Giải bài luyện tập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\begin{cases}ax + by = c\, (1)\\a'x + b'y = c'\, (2)\end{cases}$:
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
a) $\begin{cases}x = 2\\2x - y = 3\end{cases}$ b) $\begin{cases}x + 3y = 2\\2y = 4\end{cases}$
Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
a) $\begin{cases}x + y = 2\\3x + 3y = 2\end{cases}$
b) $\begin{cases}3x - 2y = 1\\-6x + 4y = 0\end{cases}$
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
- Hệ có nghiệm duy nhất <=> $\frac{a}{a'}$ $\neq$ $\frac{b}{b'}$
- Hệ vô nghiệm <=> $\frac{a}{a'}$ = $\frac{b}{b'}$ $\neq$ $\frac{c}{c'}$
- Hệ có vô số nghiệm <=> $\frac{a}{a'}$ = $\frac{b}{b'}$ = $\frac{c}{c'}$
Giải bài 7 trang 12 sgk đại số 9 tập 2
Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
Bài giải:
a) Ta có: 2x + y = 4 <=> y = -2x + 4 <=> x = -$\frac{1}{2}$y + 2.
Phương trình có nghiệm tổng quát:
$\begin{cases}x \in R\\y = -2x + 4\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}x = -\frac{1}{2}y + 2 \\y \in R\end{cases}$
Ta có: 3x + 2y = 5 <=> y = -$\frac{3}{2}$x + $\frac{5}{2}$ <=> x = -$\frac{2}{3}$y + $\frac{5}{3}$.
Nghiệm tổng quát của phương trình là:
$\begin{cases}x \in R\\y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}x = -\frac{2}{3}y + \frac{5}{3} \\y \in R\end{cases}$
b) Vẽ đường thẳng 2x + y = 4
Cho x = 0 => y = 4, ta được điểm A(0 ; 4)
Cho y = 0 => x = 2, ta được điểm B(2 ; 0)
Vẽ đường thẳng 3x + 2y = 5
Cho x = 0 => y = $\frac{5}{2}$, ta được điểm C(0 ; $\frac{5}{2}$)
Cho y = 0 => x = $\frac{5}{3}$, ta được điểm D($\frac{5}{3}$ ; 0)
Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(3 ; -2)
Thay x = 3, y = -2 vào từng phương trình, ta được:
2.3 + (- 2) = 4 (đúng)
3.3 + 2.(-2) = 5 (đúng)
Vậy nghiệm chung của hai phương trình đã cho là $\begin{cases}x = 3\\y = -2\end{cases}$
Giải bài 8 trang 12 sgk đại số 9 tập 2.
Cho các hệ phương trình sau:a) $\begin{cases}x = 2\\2x - y = 3\end{cases}$ b) $\begin{cases}x + 3y = 2\\2y = 4\end{cases}$
Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
Bài giải:
a) (I) $\begin{cases}x = 2 \,(1)\\2x - y = 3\,(2)\end{cases}$
Đoán nhận số nghiệm: Ta thấy tập nghiệm của (1) là đường thẳng (d) song song với trục Oy, tập nghiệm của (2) là đường thẳng (d') cắt hai trục tọa độ, nên d cắt d'. Do đó hệ (I) có nghiệm duy nhất.
- Vẽ đường thẳng (d) x = 2
Đường thẳng (d) đi qua điểm (0 ; 2) và song song với trục Oy
- Vẽ đường thẳng (d') 2x - y = 3
Cho x = 0 => y = -3, ta được điểm A(0 ; -3)
Cho y = 0 => x = $\frac{3}{2}$, ta được điểm B($\frac{3}{2}$; 0)
Đường thẳng (d') đi qua hai điểm A(0 ; -3) và B($\frac{3}{2}$ ; 0)
Hai đường thẳng (d) và (d') cắt nhau tại điểm M(2 ; 1)
Thay x = 2, y = 1 vào (2), ta có 2.2 -1 = 3 (đúng)
Vậy nghiệm của hệ (I) là $\begin{cases}x = 2\\ y = 1\end{cases}$
b) (II) $\begin{cases}x + 3y = 2\\2y = 4\end{cases}$ <=> $\begin{cases}y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\, (1)\\y = 2\, (2)\end{cases}$
Đoán nhận số nghiệm: Tập nghiệm của (1) là đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ, tập nghiệm của hai là đường thẳng (d') song song với trục Ox, nên (d) cắt (d'). Do đó hệ (II) có nghiệm duy nhất.
- Vẽ đường thẳng (d) x + 3y = 2
Cho x = 0 => y = $\frac{2}{3}$, ta được điểm C(0 ; $\frac{2}{3}$)
Cho y = 0 => x = 2, ta được điểm D(2 ; 0)
- Vẽ đường thẳng (d') y = 2
Đường thẳng (d') song song với trục Ox
Hai đường thẳng (d) và (d') cắt nhau tại điểm N(-4 ; 2)
Thay x = -4, y = 2 vào phương trình (2), ta có -4 + 3.2 = 2 (đúng)
Vậy nghiệm của hệ (II) là $\begin{cases}x = -4\\ y = 2\end{cases}$
Giải bài 9 trang 12 sgk đại số 9 tập 2.
Đoán nhận số nghiệm của mỗi phương trình sau, giải thích vì sao?a) $\begin{cases}x + y = 2\\3x + 3y = 2\end{cases}$
b) $\begin{cases}3x - 2y = 1\\-6x + 4y = 0\end{cases}$
Bài giải:
a) (I) $\begin{cases}x + y = 2\, (1)\\3x + 3y = 2\, (2)\end{cases}$ <=> $\begin{cases} y = -x + 2\\y = -x + \frac{2}{3}\end{cases}$
Ta có: a = -1, a' = -1, b = 2, b' = $\frac{2}{3}$ nên a = a', b $\neq$ b'. Do đó hai đường thẳng x + y = 2 và 3x + 3y = 2 song song với nhau.
Vậy hệ phương trình (I) vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của phương trình (1) và (2) trong hệ (I) song song với nhau.
b) (II) $\begin{cases}3x - 2y = 1\, (1)\\-6x + 4y = 0\,(2)\end{cases}$ <=> $\begin{cases}y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\\y = \frac{3}{2}x\end{cases}$
Ta có: a = $\frac{3}{2}$, a' = $\frac{3}{2}$, b = -$\frac{1}{2}$, b' = 0 nên a = a', b $\neq$ b'. Do đó hai đường thẳng 3x - 2y = 1 và -6x + 4y = 0 song song với nhau.
Vậy hệ phương trình (II) vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình (1) và (2) trong hệ (II) song song với nhau.
a) $\begin{cases}4x + 4y = 2\\-2x + 2y = -1\end{cases}$
b) $\begin{cases}\frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3}\\x - 3y = 2\end{cases}$
Bài giải:
a) (I) $\begin{cases}4x + 4y = 2\,(1)\\-2x + 2y = -1\,(2)\end{cases}$ <=> $\begin{cases}y = x - \frac{1}{2}\\y = x - \frac{1}{2}\end{cases}$
Ta có a = a' = -1, b = b' = -$\frac{1}{2}$. Nên hai đường thẳng 4x + 4y = 2 và -2x + 2y = -1 trùng nhau.
Vậy hệ phương trình (I) có vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của phương trình (1) và (2) trong hệ (I) trùng nhau.
b) (II) $\begin{cases}\frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3}\,(1)\\x - 3y = 2\,(2)\end{cases}$ <=> $\begin{cases}y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \\y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}\end{cases}$.
Ta có: a = a' = $\frac{1}{3}$, b = b' = -$\frac{2}{3}$. Nên hai đường thẳng (1) và (2) trùng nhau.
Vậy hệ phương trình (II) có vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của phương trình (1) và (2) trong hệ (II) trùng nhau.
Bài giải:
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thì ta có thể khẳng định hệ phương trình có vô số nghiệm vì theo giả thiết nếu hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều đó có nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của chúng có chung hai điểm phân biệt, do đó chúng trùng nhau (vì có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt)
Ta có: a = -1, a' = -1, b = 2, b' = $\frac{2}{3}$ nên a = a', b $\neq$ b'. Do đó hai đường thẳng x + y = 2 và 3x + 3y = 2 song song với nhau.
Vậy hệ phương trình (I) vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của phương trình (1) và (2) trong hệ (I) song song với nhau.
b) (II) $\begin{cases}3x - 2y = 1\, (1)\\-6x + 4y = 0\,(2)\end{cases}$ <=> $\begin{cases}y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\\y = \frac{3}{2}x\end{cases}$
Ta có: a = $\frac{3}{2}$, a' = $\frac{3}{2}$, b = -$\frac{1}{2}$, b' = 0 nên a = a', b $\neq$ b'. Do đó hai đường thẳng 3x - 2y = 1 và -6x + 4y = 0 song song với nhau.
Vậy hệ phương trình (II) vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình (1) và (2) trong hệ (II) song song với nhau.
Giải bài 10 trang 12 sgk đại số 9 tập 2.
Đoán nhận số nghiệm của mỗi phương trình sau, giải thích vì sao?a) $\begin{cases}4x + 4y = 2\\-2x + 2y = -1\end{cases}$
b) $\begin{cases}\frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3}\\x - 3y = 2\end{cases}$
Bài giải:
a) (I) $\begin{cases}4x + 4y = 2\,(1)\\-2x + 2y = -1\,(2)\end{cases}$ <=> $\begin{cases}y = x - \frac{1}{2}\\y = x - \frac{1}{2}\end{cases}$
Ta có a = a' = -1, b = b' = -$\frac{1}{2}$. Nên hai đường thẳng 4x + 4y = 2 và -2x + 2y = -1 trùng nhau.
Vậy hệ phương trình (I) có vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của phương trình (1) và (2) trong hệ (I) trùng nhau.
b) (II) $\begin{cases}\frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3}\,(1)\\x - 3y = 2\,(2)\end{cases}$ <=> $\begin{cases}y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \\y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}\end{cases}$.
Ta có: a = a' = $\frac{1}{3}$, b = b' = -$\frac{2}{3}$. Nên hai đường thẳng (1) và (2) trùng nhau.
Vậy hệ phương trình (II) có vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của phương trình (1) và (2) trong hệ (II) trùng nhau.
Giải bài 11 trang 12 sgk đại số 9 tập 2.
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?Bài giải:
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thì ta có thể khẳng định hệ phương trình có vô số nghiệm vì theo giả thiết nếu hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều đó có nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của chúng có chung hai điểm phân biệt, do đó chúng trùng nhau (vì có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt)
Xem bài trước: Giải bài tập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
EmoticonEmoticon