337}}{2.2}$ = $\frac{15 - \sqrt{337}}{4}$
e) $\frac{14}{x^2 - 9}$ = 1 - $\frac{1}{3 - x}$ (1)
Điều kiện $x^2$ - 9 $\neq$ 0 <=> x $\neq$ $\pm$ 3
MTC $x^2$ - 9 = (x + 3)(x - 3)
Khi đó (1) <=> 14 = $x^2$ - 9 + x + 3 <=> $x^2$ + x - 20 = 0 (*)
$\Delta$ = $1^2$ - 4.1.(-20) = 1 + 80 = 81 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{81}$ = 9
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-1 + 9}{2}$ = 4, $x_2$ = $\frac{-1 - 9}{2}$ = -5. Cả hai đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm $x_1$ = 4, $x_2$ = -5
f) $\frac{2x}{x + 1}$ = $\frac{x^2 - x + 8}{(x + 1)(x - 4)}$ (1)
Điều kiện (x + 1)(x - 4) $\neq$ 0 <=> $\begin{cases}x + 1 \neq 0 \\x - 4 \neq 0\end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \neq -1 \\x \neq 4\end{cases}$
MTC (x + 1)(x - 4)
Khi đó (1) <=> 2x(x - 4) = $x^2$ - x + 8 <=> 2$x^2$ - 8x - $x^2$ + x - 8 = 0 <=> $x^2$ - 7x - 8 = 0
Phương trình có dạng a - b + c = 0 nên có hai nghiệm $x_1$ = -1, $x_2$ = 8
Nghiệm $x_1$ = -1 không thỏa mãn điều kiện nên phương trình (1) có một nghiệm x = 8
Giải bài tập 39 trang 57 sgk đại số 9 tập 2
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tícha) (3$x^2$ - 7x - 10)[2x^2 + (1 - $\sqrt{5}$)x + $\sqrt{5}$ - 3] = 0 b) $x^3$ + 3$x^2$ - 2x - 6 = 0
c) ($x^2$ - 1)(0,6x + 1) = 0,6$x^2$ + x d) $(x^2 + 2x - 5)^2$ = $(x^2 - x + 5)^2$
Bài giải:
a) (3$x^2$ - 7x - 10)[2x^2 + (1 - $\sqrt{5}$)x + $\sqrt{5}$ - 3] = 0 (1)<=> $\left[ \,\begin{matrix}3x^2 - 7x - 10 = 0 \\ 2x^2 + (1 - \sqrt{5})x + \sqrt{5} - 3 = 0 \end{matrix}\right.$
# Giải phương trình 3$x^2$ - 7x - 10 = 0 (*)
Phương trình (*) có a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0 nên phương trình có hai nghiệm $x_1$ = -1, $x_2$ = $\frac{10}{3}$
# Giải phương trình 2x^2 + (1 - $\sqrt{5}$)x + $\sqrt{5}$ - 3 = 0 (**)
Phương trình (**) có a + b + c = 2 + 1 - $\sqrt{5}$ + $\sqrt{5}$ - 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm $x_3$ = 1, $x_4$ = $\frac{\sqrt{5} - 3}{2}$
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm $x_1$ = -1, $x_2$ = $\frac{10}{3}$, $x_3$ = 1, $x_4$ = $\frac{\sqrt{5} - 3}{2}$
b) $x^3$ + 3$x^2$ - 2x - 6 = 0
<=> $x^2$(x + 3) - 2(x - 3) = 0 <=> (x + 3)($x^2$ - 2) = 0
<=> $\left[ \,\begin{matrix}x + 3 = 0 \\ x^2 - 2 = 0 \end{matrix}\right.$ <=> $\left[ \,\begin{matrix}x = -3 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình có ba nghiệm $x_1$ = -3, $x_2$ = -$\sqrt{2}$, $x_3$ = $\sqrt{2}$
c) ($x^2$ - 1)(0,6x + 1) = 0,6$x^2$ + x (1)
<=> ($x^2$ - 1)(0,6x + 1) - x(0,6x + 1) <=> (0,6x + 1)($x^2$ - x - 1) = 0
<=> $\left[ \,\begin{matrix}0,6x + 1 = 0 \\ x^2 - x - 1 = 0 \end{matrix}\right.$
# Giải phương trình 0,6x + 1 = 0 <=> x = -$\frac{1}{0,6}$ = -$\frac{5}{3}$
# Giải phương trình $x^2$ - x - 1 = 0
$\Delta$ = $(-1)^2$ - 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{5}$
Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2$ = $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm $x_1$ = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2$ = $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, $x_3$ = -$\frac{5}{3}$
d) $(x^2 + 2x - 5)^2$ = $(x^2 - x + 5)^2$
<=> $(x^2 + 2x - 5)^2$ - $(x^2 - x + 5)^2$ = 0 <=> ($x^2$ + 2x - 5 + $x^2$ - x + 5)($x^2$ + 2x - 5 - $x^2$ + x - 5) = 0
<=> (2$x^2$ + x)(3x - 10) = 0 <=> x(2x + 1)(3x - 10) = 0
<=> $\left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ 2x + 1 = 0 \\ 3x - 10 = 0 \end{matrix}\right.$ <=> $\left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \\ x = \frac{10}{3} \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình có ba nghiệm $x_1$ = 0, $x_2$ = -$\frac{1}{2}$, $x_3$ = -$\frac{10}{3}$
Giải bài tập 40 trang 57 sgk đại số 9 tập 2
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụa) 3$(x^2 + x)^2$ - 2($x^2$ + x) - 1 = 0 b) $(x^2 - 4x + 2)^2$ + $x^2$ - 4x - 4 = 0
c) x - $\sqrt{x}$ = 5$\sqrt{x}$ + 7 d) $\frac{x}{x + 1}$ - 10$\frac{x + 1}{x}$ = 3
Hướng dẫn:
a) Đặt t = $x^2$ + x, ta có phương trình 3$t^2$ - 2t - 1 = 0. Giải phương trình này ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = $x^2$ + x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.
d) Đặt $\frac{x}{x + 1}$ = t hoặc $\frac{x + 1}{x}$ = t
Bài giải:
a) 3$(x^2 + x)^2$ - 2($x^2$ + x) - 1 = 0 (1)Đặt t = $x^2$ + x (*)
Khi đó (1) <=> 3$t^2$ - 2t - 1 = 0
Phương trình có a + b + c = 3 - 2 - 1 = 0 nên có hai nghiệm t = 1 và t = -$\frac{1}{3}$
# Thay t = 1 vào (*), ta có $x^2$ + x = 1 <=> $x^2$ + x - 1 = 0
$\Delta$ = $1^2$ - 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{5}$
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2$ = $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
# Thay t = -$\frac{1}{3}$ vào (*), ta có $x^2$ + x = -$\frac{1}{3}$ <=> 3$x^2$ + 3x + 1 = 0
$\Delta$ = $3^2$ - 4.3.1 = 9 - 12 = -3 < 0 suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2$ = $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
b) $(x^2 - 4x + 2)^2$ + $x^2$ - 4x - 4 = 0 (1)
Đặt t = $x^2$ - 4x + 2 (*)
Khi đó (1) <=> $(x^2 - 4x + 2)^2$ + $x^2$ - 4x + 2 - 6 = 0 <=> $t^2$ + t - 6 = 0
$\Delta$ = $1^2$ - 4.1.(-6) = 1 + 24 = 25 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{25}$ = 5
Do đó phương trình có hai nghiệm $x_1$ = $\frac{-1 + 5}{2}$ = 2, $x_2$ = $\frac{-1 - 5}{2}$ = -3
# Với t = 2, (*) <=> $x^2$ - 4x + 2 = 2 <=> $x^2$ - 4x = 0 <=> x(x - 4) = 0 <=> $\left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ x - 4 = 0 \end{matrix}\right.$ <=> $\left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ x = 4 \end{matrix}\right.$
# Với t = -3, (*) <=> $x^2$ - 4x + 2 = -3 <=> $x^2$ - 4x + 5 = 0
$\Delta'$ = $(-2)^2$ - 1.5 = 4 - 5 = -1 < 0 suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm $x_1$ = 0, $x_2$ = 4
c) x - $\sqrt{x}$ = 5$\sqrt{x}$ + 7 (1)
<=> x - 6$\sqrt{x}$ - 7 = 0. Điều kiện x $\geq$ 0
Đặt t = $\sqrt{x}$ (*) (t $\geq$ 0)
Khi đó (1) <=> $t^2$ - 6t - 7 = 0
Phương trình có a - b + c = 1 + 6 - 7 = 0 do đó có hai nghiệm $t_1$ = -1, $t_2$ = 7 (nhận)
Nghiệm $t_1$ = -1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên loại
Với t = 7, (*) <=> $\sqrt{x}$ = 7 <=> x = $7^2$ = 49
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 49
d) $\frac{x}{x + 1}$ - 10$\frac{x + 1}{x}$ = 3 (1)
Điều kiện $\begin{cases}x \neq 0\\x + 1 \neq 0\end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \neq 0\\x \neq -1\end{cases}$
Đặt t = $\frac{x}{x + 1}$ <=> $\frac{x + 1}{x}$ = $\frac{1}{t}$
Khi đó (1) <=> t - 10$\frac{1}{t}$ - 3 = 0 <=> $t^2$ - 3t - 10 = 0
$\Delta$ = $(-3)^2$ - 4.1.(-10) = 9 + 40 = 49 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{49}$ = 7
Phương trình có hai nghiệm $t_1$ = $\frac{3 + 7}{2}$ = 5, $t_1$ = $\frac{3 - 7}{2}$ = -2
# Với t = 5, ta có $\frac{x}{x + 1}$ = 5 <=> x = 5x + 5 <=> x = -$\frac{5}{4}$ (nhận)
# Với t = -2, ta có $\frac{x}{x + 1}$ = -2 <=> x = -2x - 2 <=> x = -$\frac{2}{3}$ (nhận)
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = -$\frac{5}{4}$, $x_1$ = -$\frac{2}{3}$
Xem bài trước: Bài tập quy về phương trình bậc hai
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon