[Toán 9] Chứng minh I, A, O, C thuộc cùng một đường tròn.

Ngày 11/12/2017 bạn có nickname Henji Hatori gửi bài toán lớp 9.
Điểm C nằm trên  nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Tia BC cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tại điểm M. Tiếp tuyến tại C cắt AM tại I.
a) Chứng minh I, A, O, C thuộc cùng một đường tròn.
b) Chứng minh OI vuông góc với AC.
c) Gọi D là giao điểm của OI và AC, vẽ OE vuông góc với BC (E thuộc BC). Chứng minh DE = R
d) Chứng minh $IC^2$ = $\frac{1}{4}$MC.MB

Trả lời cho bạn:

a) Ta có $\widehat{ICO}$ = $90^0$ (IC là tiếp tuyến của đường tròn O)
$\widehat{IAO}$ = $90^0$ (IA là tiếp tuyến của đường tròn O)
Suy ra IAOC là tứ giác nội tiếp.
Do đó I, A, O, C thuộc một đường tròn (đpcm)

Tiếp tuyến tại C cắt AM tại I.

b) Ta có:
điểm I cách đều hai điểm A và C (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
điểm O cách đều hai điểm A và C (vì OA = OC = R)
Suy ra I và O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (theo định lí đảo về đường trung trực của đoạn thẳng)
Do đó IO $\perp$ AC (đpcm)
➤ Xem lại tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

c) Tam giác AOC cân tại O có đường cao OE vừa là trung tuyến nên EC = EB
Tam giác AIC cân tại I có đường trung trực ID nên DA = DC
Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC,
Suy ra DE = $\frac{1}{2}$AB = R (đpcm)

d) Ta có:
D là trung điểm của AC (cmt)
O là trung điểm của AB (1)
Nên OD là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra OD // BC hay OI // MB (2)
Từ (1) và (2) suy ra I là trung điểm của MA (định lí 1 đường trung bình của tam giác)
Nên MA = 2IA
Xét hai tam giác MAB và MCA có:
$\widehat{M}$ chung
$\widehat{MAC}$ = $\widehat{MBA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó $\Delta$ MAB $\sim$ $\Delta$ MCA
Suy ra $\frac{MA}{MC}$ = $\frac{MB}{MA}$
=> $MA^2$ = MC.MB
<=> $(2IA)^2$ = MC.MB (vì MA = 2IA cmt)
<=> 4$IA^2$ = MC.MB
<=> 4$IC^2$ = MC.MB (IA = IC)
<=> $IC^2$ = $\frac{1}{4}$MC.MB (đpcm)
➤ Xem lại đường trung bình của tam giác, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Bài 2 giải hệ phương trình
96/x+y + 96/x-y = 14
96/x+y + 72/x-y = 24/y
Bài giải:
$\left\{\begin{matrix}\frac{96}{x + y} + \frac{96}{x - y} = 14 (1)\\ \frac{96}{x + y} + \frac{72}{x - y} =  \frac{24}{y} (2) \end{matrix}\right.$
Ta có (2) <=> $\frac{96}{x + y}$ + $\frac{72}{x - y}$ + $\frac{24}{x - y}$  =  $\frac{24}{y}$ + $\frac{24}{x - y}$
<=> $\frac{96}{x + y}$ + $\frac{96}{x + y}$ = $\frac{24}{y}$ + $\frac{24}{x - y}$
<=> $\frac{96(x - y) + 96(x + y)}{(x + y)(x - y)}$ = $\frac{24(x - y) + 24y}{y(x - y)}$
<=> $\frac{96(x - y + x + y)}{(x + y)(x - y)}$ = $\frac{24x - 24y + 24y}{y(x - y)}$
<=> $\frac{96.2x}{(x + y)(x - y)}$ = $\frac{24x }{y(x - y)}$
<=> $\frac{4.2}{x + y}$ = $\frac{1}{y}$
<=> 8y = x + y <=> x = 7y (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
$\frac{96}{8y}$ + $\frac{96}{6y}$ = 14 <=> $\frac{12}{y}$ + $\frac{16}{y}$ = 14 <=> $\frac{28}{y}$ = 14 <=> y = 2
Thay y = 2 vào (3) ta được: x = 14
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left\{\begin{matrix}x = 14 \\ y = 2 \end{matrix}\right.$


Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.

• [Toán 8] Chứng minh tứ giác BB''CC'' là hình thang.Ngày 11/9/2018 bạn có nickname Đepchat gửi bài toán: Cho tam giác ABC. Trên tia AC lấy điểm B'&
• [Toán 8] Tính chiều cao của ống khói. Ngày 1/4/2018 bạn Tam Nguyen yêu cầu bài toán: Một ống khói của nhà máy có bóng trên mặt đất là 36
• [Toán 8] Chứng minh AECB là hình thang vuông.Ngày 13/9/2018 bạn Dang Dang gửi bài toán:Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC bằng 2cm. Ở phía ngo
• [Toán 9] Giải các phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$Ngày 5/8/2018 bạn Nguyễn Hân gửi bài toán giải các phương trình sau: 1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x
• [Toán 9] Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosCNgày 4/10/2018 bạn Anh Tran gửi bài toán: Cho tam giác ABC nhọn a) Chứng minh $\frac{BC}{sinA}$ = $
• Hai đường thẳng Mz và Ny có song song với nhau hay không.Ngày 2/8/2018 bạn có nickname Toikhongbiet yêu cầu bài tập bổ sung 4.3 trong bài hai đường thẳng so