[Toán 9] Chứng minh I, A, O, C thuộc cùng một đường tròn.
Ngày 11/12/2017 bạn có nickname Henji Hatori gửi bài toán lớp 9.
Điểm C nằm trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Tia BC cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tại điểm M. Tiếp tuyến tại C cắt AM tại I.
a) Chứng minh I, A, O, C thuộc cùng một đường tròn.
b) Chứng minh OI vuông góc với AC.
c) Gọi D là giao điểm của OI và AC, vẽ OE vuông góc với BC (E thuộc BC). Chứng minh DE = R
d) Chứng minh $IC^2$ = $\frac{1}{4}$MC.MB
Trả lời cho bạn:
a) Ta có $\widehat{ICO}$ = $90^0$ (IC là tiếp tuyến của đường tròn O)
$\widehat{IAO}$ = $90^0$ (IA là tiếp tuyến của đường tròn O)
Suy ra IAOC là tứ giác nội tiếp.
Do đó I, A, O, C thuộc một đường tròn (đpcm)
b) Ta có:
điểm I cách đều hai điểm A và C (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
điểm O cách đều hai điểm A và C (vì OA = OC = R)
Suy ra I và O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (theo định lí đảo về đường trung trực của đoạn thẳng)
Do đó IO $\perp$ AC (đpcm)
➤ Xem lại tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
c) Tam giác AOC cân tại O có đường cao OE vừa là trung tuyến nên EC = EB
Tam giác AIC cân tại I có đường trung trực ID nên DA = DC
Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC,
Suy ra DE = $\frac{1}{2}$AB = R (đpcm)
d) Ta có:
D là trung điểm của AC (cmt)
O là trung điểm của AB (1)
Nên OD là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra OD // BC hay OI // MB (2)
Từ (1) và (2) suy ra I là trung điểm của MA (định lí 1 đường trung bình của tam giác)
Nên MA = 2IA
Xét hai tam giác MAB và MCA có:
$\widehat{M}$ chung
$\widehat{MAC}$ = $\widehat{MBA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó $\Delta$ MAB $\sim$ $\Delta$ MCA
Suy ra $\frac{MA}{MC}$ = $\frac{MB}{MA}$
=> $MA^2$ = MC.MB
<=> $(2IA)^2$ = MC.MB (vì MA = 2IA cmt)
<=> 4$IA^2$ = MC.MB
<=> 4$IC^2$ = MC.MB (IA = IC)
<=> $IC^2$ = $\frac{1}{4}$MC.MB (đpcm)
➤ Xem lại đường trung bình của tam giác, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Bài 2 giải hệ phương trình
96/x+y + 96/x-y = 14
96/x+y + 72/x-y = 24/y
Bài giải:
$\left\{\begin{matrix}\frac{96}{x + y} + \frac{96}{x - y} = 14 (1)\\ \frac{96}{x + y} + \frac{72}{x - y} = \frac{24}{y} (2) \end{matrix}\right.$
Ta có (2) <=> $\frac{96}{x + y}$ + $\frac{72}{x - y}$ + $\frac{24}{x - y}$ = $\frac{24}{y}$ + $\frac{24}{x - y}$
<=> $\frac{96}{x + y}$ + $\frac{96}{x + y}$ = $\frac{24}{y}$ + $\frac{24}{x - y}$
<=> $\frac{96(x - y) + 96(x + y)}{(x + y)(x - y)}$ = $\frac{24(x - y) + 24y}{y(x - y)}$
<=> $\frac{96(x - y + x + y)}{(x + y)(x - y)}$ = $\frac{24x - 24y + 24y}{y(x - y)}$
<=> $\frac{96.2x}{(x + y)(x - y)}$ = $\frac{24x }{y(x - y)}$
<=> $\frac{4.2}{x + y}$ = $\frac{1}{y}$
<=> 8y = x + y <=> x = 7y (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
$\frac{96}{8y}$ + $\frac{96}{6y}$ = 14 <=> $\frac{12}{y}$ + $\frac{16}{y}$ = 14 <=> $\frac{28}{y}$ = 14 <=> y = 2
Thay y = 2 vào (3) ta được: x = 14
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left\{\begin{matrix}x = 14 \\ y = 2 \end{matrix}\right.$
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Điểm C nằm trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Tia BC cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tại điểm M. Tiếp tuyến tại C cắt AM tại I.
a) Chứng minh I, A, O, C thuộc cùng một đường tròn.
b) Chứng minh OI vuông góc với AC.
c) Gọi D là giao điểm của OI và AC, vẽ OE vuông góc với BC (E thuộc BC). Chứng minh DE = R
d) Chứng minh $IC^2$ = $\frac{1}{4}$MC.MB
Trả lời cho bạn:
a) Ta có $\widehat{ICO}$ = $90^0$ (IC là tiếp tuyến của đường tròn O)
$\widehat{IAO}$ = $90^0$ (IA là tiếp tuyến của đường tròn O)
Suy ra IAOC là tứ giác nội tiếp.
Do đó I, A, O, C thuộc một đường tròn (đpcm)
 |
| Tiếp tuyến tại C cắt AM tại I. |
b) Ta có:
điểm I cách đều hai điểm A và C (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
điểm O cách đều hai điểm A và C (vì OA = OC = R)
Suy ra I và O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (theo định lí đảo về đường trung trực của đoạn thẳng)
Do đó IO $\perp$ AC (đpcm)
➤ Xem lại tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
c) Tam giác AOC cân tại O có đường cao OE vừa là trung tuyến nên EC = EB
Tam giác AIC cân tại I có đường trung trực ID nên DA = DC
Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC,
Suy ra DE = $\frac{1}{2}$AB = R (đpcm)
d) Ta có:
D là trung điểm của AC (cmt)
O là trung điểm của AB (1)
Nên OD là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra OD // BC hay OI // MB (2)
Từ (1) và (2) suy ra I là trung điểm của MA (định lí 1 đường trung bình của tam giác)
Nên MA = 2IA
Xét hai tam giác MAB và MCA có:
$\widehat{M}$ chung
$\widehat{MAC}$ = $\widehat{MBA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó $\Delta$ MAB $\sim$ $\Delta$ MCA
Suy ra $\frac{MA}{MC}$ = $\frac{MB}{MA}$
=> $MA^2$ = MC.MB
<=> $(2IA)^2$ = MC.MB (vì MA = 2IA cmt)
<=> 4$IA^2$ = MC.MB
<=> 4$IC^2$ = MC.MB (IA = IC)
<=> $IC^2$ = $\frac{1}{4}$MC.MB (đpcm)
➤ Xem lại đường trung bình của tam giác, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Bài 2 giải hệ phương trình
96/x+y + 96/x-y = 14
96/x+y + 72/x-y = 24/y
Bài giải:
$\left\{\begin{matrix}\frac{96}{x + y} + \frac{96}{x - y} = 14 (1)\\ \frac{96}{x + y} + \frac{72}{x - y} = \frac{24}{y} (2) \end{matrix}\right.$
Ta có (2) <=> $\frac{96}{x + y}$ + $\frac{72}{x - y}$ + $\frac{24}{x - y}$ = $\frac{24}{y}$ + $\frac{24}{x - y}$
<=> $\frac{96}{x + y}$ + $\frac{96}{x + y}$ = $\frac{24}{y}$ + $\frac{24}{x - y}$
<=> $\frac{96(x - y) + 96(x + y)}{(x + y)(x - y)}$ = $\frac{24(x - y) + 24y}{y(x - y)}$
<=> $\frac{96(x - y + x + y)}{(x + y)(x - y)}$ = $\frac{24x - 24y + 24y}{y(x - y)}$
<=> $\frac{96.2x}{(x + y)(x - y)}$ = $\frac{24x }{y(x - y)}$
<=> $\frac{4.2}{x + y}$ = $\frac{1}{y}$
<=> 8y = x + y <=> x = 7y (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
$\frac{96}{8y}$ + $\frac{96}{6y}$ = 14 <=> $\frac{12}{y}$ + $\frac{16}{y}$ = 14 <=> $\frac{28}{y}$ = 14 <=> y = 2
Thay y = 2 vào (3) ta được: x = 14
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left\{\begin{matrix}x = 14 \\ y = 2 \end{matrix}\right.$
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon