[Toán 8] Chứng minh I là trung điểm của HK.
Ngày 10/12/2017 bạn Nhung Đinh gửi bài tập
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy E nằm giữa O và B, F là điểm đối xứng với A qua E và I là trung điểm của CF. a) Chứng minh OEFC là hình thang. b) Tứ giác OEIC là hình gì? Vì sao. c) Vẽ FH vuông góc với BC tại H, FK vuông góc với CD tại K. Chứng minh I là trung điểm của HK. d) Chứng minh ba điểm E, H, K thẳng hàng.
Trả lời cho bạn.
a) Ta có:
E là trung điểm của AF( vì F đối xứng với A qua E)
O là trung điểm của AC (vì O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật)
Do đó OE là đường trung bình của tam giác AFC.
Suy ra OE // FC
Tứ giác OEFC có hai cạnh đáy OE và FC song song nên OEFC là hình thang (đpcm)
➤ Xem lại hình thang
b) Ta có:
OE = $\frac{1}{2}$FC (OE là đường trung bình của tam giác AFC)
IC = $\frac{1}{2}$FC (I là trung điểm của FC)
Do đó OE = IC (1)
Ta lại có OE // IC (2) (vì OE // FC cmt)
Từ (1) và (2) suy ra OEIC là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)
➤ Xem lại đường trung bình của tam giác
c) Ta có:
FH vuông góc với BC tại H (3) (gt)
FK vuông góc với CD tại K (4) (gt)
BC vuông góc với CD tại C (5) (ABCD là hình chữ nhật)
Từ (4) và (5) suy ra FK // BC hay FK // HC
Từ (3) và (5) suy ra FH // CD hay FH // CK
Tứ giác HFKC có hai cặp cạnh đối song song nên HFKC là hình bình hành.
Mà I là trung điểm của FC (gt)
Nên suy ra I cũng là trung điểm của HK (đpcm)
☺ Ta cũng có thể chứng minh HFKC là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) rồi suy ra I là trung điểm của HK.
➤ Xem lại hình bình hành, hình chữ nhật
d) Ta có:
FC = 2OE (cmt)
OB = 2OE
Suy ra FC = OB (1)
Ta lại có FC // OE hay FC // OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra BFCO là hình bình hành.
Khi đó H sẽ là trung điểm của BC.
Nên EH là đường trung bình của tam giác BCO.
Suy ra EH // OC (3)
Tương tự ta có I là trung điểm của FC, H là trung điểm của BC nên IH là đường trung bình của tam giác BCF
Suy ra IH // BF (4)
Mà BF // OC (5) (vì BFCO là hình bình hành)
Từ (3) (4) (5) suy ra EH // IH // OC
Nên E, H, I thẳng hàng. (6)
Ta cũng có I là trung điểm của đường chéo HK nên H, I, K thẳng hàng (7)
Từ (6) và (7) suy ra E, H, K thẳng hàng (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy E nằm giữa O và B, F là điểm đối xứng với A qua E và I là trung điểm của CF. a) Chứng minh OEFC là hình thang. b) Tứ giác OEIC là hình gì? Vì sao. c) Vẽ FH vuông góc với BC tại H, FK vuông góc với CD tại K. Chứng minh I là trung điểm của HK. d) Chứng minh ba điểm E, H, K thẳng hàng.
Trả lời cho bạn.
a) Ta có:
E là trung điểm của AF( vì F đối xứng với A qua E)
O là trung điểm của AC (vì O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật)
Do đó OE là đường trung bình của tam giác AFC.
Suy ra OE // FC
Tứ giác OEFC có hai cạnh đáy OE và FC song song nên OEFC là hình thang (đpcm)
➤ Xem lại hình thang
 |
| F là điểm đối xứng với A qua E. |
b) Ta có:
OE = $\frac{1}{2}$FC (OE là đường trung bình của tam giác AFC)
IC = $\frac{1}{2}$FC (I là trung điểm của FC)
Do đó OE = IC (1)
Ta lại có OE // IC (2) (vì OE // FC cmt)
Từ (1) và (2) suy ra OEIC là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)
➤ Xem lại đường trung bình của tam giác
c) Ta có:
FH vuông góc với BC tại H (3) (gt)
FK vuông góc với CD tại K (4) (gt)
BC vuông góc với CD tại C (5) (ABCD là hình chữ nhật)
Từ (4) và (5) suy ra FK // BC hay FK // HC
Từ (3) và (5) suy ra FH // CD hay FH // CK
Tứ giác HFKC có hai cặp cạnh đối song song nên HFKC là hình bình hành.
Mà I là trung điểm của FC (gt)
Nên suy ra I cũng là trung điểm của HK (đpcm)
☺ Ta cũng có thể chứng minh HFKC là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) rồi suy ra I là trung điểm của HK.
➤ Xem lại hình bình hành, hình chữ nhật
d) Ta có:
FC = 2OE (cmt)
OB = 2OE
Suy ra FC = OB (1)
Ta lại có FC // OE hay FC // OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra BFCO là hình bình hành.
Khi đó H sẽ là trung điểm của BC.
Nên EH là đường trung bình của tam giác BCO.
Suy ra EH // OC (3)
Tương tự ta có I là trung điểm của FC, H là trung điểm của BC nên IH là đường trung bình của tam giác BCF
Suy ra IH // BF (4)
Mà BF // OC (5) (vì BFCO là hình bình hành)
Từ (3) (4) (5) suy ra EH // IH // OC
Nên E, H, I thẳng hàng. (6)
Ta cũng có I là trung điểm của đường chéo HK nên H, I, K thẳng hàng (7)
Từ (6) và (7) suy ra E, H, K thẳng hàng (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon