[Toán 8] Chứng minh tứ giác DHME là hình thang cân.
Ngày 15/12/2017 bạn Ánh Nhung gửi bài toán.
Bài 1. phân tích đa thức thành nhân tử x^2 + x - 2017.2018
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có trung tuyến AM. Vẽ MD vuông góc với AB tại D, vẽ ME vuông góc với AC tại E.
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b) Gọi N là điểm đối xứng với M qua E. Chứng minh tứ giác ABMN là hình bình hành.
c) Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh tứ giác DHME là hình thang cân.
d) Chứng minh $AH^2$ = BH.CH
Trả lời cho bạn:
Bài 1.
$x^2$ + x - 2017.2018
= $x^2$ + 2018x - 2017x - 2017.2018
= x(x + 2018) - 2017(x + 2018)
= (x + 2018)(x - 2017)
Bài 2.
Để giải bài này bạn ôn lại các kiến thức mà cô giáo đã dạy trên lớp về:
- Đường trung bình của tam giác.
- Hình thang, hình thang cân
- Hình bình hành
- Hình chữ nhật
a) Ta có:
$\widehat{EAD}$ = $90^0$ (vì tam giác ABC vuông tại A)
$\widehat{AEM}$ = $90^0$ (vì ME vuông góc với AC tại E)
$\widehat{ADM}$ = $90^0$ (vì MĐ vuông góc với AC tại D)
Tứ giác ADME có ba góc vuông nên ADME là hình chữ nhật (đpcm)
b) Ta có ME // AB (cùng vuông góc với AC)
Hay MN // AB (1)
Ta cũng có M là trung điểm của BC (vì AM là trưng tuyến)
Suy ra E là trung điểm của AC.
Khi đó ME sẽ là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó ME = $\frac{1}{2}$AB
Ta lại có ME = $\frac{1}{2}$MN (vì N đối xứng với M qua E)
Nên AB = MN (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABMN là hình bình hành (đpcm)
c) Ta có ME = AD (vì ADME là hình chữ nhật)
Mà ME = $\frac{1}{2}$AB (cmt)
Nên AD = $\frac{1}{2}$AB, tức D là trung điểm của AB
Nên DE là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra DE // BC hay DE // MN
Do đó tứ giác DHME là hình thang (3)
Xét tam giác AHB vuông tại H có D là trung điểm của AB nên
HD = $\frac{1}{2}$AB
Mà ME = $\frac{1}{2}$AB (cmt)
Suy ra HD = ME (4)
Từ (3) và (4) suy ra tứ giác DHME là hình thang cân (đpcm)
d) Xét hai tam giác HCA và HAB có
$\widehat{CHA}$ = $\widehat{AHB}$ = $90^0$
$\widehat{HCA}$ = $\widehat{HAB}$ (cùng phụ với góc B)
Dó đó $\Delta$ HCA $\sim$ $\Delta$ HAB
Suy ra $\frac{CH}{AH}$ = $\frac{AH}{BH}$
<=> $AH^2$ = BH.CH (đpcm).
➤ Trả lời câu hỏi bạn gửi ngày 23/2/2018
Cho a $\leq$ b. Chứng minh 2a - 3 $\leq$ 2b + 2
Trước khi giải, bạn xem lại một chút về:
- liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
- liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
Ta có a $\leq$ b
=> 2a $\leq$ 2b (nhân hai vế với 2)
=> 2a - 3 $\leq$ 2b - 3 (cộng hai vế với -3) (1)
Mặt khác ta có -3 < 2 (dĩ nhiên rồi)
=> 2b - 3 < 2b + 2 (cộng hai vế với 2b) (2)
Theo tính chất bắc cầu, từ (1) và (2) suy ra 2a - 3 $\leq$ 2b + 2 (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Bài 1. phân tích đa thức thành nhân tử x^2 + x - 2017.2018
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có trung tuyến AM. Vẽ MD vuông góc với AB tại D, vẽ ME vuông góc với AC tại E.
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b) Gọi N là điểm đối xứng với M qua E. Chứng minh tứ giác ABMN là hình bình hành.
c) Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh tứ giác DHME là hình thang cân.
d) Chứng minh $AH^2$ = BH.CH
Trả lời cho bạn:
Bài 1.
$x^2$ + x - 2017.2018
= $x^2$ + 2018x - 2017x - 2017.2018
= x(x + 2018) - 2017(x + 2018)
= (x + 2018)(x - 2017)
Bài 2.
Để giải bài này bạn ôn lại các kiến thức mà cô giáo đã dạy trên lớp về:
- Đường trung bình của tam giác.
- Hình thang, hình thang cân
- Hình bình hành
- Hình chữ nhật
a) Ta có:
$\widehat{EAD}$ = $90^0$ (vì tam giác ABC vuông tại A)
$\widehat{AEM}$ = $90^0$ (vì ME vuông góc với AC tại E)
$\widehat{ADM}$ = $90^0$ (vì MĐ vuông góc với AC tại D)
Tứ giác ADME có ba góc vuông nên ADME là hình chữ nhật (đpcm)
 |
| AM là trung tuyến của tam giác ABC. |
b) Ta có ME // AB (cùng vuông góc với AC)
Hay MN // AB (1)
Ta cũng có M là trung điểm của BC (vì AM là trưng tuyến)
Suy ra E là trung điểm của AC.
Khi đó ME sẽ là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó ME = $\frac{1}{2}$AB
Ta lại có ME = $\frac{1}{2}$MN (vì N đối xứng với M qua E)
Nên AB = MN (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABMN là hình bình hành (đpcm)
c) Ta có ME = AD (vì ADME là hình chữ nhật)
Mà ME = $\frac{1}{2}$AB (cmt)
Nên AD = $\frac{1}{2}$AB, tức D là trung điểm của AB
Nên DE là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra DE // BC hay DE // MN
Do đó tứ giác DHME là hình thang (3)
Xét tam giác AHB vuông tại H có D là trung điểm của AB nên
HD = $\frac{1}{2}$AB
Mà ME = $\frac{1}{2}$AB (cmt)
Suy ra HD = ME (4)
Từ (3) và (4) suy ra tứ giác DHME là hình thang cân (đpcm)
d) Xét hai tam giác HCA và HAB có
$\widehat{CHA}$ = $\widehat{AHB}$ = $90^0$
$\widehat{HCA}$ = $\widehat{HAB}$ (cùng phụ với góc B)
Dó đó $\Delta$ HCA $\sim$ $\Delta$ HAB
Suy ra $\frac{CH}{AH}$ = $\frac{AH}{BH}$
<=> $AH^2$ = BH.CH (đpcm).
➤ Trả lời câu hỏi bạn gửi ngày 23/2/2018
Cho a $\leq$ b. Chứng minh 2a - 3 $\leq$ 2b + 2
Trước khi giải, bạn xem lại một chút về:
- liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
- liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
Ta có a $\leq$ b
=> 2a $\leq$ 2b (nhân hai vế với 2)
=> 2a - 3 $\leq$ 2b - 3 (cộng hai vế với -3) (1)
Mặt khác ta có -3 < 2 (dĩ nhiên rồi)
=> 2b - 3 < 2b + 2 (cộng hai vế với 2b) (2)
Theo tính chất bắc cầu, từ (1) và (2) suy ra 2a - 3 $\leq$ 2b + 2 (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon