Luyện tập phương trình quy về phương trình bậc hai.
Giải bài tập 37 trang 56 sgk đại số 9 tập 2
Giải phương trình trùng phươnga) 9x4 - 10x2 + 1 = 0 b) 5x4 +2x2 - 16 = 10 - x2
c) 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 d) 2x2 + 1 = 1x2 - 4
Bài giải:
a) 9x4 - 10x2 + 1 = 0 (1)Đặt t = x2. Điều kiện t ≥ 0
Ta có 9x4 - 10x2 + 1 = 0 <=> 9t2 - 10t + 1 = 0 (*)
Phương trình (*) có a + b + c = 9 - 10 + 1 = 0
Nên (*) có hai nghiệm t1 = 1 và t2 = 19, cả hai đều thỏa mãn điều kiện.
# Với t1 = 1, ta được x2 = 1 <=> x = ± 1
# Với t2 = 19, ta được x2 = 19 <=> x = ± 13.
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 = -1, x2 = 1, x3 = -13, x4 = 13
b) 5x4 +2x2 - 16 = 10 - x2 (2)
Ta có (2) <=> 5x4 +3x2 - 26 = 0
Đặt t = x2. Điều kiện t ≥ 0
Khi đó 5x4 +3x2 - 26 = 0 <=> 5t2 +3t - 26 = 0 (*)
Δ = 9 - 4.5.(-26) = 9 + 520 = 529 > 0
√Δ = √529 = 23
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm t1 = −3+232.5 = 2, t2 = −3−232.5 = -2,6 (loại)
Khi t = 2 ta có x2 = 2 <=> x = ± √2
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm x1 = -√2, x2 = √2
c) 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 (3)
Đặt t = x2. Điều kiện t ≥ 0
Ta có 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 <=> 0,3t2 + 1,8t + 1,5 = 0 (*)
Phương trình (*) có a - b + c = 0,3 - 1,8 + 1,5 = 0
Nên (*) có hai nghiệm t1 = -1 và t2 = -1,50,3 = -5
Cả hai nghiệm t1, t2 đều không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0
Do đó phương trình (3) vô nghiệm.
d) 2x2 + 1 = 1x2 - 4 (4)
Khi x ≠ 0, ta có 2x2 + 1 = 1x2 - 4 <=> 2x4 + x2 = 1 - 4x2 <=> 2x4 + 5x2 - 1 = 0
Đặt t = x2. Điều kiện t ≥ 0
Khi đó 2x4 + 5x2 - 1 = 0 <=> 2t2 + 5t - 1 = 0 (*)
Δ = 25 - 4.2.(-1) = 25 + 8 = 33 > 0
√Δ = √33
Nên phương trình (*) có hai nghiệm
t1 = −5+√332.2 = −5+√334 (nhận), t2 = −5−√332.2 = −5−√334 (loại)
Thay t = −5+√334 vào t = x2, ta có x2 = −5+√334 <=> x = ± √−5+√334
Vậy phương trình (4) có hai nghiệm: x1 = √−5+√334, x2 = -√−5+√334
Giải bài tập 38 trang 56 sgk đại số 9 tập 2
Giải các phương trình:a) (x−3)2 + (x+4)2 = 23 - 3x b) x3 + 2x2 - (x−3)2 = (x - 1)(x2 - 2)
c) (x−1)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5) d) x(x−7)3 - 1 = x2 - x−43
e) 14x2−9 = 1 - 13−x f) 2xx+1 = x2−x+8(x+1)(x−4)
Bài giải:
a) (x−3)2 + (x+4)2 = 23 - 3x <=> x2 - 6x + 9 + x2 + 8x + 16 - 23 + 3x = 0 <=> 2x2 + 5x + 2 = 0Δ = 25 - 4.2.2 = 25 - 16 = 9 > 0
√Δ = √9 = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = −5+32.2 = −24 = -12, x2 = −5−32.2 = -2
b) x3 + 2x2 - (x−3)2 = (x - 1)(x2 - 2)
<=> x3 + 2x2 + 6x - 9 = x3 - x2 - 2x + 2 <=> 2x2 + 8x - 11 = 0
Δ′ = 16 - 2.(-11) = 16 + 22 = 38 > 0
√Δ = √38
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = −4+√382, x2 = −4−√382
c) (x−1)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5) <=> x3 - 3x2 + 3x - 1 + 0,5x2 = x3 + 1,5x2
<=> 2,5x2 - 1,5x + 1 = 0
<=> 5x2 - 3x + 2 = 0 (nhân hai vế với 2)
Δ′ = 9 - 4.5.2 = 9 - 40 = -31 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) x(x−7)3 - 1 = x2 - x−43
Với MTC là 6, ta được:
2x(x - 7) - 6 = 3x - 2(x - 4) <=> 2x2 - 14x - 6 = 3x - 2x + 8 <=> 2x2 - 15x - 14 = 0
Δ = (−15)2 - 4.2.(-14) = 225 + 112 = 337 > 0
√Δ = √337
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = −(−15)+√3372.2 = 15+√3374, x2 = −(−15)−√3372.2 = 15−√3374
e) 14x2−9 = 1 - 13−x (1)
Điều kiện x2 - 9 ≠ 0 <=> x ≠ ± 3
MTC x2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
Khi đó (1) <=> 14 = x2 - 9 + x + 3 <=> x2 + x - 20 = 0 (*)
Δ = 12 - 4.1.(-20) = 1 + 80 = 81 > 0
√Δ = √81 = 9
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm x1 = −1+92 = 4, x2 = −1−92 = -5. Cả hai đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 4, x2 = -5
f) 2xx+1 = x2−x+8(x+1)(x−4) (1)
Điều kiện (x + 1)(x - 4) ≠ 0 <=> {x+1≠0x−4≠0 <=> {x≠−1x≠4
MTC (x + 1)(x - 4)
Khi đó (1) <=> 2x(x - 4) = x2 - x + 8 <=> 2x2 - 8x - x2 + x - 8 = 0 <=> x2 - 7x - 8 = 0
Phương trình có dạng a - b + c = 0 nên có hai nghiệm x1 = -1, x2 = 8
Nghiệm x1 = -1 không thỏa mãn điều kiện nên phương trình (1) có một nghiệm x = 8
Giải bài tập 39 trang 57 sgk đại số 9 tập 2
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tícha) (3x2 - 7x - 10)[2x^2 + (1 - √5)x + √5 - 3] = 0 b) x3 + 3x2 - 2x - 6 = 0
c) (x2 - 1)(0,6x + 1) = 0,6x2 + x d) (x2+2x−5)2 = (x2−x+5)2
Bài giải:
a) (3x2 - 7x - 10)[2x^2 + (1 - √5)x + √5 - 3] = 0 (1)<=> [3x2−7x−10=02x2+(1−√5)x+√5−3=0
# Giải phương trình 3x2 - 7x - 10 = 0 (*)
Phương trình (*) có a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 = -1, x2 = 103
# Giải phương trình 2x^2 + (1 - √5)x + √5 - 3 = 0 (**)
Phương trình (**) có a + b + c = 2 + 1 - √5 + √5 - 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x3 = 1, x4 = √5−32
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm x1 = -1, x2 = 103, x3 = 1, x4 = √5−32
b) x3 + 3x2 - 2x - 6 = 0
<=> x2(x + 3) - 2(x - 3) = 0 <=> (x + 3)(x2 - 2) = 0
<=> [x+3=0x2−2=0 <=> [x=−3x=±√2
Vậy phương trình có ba nghiệm x1 = -3, x2 = -√2, x3 = √2
c) (x2 - 1)(0,6x + 1) = 0,6x2 + x (1)
<=> (x2 - 1)(0,6x + 1) - x(0,6x + 1) <=> (0,6x + 1)(x2 - x - 1) = 0
<=> [0,6x+1=0x2−x−1=0
# Giải phương trình 0,6x + 1 = 0 <=> x = -10,6 = -53
# Giải phương trình x2 - x - 1 = 0
Δ = (−1)2 - 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5 > 0
√Δ = √5
Suy ra phương trình có hai nghiệm x1 = 1+√52, x2 = 1−√52
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm x1 = 1+√52, x2 = 1−√52, x3 = -53
d) (x2+2x−5)2 = (x2−x+5)2
<=> (x2+2x−5)2 - (x2−x+5)2 = 0 <=> (x2 + 2x - 5 + x2 - x + 5)(x2 + 2x - 5 - x2 + x - 5) = 0
<=> (2x2 + x)(3x - 10) = 0 <=> x(2x + 1)(3x - 10) = 0
<=> [x=02x+1=03x−10=0 <=> [x=0x=−12x=103
Vậy phương trình có ba nghiệm x1 = 0, x2 = -12, x3 = -103
Giải bài tập 40 trang 57 sgk đại số 9 tập 2
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụa) 3(x2+x)2 - 2(x2 + x) - 1 = 0 b) (x2−4x+2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
c) x - √x = 5√x + 7 d) xx+1 - 10x+1x = 3
Hướng dẫn:
a) Đặt t = x2 + x, ta có phương trình 3t2 - 2t - 1 = 0. Giải phương trình này ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x2 + x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.
d) Đặt xx+1 = t hoặc x+1x = t
Bài giải:
a) 3(x2+x)2 - 2(x2 + x) - 1 = 0 (1)Đặt t = x2 + x (*)
Khi đó (1) <=> 3t2 - 2t - 1 = 0
Phương trình có a + b + c = 3 - 2 - 1 = 0 nên có hai nghiệm t = 1 và t = -13
# Thay t = 1 vào (*), ta có x2 + x = 1 <=> x2 + x - 1 = 0
Δ = 12 - 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5 > 0
√Δ = √5
Phương trình có hai nghiệm x1 = −1+√52, x2 = −1−√52
# Thay t = -13 vào (*), ta có x2 + x = -13 <=> 3x2 + 3x + 1 = 0
Δ = 32 - 4.3.1 = 9 - 12 = -3 < 0 suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1 = −1+√52, x2 = −1−√52
b) (x2−4x+2)2 + x2 - 4x - 4 = 0 (1)
Đặt t = x2 - 4x + 2 (*)
Khi đó (1) <=> (x2−4x+2)2 + x2 - 4x + 2 - 6 = 0 <=> t2 + t - 6 = 0
Δ = 12 - 4.1.(-6) = 1 + 24 = 25 > 0
√Δ = √25 = 5
Do đó phương trình có hai nghiệm x1 = −1+52 = 2, x2 = −1−52 = -3
# Với t = 2, (*) <=> x2 - 4x + 2 = 2 <=> x2 - 4x = 0 <=> x(x - 4) = 0 <=> [x=0x−4=0 <=> [x=0x=4
# Với t = -3, (*) <=> x2 - 4x + 2 = -3 <=> x2 - 4x + 5 = 0
Δ′ = (−2)2 - 1.5 = 4 - 5 = -1 < 0 suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 0, x2 = 4
c) x - √x = 5√x + 7 (1)
<=> x - 6√x - 7 = 0. Điều kiện x ≥ 0
Đặt t = √x (*) (t ≥ 0)
Khi đó (1) <=> t2 - 6t - 7 = 0
Phương trình có a - b + c = 1 + 6 - 7 = 0 do đó có hai nghiệm t1 = -1, t2 = 7 (nhận)
Nghiệm t1 = -1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên loại
Với t = 7, (*) <=> √x = 7 <=> x = 72 = 49
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 49
d) xx+1 - 10x+1x = 3 (1)
Điều kiện {x≠0x+1≠0 <=> {x≠0x≠−1
Đặt t = xx+1 <=> x+1x = 1t
Khi đó (1) <=> t - 101t - 3 = 0 <=> t2 - 3t - 10 = 0
Δ = (−3)2 - 4.1.(-10) = 9 + 40 = 49 > 0
√Δ = √49 = 7
Phương trình có hai nghiệm t1 = 3+72 = 5, t1 = 3−72 = -2
# Với t = 5, ta có xx+1 = 5 <=> x = 5x + 5 <=> x = -54 (nhận)
# Với t = -2, ta có xx+1 = -2 <=> x = -2x - 2 <=> x = -23 (nhận)
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = -54, x1 = -23
Xem bài trước: Bài tập quy về phương trình bậc hai
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon