Luyện tập phương trình quy về phương trình bậc hai.

Giải bài tập 37 trang 56 sgk đại số 9 tập 2

Giải phương trình trùng phương
a) 9

$x^4$ - 10

$x^2$ + 1 = 0 b) 5

$x^4$ +2

$x^2$ - 16 = 10 -

$x^2$
c) 0,3

$x^4$ + 1,8

$x^2$ + 1,5 = 0 d) 2

$x^2$ + 1 =

$\frac{1}{x^2}$ - 4

Bài giải:

a) 9

$x^4$ - 10

$x^2$ + 1 = 0 (1)
Đặt t =

$x^2$ . Điều kiện t

$\geq$ 0
Ta có 9

$x^4$ - 10

$x^2$ + 1 = 0 <=> 9

$t^2$ - 10t + 1 = 0 (*)
Phương trình (*) có a + b + c = 9 - 10 + 1 = 0
Nên (*) có hai nghiệm

$t_1$ = 1 và

$t_2$ =

$\frac{1}{9}$ , cả hai đều thỏa mãn điều kiện.
# Với

$t_1$ = 1, ta được

$x^2$ = 1 <=> x =

$\pm$ 1
# Với

$t_2$ =

$\frac{1}{9}$ , ta được

$x^2$ =

$\frac{1}{9}$ <=> x =

$\pm$

$\frac{1}{3}$ .
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm:

$x_1$ = -1,

$x_2$ = 1,

$x_3$ = -

$\frac{1}{3}$ ,

$x_4$ =

$\frac{1}{3}$
b) 5

$x^4$ +2

$x^2$ - 16 = 10 -

$x^2$ (2)
Ta có (2) <=> 5

$x^4$ +3

$x^2$ - 26 = 0
Đặt t =

$x^2$ . Điều kiện t

$\geq$ 0
Khi đó 5

$x^4$ +3

$x^2$ - 26 = 0 <=> 5

$t^2$ +3t - 26 = 0 (*)

$\Delta$ = 9 - 4.5.(-26) = 9 + 520 = 529 > 0

$\sqrt{\Delta}$ =

$\sqrt{529}$ = 23
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm

$t_1$ =

$\frac{-3 + 23}{2.5}$ = 2,

$t_2$ =

$\frac{-3 - 23}{2.5}$ = -2,6 (loại)
Khi t = 2 ta có

$x^2$ = 2 <=> x =

$\pm$

$\sqrt{2}$
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm

$x_1$ = -

$\sqrt{2}$ ,

$x_2$ =

$\sqrt{2}$
c) 0,3

$x^4$ + 1,8

$x^2$ + 1,5 = 0 (3)
Đặt t =

$x^2$ . Điều kiện t

$\geq$ 0
Ta có 0,3

$x^4$ + 1,8

$x^2$ + 1,5 = 0 <=> 0,3

$t^2$ + 1,8t + 1,5 = 0 (*)
Phương trình (*) có a - b + c = 0,3 - 1,8 + 1,5 = 0
Nên (*) có hai nghiệm

$t_1$ = -1 và

$t_2$ = -

$\frac{1,5}{0,3}$ = -5
Cả hai nghiệm

$t_1$ ,

$t_2$ đều không thỏa mãn điều kiện t

$\geq$ 0
Do đó phương trình (3) vô nghiệm.
d) 2

$x^2$ + 1 =

$\frac{1}{x^2}$ - 4 (4)
Khi x

$\neq$ 0, ta có 2

$x^2$ + 1 =

$\frac{1}{x^2}$ - 4 <=> 2

$x^4$ +

$x^2$ = 1 - 4

$x^2$ <=> 2

$x^4$ + 5

$x^2$ - 1 = 0
Đặt t =

$x^2$ . Điều kiện t

$\geq$ 0
Khi đó 2

$x^4$ + 5

$x^2$ - 1 = 0 <=> 2

$t^2$ + 5t - 1 = 0 (*)

$\Delta$ = 25 - 4.2.(-1) = 25 + 8 = 33 > 0

$\sqrt{\Delta}$ =

$\sqrt{33}$
Nên phương trình (*) có hai nghiệm

$t_1$ =

$\frac{-5 + \sqrt{33}}{2.2}$ =

$\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$ (nhận),

$t_2$ =

$\frac{-5 - \sqrt{33}}{2.2}$ =

$\frac{-5 - \sqrt{33}}{4}$ (loại)
Thay t =

$\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$ vào t =

$x^2$ , ta có

$x^2$ =

$\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$ <=> x =

$\pm$

$\sqrt{\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}}$
Vậy phương trình (4) có hai nghiệm:

$x_1$ =

$\sqrt{\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}}$ ,

$x_2$ = -

$\sqrt{\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}}$

Giải bài tập 38 trang 56 sgk đại số 9 tập 2

Giải các phương trình:
a)

$(x - 3)^2$ +

$(x + 4)^2$ = 23 - 3x b)

$x^3$ + 2

$x^2$ -

$(x - 3)^2$ = (x - 1)(

$x^2$ - 2)
c)

$(x - 1)^3$ + 0,5

$x^2$ = x(

$x^2$ + 1,5) d)

$\frac{x(x - 7)}{3}$ - 1 =

$\frac{x}{2}$ -

$\frac{x - 4}{3}$
e)

$\frac{14}{x^2 - 9}$ = 1 -

$\frac{1}{3 - x}$ f)

$\frac{2x}{x + 1}$ =

$\frac{x^2 - x + 8}{(x + 1)(x - 4)}$

Bài giải:

$(x - 3)^2$ +

$(x + 4)^2$ = 23 - 3x <=>

$x^2$ - 6x + 9 +

$x^2$ + 8x + 16 - 23 + 3x = 0 <=> 2

$x^2$ + 5x + 2 = 0

$\Delta$ = 25 - 4.2.2 = 25 - 16 = 9 > 0

$\sqrt{\Delta}$ =

$\sqrt{9}$ = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm

$x_1$ =

$\frac{-5 + 3}{2.2}$ =

$\frac{-2}{4}$ = -

$\frac{1}{2}$ ,

$x_2$ =

$\frac{-5 - 3}{2.2}$ = -2
b)

$x^3$ + 2

$x^2$ -

$(x - 3)^2$ = (x - 1)(

$x^2$ - 2)
<=>

$x^3$ + 2

$x^2$ + 6x - 9 =

$x^3$ -

$x^2$ - 2x + 2 <=> 2

$x^2$ + 8x - 11 = 0

$\Delta'$ = 16 - 2.(-11) = 16 + 22 = 38 > 0

$\sqrt{\Delta}$ =

$\sqrt{38}$
Vậy phương trình có hai nghiệm

$x_1$ =

$\frac{-4 + \sqrt{38}}{2}$ ,

$x_2$ =

$\frac{-4 - \sqrt{38}}{2}$
c)

$(x - 1)^3$ + 0,5

$x^2$ = x(

$x^2$ + 1,5) <=>

$x^3$ - 3

$x^2$ + 3x - 1 + 0,5

$x^2$ =

$x^3$ + 1,5

$x^2$
<=> 2,5

$x^2$ - 1,5x + 1 = 0
<=> 5

$x^2$ - 3x + 2 = 0 (nhân hai vế với 2)

$\Delta'$ = 9 - 4.5.2 = 9 - 40 = -31 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
d)

$\frac{x(x - 7)}{3}$ - 1 =

$\frac{x}{2}$ -

$\frac{x - 4}{3}$
Với MTC là 6, ta được:
2x(x - 7) - 6 = 3x - 2(x - 4) <=> 2

$x^2$ - 14x - 6 = 3x - 2x + 8 <=> 2

$x^2$ - 15x - 14 = 0

$\Delta$ =

$(-15)^2$ - 4.2.(-14) = 225 + 112 = 337 > 0

$\sqrt{\Delta}$ =

$\sqrt{337}$
Vậy phương trình có hai nghiệm

$x_1$ =

$\frac{-(-15) + \sqrt{337}}{2.2}$ =

$\frac{15 + \sqrt{337}}{4}$ ,

$x_2$ =

$\frac{-(-15) - \sqrt{337}}{2.2}$ =

$\frac{15 - \sqrt{337}}{4}$
e)

$\frac{14}{x^2 - 9}$ = 1 -

$\frac{1}{3 - x}$ (1)
Điều kiện

$x^2$ - 9

$\neq$ 0 <=> x

$\neq$

$\pm$ 3
MTC

$x^2$ - 9 = (x + 3)(x - 3)
Khi đó (1) <=> 14 =

$x^2$ - 9 + x + 3 <=>

$x^2$ + x - 20 = 0 (*)

$\Delta$ =

$1^2$ - 4.1.(-20) = 1 + 80 = 81 > 0

$\sqrt{\Delta}$ =

$\sqrt{81}$ = 9
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm

$x_1$ =

$\frac{-1 + 9}{2}$ = 4,

$x_2$ =

$\frac{-1 - 9}{2}$ = -5. Cả hai đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm

$x_1$ = 4,

$x_2$ = -5
f)

$\frac{2x}{x + 1}$ =

$\frac{x^2 - x + 8}{(x + 1)(x - 4)}$ (1)
Điều kiện (x + 1)(x - 4)

$\neq$ 0 <=>

$\begin{cases}x + 1 \neq 0 \\x - 4 \neq 0\end{cases}$ <=>

$\begin{cases}x \neq -1 \\x \neq 4\end{cases}$
MTC (x + 1)(x - 4)
Khi đó (1) <=> 2x(x - 4) =

$x^2$ - x + 8 <=> 2

$x^2$ - 8x -

$x^2$ + x - 8 = 0 <=>

$x^2$ - 7x - 8 = 0
Phương trình có dạng a - b + c = 0 nên có hai nghiệm

$x_1$ = -1,

$x_2$ = 8
Nghiệm

$x_1$ = -1 không thỏa mãn điều kiện nên phương trình (1) có một nghiệm x = 8

Giải bài tập 39 trang 57 sgk đại số 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích
a) (3

$x^2$ - 7x - 10)[2x^2 + (1 -

$\sqrt{5}$ )x +

$\sqrt{5}$ - 3] = 0 b)

$x^3$ + 3

$x^2$ - 2x - 6 = 0
c) (

$x^2$ - 1)(0,6x + 1) = 0,6

$x^2$ + x d)

$(x^2 + 2x - 5)^2$ =

$(x^2 - x + 5)^2$

Bài giải:

a) (3

$x^2$ - 7x - 10)[2x^2 + (1 -

$\sqrt{5}$ )x +

$\sqrt{5}$ - 3] = 0 (1)
<=>

$\left[ \,\begin{matrix}3x^2 - 7x - 10 = 0 \\ 2x^2 + (1 - \sqrt{5})x + \sqrt{5} - 3 = 0 \end{matrix}\right.$
# Giải phương trình 3

$x^2$ - 7x - 10 = 0 (*)
Phương trình (*) có a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0 nên phương trình có hai nghiệm

$x_1$ = -1,

$x_2$ =

$\frac{10}{3}$
# Giải phương trình 2x^2 + (1 -

$\sqrt{5}$ )x +

$\sqrt{5}$ - 3 = 0 (**)
Phương trình (**) có a + b + c = 2 + 1 -

$\sqrt{5}$ +

$\sqrt{5}$ - 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm

$x_3$ = 1,

$x_4$ =

$\frac{\sqrt{5} - 3}{2}$
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm

$x_1$ = -1,

$x_2$ =

$\frac{10}{3}$ ,

$x_3$ = 1,

$x_4$ =

$\frac{\sqrt{5} - 3}{2}$
b)

$x^3$ + 3

$x^2$ - 2x - 6 = 0
<=>

$x^2$ (x + 3) - 2(x - 3) = 0 <=> (x + 3)(

$x^2$ - 2) = 0
<=>

$\left[ \,\begin{matrix}x + 3 = 0 \\ x^2 - 2 = 0 \end{matrix}\right.$ <=>

$\left[ \,\begin{matrix}x = -3 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình có ba nghiệm

$x_1$ = -3,

$x_2$ = -

$\sqrt{2}$ ,

$x_3$ =

$\sqrt{2}$
c) (

$x^2$ - 1)(0,6x + 1) = 0,6

$x^2$ + x (1)
<=> (

$x^2$ - 1)(0,6x + 1) - x(0,6x + 1) <=> (0,6x + 1)(

$x^2$ - x - 1) = 0
<=>

$\left[ \,\begin{matrix}0,6x + 1 = 0 \\ x^2 - x - 1 = 0 \end{matrix}\right.$
# Giải phương trình 0,6x + 1 = 0 <=> x = -

$\frac{1}{0,6}$ = -

$\frac{5}{3}$
# Giải phương trình

$x^2$ - x - 1 = 0

$\Delta$ =

$(-1)^2$ - 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5 > 0

$\sqrt{\Delta}$ =

$\sqrt{5}$
Suy ra phương trình có hai nghiệm

$x_1$ =

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ,

$x_2$ =

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm

$x_1$ =

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ,

$x_2$ =

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ,

$x_3$ = -

$\frac{5}{3}$
d)

$(x^2 + 2x - 5)^2$ =

$(x^2 - x + 5)^2$
<=>

$(x^2 + 2x - 5)^2$ -

$(x^2 - x + 5)^2$ = 0 <=> (

$x^2$ + 2x - 5 +

$x^2$ - x + 5)(

$x^2$ + 2x - 5 -

$x^2$ + x - 5) = 0
<=> (2

$x^2$ + x)(3x - 10) = 0 <=> x(2x + 1)(3x - 10) = 0
<=>

$\left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ 2x + 1 = 0 \\ 3x - 10 = 0 \end{matrix}\right.$ <=>

$\left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \\ x = \frac{10}{3} \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình có ba nghiệm

$x_1$ = 0,

$x_2$ = -

$\frac{1}{2}$ ,

$x_3$ = -

$\frac{10}{3}$

Giải bài tập 40 trang 57 sgk đại số 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
a) 3

$(x^2 + x)^2$ - 2(

$x^2$ + x) - 1 = 0 b)

$(x^2 - 4x + 2)^2$ +

$x^2$ - 4x - 4 = 0
c) x -

$\sqrt{x}$ = 5

$\sqrt{x}$ + 7 d)

$\frac{x}{x + 1}$ - 10

$\frac{x + 1}{x}$ = 3
Hướng dẫn:
a) Đặt t =

$x^2$ + x, ta có phương trình 3

$t^2$ - 2t - 1 = 0. Giải phương trình này ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t =

$x^2$ + x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.
d) Đặt

$\frac{x}{x + 1}$ = t hoặc

$\frac{x + 1}{x}$ = t

Bài giải:

a) 3

$(x^2 + x)^2$ - 2(

$x^2$ + x) - 1 = 0 (1)
Đặt t =

$x^2$ + x (*)
Khi đó (1) <=> 3

$t^2$ - 2t - 1 = 0
Phương trình có a + b + c = 3 - 2 - 1 = 0 nên có hai nghiệm t = 1 và t = -

$\frac{1}{3}$
# Thay t = 1 vào (*), ta có

$x^2$ + x = 1 <=>

$x^2$ + x - 1 = 0

$\Delta$ =

$1^2$ - 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5 > 0

$\sqrt{\Delta}$ =

$\sqrt{5}$
Phương trình có hai nghiệm

$x_1$ =

$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ ,

$x_2$ =

$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
# Thay t = -

$\frac{1}{3}$ vào (*), ta có

$x^2$ + x = -

$\frac{1}{3}$ <=> 3

$x^2$ + 3x + 1 = 0

$\Delta$ =

$3^2$ - 4.3.1 = 9 - 12 = -3 < 0 suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm

$x_1$ =

$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ ,

$x_2$ =

$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
b)

$(x^2 - 4x + 2)^2$ +

$x^2$ - 4x - 4 = 0 (1)
Đặt t =

$x^2$ - 4x + 2 (*)
Khi đó (1) <=>

$(x^2 - 4x + 2)^2$ +

$x^2$ - 4x + 2 - 6 = 0 <=>

$t^2$ + t - 6 = 0

$\Delta$ =

$1^2$ - 4.1.(-6) = 1 + 24 = 25 > 0

$\sqrt{\Delta}$ =

$\sqrt{25}$ = 5
Do đó phương trình có hai nghiệm

$x_1$ =

$\frac{-1 + 5}{2}$ = 2,

$x_2$ =

$\frac{-1 - 5}{2}$ = -3
# Với t = 2, (*) <=>

$x^2$ - 4x + 2 = 2 <=>

$x^2$ - 4x = 0 <=> x(x - 4) = 0 <=>

$\left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ x - 4 = 0 \end{matrix}\right.$ <=>

$\left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ x = 4 \end{matrix}\right.$
# Với t = -3, (*) <=>

$x^2$ - 4x + 2 = -3 <=>

$x^2$ - 4x + 5 = 0

$\Delta'$ =

$(-2)^2$ - 1.5 = 4 - 5 = -1 < 0 suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm

$x_1$ = 0,

$x_2$ = 4
c) x -

$\sqrt{x}$ = 5

$\sqrt{x}$ + 7 (1)
<=> x - 6

$\sqrt{x}$ - 7 = 0. Điều kiện x

$\geq$ 0
Đặt t =

$\sqrt{x}$ (*) (t

$\geq$ 0)
Khi đó (1) <=>

$t^2$ - 6t - 7 = 0
Phương trình có a - b + c = 1 + 6 - 7 = 0 do đó có hai nghiệm

$t_1$ = -1,

$t_2$ = 7 (nhận)
Nghiệm

$t_1$ = -1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên loại
Với t = 7, (*) <=>

$\sqrt{x}$ = 7 <=> x =

$7^2$ = 49
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 49
d)

$\frac{x}{x + 1}$ - 10

$\frac{x + 1}{x}$ = 3 (1)
Điều kiện

$\begin{cases}x \neq 0\\x + 1 \neq 0\end{cases}$ <=>

$\begin{cases}x \neq 0\\x \neq -1\end{cases}$
Đặt t =

$\frac{x}{x + 1}$ <=>

$\frac{x + 1}{x}$ =

$\frac{1}{t}$
Khi đó (1) <=> t - 10

$\frac{1}{t}$ - 3 = 0 <=>

$t^2$ - 3t - 10 = 0

$\Delta$ =

$(-3)^2$ - 4.1.(-10) = 9 + 40 = 49 > 0

$\sqrt{\Delta}$ =

$\sqrt{49}$ = 7
Phương trình có hai nghiệm

$t_1$ =

$\frac{3 + 7}{2}$ = 5,

$t_1$ =

$\frac{3 - 7}{2}$ = -2
# Với t = 5, ta có

$\frac{x}{x + 1}$ = 5 <=> x = 5x + 5 <=> x = -

$\frac{5}{4}$ (nhận)
# Với t = -2, ta có

$\frac{x}{x + 1}$ = -2 <=> x = -2x - 2 <=> x = -

$\frac{2}{3}$ (nhận)
Vậy phương trình có hai nghiệm

$x_1$ = -

$\frac{5}{4}$ ,

$x_1$ = -

$\frac{2}{3}$

Xem bài trước: Bài tập quy về phương trình bậc hai

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.Nói về góc với đường tròn, ta đã được làm quen với góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tu
Cung chứa góc.Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, quỹ tích đường tròn, định lí góc nội tiếp, góc tạ
Giải bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai.Để giải những phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu... trước hết, ta đưa về phương
Giải bài luyện tập góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, ta đã được học, cô giáo cũng đã hướng dẫn ta giải bài tập g
Giải bài tập góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.Định lí về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuy
Giải bài tập góc có đỉnh ở bên trong và bên ngoài đường tròn.Ở bài học trước, ta đã có những hình dung cụ thể về góc có đỉnh ở bên trong và bên ngoài đường tròn