[Toán 8] Chứng minh rằng.
Ngày 10/12/2017 bạn Trúc Trần gửi bài toán lớp 8.
Cho $\frac{a}{b + c}$ + $\frac{b}{c +a}$ + $\frac{c}{a + b}$ = 1. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ = 0
Trả lời cho bạn:
Ta có: $\frac{a}{b + c}$ + $\frac{b}{c + a}$ + $\frac{c}{a + b}$ = 1 (*)
Với a $\neq$ 0, b $\neq$ 0, c $\neq$ 0, thì:
(*) <=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{ab}{c + a}$ + $\frac{ac}{a + b}$ = a (nhân 2 vế với a) (1)
(*) <=> $\frac{ab}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{bc}{a + b}$ = b (nhân 2 vế với b) (2)
(*) <=> $\frac{ac}{b + c}$ + $\frac{bc}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ = c (nhân 2 vế với c) (3)
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được:
$\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{ab}{c + a}$ + $\frac{ac}{a + b}$ + $\frac{ab}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{bc}{a + b}$ + $\frac{ac}{b + c}$ + $\frac{bc}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ = a + b + c
<=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ + $\frac{ab}{c + a}$ + $\frac{bc}{c + a}$ + $\frac{ac}{a + b}$ + $\frac{bc}{a + b}$ + $\frac{ab}{b + c}$ + $\frac{ac}{b + c}$ = a + b + c
<=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ + $\frac{ab + bc}{c + a}$ + $\frac{ac + bc}{a + b}$ + $\frac{ab + ac}{b + c}$ = a + b + c
<=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ + $\frac{b(a + c)}{c + a}$ + $\frac{c(a + b)}{a + b}$ + $\frac{a(b + c)}{b + c}$ = a + b + c
<=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ + b + c + a = a + b + c
<=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ = 0 (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho $\frac{a}{b + c}$ + $\frac{b}{c +a}$ + $\frac{c}{a + b}$ = 1. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ = 0
Trả lời cho bạn:
Ta có: $\frac{a}{b + c}$ + $\frac{b}{c + a}$ + $\frac{c}{a + b}$ = 1 (*)
Với a $\neq$ 0, b $\neq$ 0, c $\neq$ 0, thì:
(*) <=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{ab}{c + a}$ + $\frac{ac}{a + b}$ = a (nhân 2 vế với a) (1)
(*) <=> $\frac{ab}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{bc}{a + b}$ = b (nhân 2 vế với b) (2)
(*) <=> $\frac{ac}{b + c}$ + $\frac{bc}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ = c (nhân 2 vế với c) (3)
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được:
$\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{ab}{c + a}$ + $\frac{ac}{a + b}$ + $\frac{ab}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{bc}{a + b}$ + $\frac{ac}{b + c}$ + $\frac{bc}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ = a + b + c
<=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ + $\frac{ab}{c + a}$ + $\frac{bc}{c + a}$ + $\frac{ac}{a + b}$ + $\frac{bc}{a + b}$ + $\frac{ab}{b + c}$ + $\frac{ac}{b + c}$ = a + b + c
<=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ + $\frac{ab + bc}{c + a}$ + $\frac{ac + bc}{a + b}$ + $\frac{ab + ac}{b + c}$ = a + b + c
<=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ + $\frac{b(a + c)}{c + a}$ + $\frac{c(a + b)}{a + b}$ + $\frac{a(b + c)}{b + c}$ = a + b + c
<=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ + b + c + a = a + b + c
<=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{c + a}$ + $\frac{c^2}{a + b}$ = 0 (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon