[Toán 9] Giải phương trình căn.
Ngày 20/7/2017 bạn Sarah Huyền gửi yêu cầu
Giải các phương trình sau:
Bài 1: x - $\sqrt{2x + 3}$ = 0
Bài 2: $\sqrt{x + 4}$ - $\sqrt{1 - x}$ = $\sqrt{1 - 2x}$
Bài 3:
1) x + $\sqrt{x - 1}$ = 13 2) 3$\sqrt{x + 34}$ - 3$\sqrt{x - 3}$ = 1
3) $\sqrt{2x + 5}$ - $\sqrt{3x - 5}$ = 2 4) $\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 4}}$ = x + 1
Bài 4:
1) $\sqrt{x^2 + 2x + 1}$ = 5 2) $\sqrt{x - 4\sqrt{x} + 4}$ = 3
3) $\sqrt{x^2 - 6x + 9}$ = 2x - 1 4) $\sqrt{x + 4\sqrt{x} + 4}$ = 5x + 2
Gợi ý trả lời cho bạn:
Bài 1: x - $\sqrt{2x + 3}$ = 0
<=> $\sqrt{2x + 3}$ = x <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ 2x + 3 = x^2 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ x^2 -2x - 3 = 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ 2x + 3 = x^2 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ x^2 - 1 - 2x - 2 = 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ (x - 1)(x + 1) - 2(x + 1) = 0 \end{cases}$
<=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ (x + 1)(x - 1 - 2) = 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ \left[ \,\begin{matrix}x + 1 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{matrix}\right. \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ \left[ \,\begin{matrix}x = -1 \\ x = 3 \end{matrix}\right. \end{cases}$ <=> x = 3
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
Bài 2: $\sqrt{x + 4}$ - $\sqrt{1 - x}$ = $\sqrt{1 - 2x}$ (1)
Điều kiện:
$\begin{cases}x + 4 \geq 0 \\ 1 - x \geq 0 \\ 1 - 2x \geq 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq -4 \\ x \leq 1 \\ x \leq \frac{1}{2} \end{cases}$ <=> -4 $\leq$ x $\leq$ $\frac{1}{2}$
(1) <=> $\sqrt{1 - x}$ + $\sqrt{1 - 2x}$ = $\sqrt{x + 4}$
<=> $(\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - 2x})^2$ = $(\sqrt{x + 4})^2$
<=> 1 - x + 2$\sqrt{1 - x}$.$\sqrt{1 - 2x}$ + 1 - 2x = x + 4
<=> 2$\sqrt{(1 - x)(1 - 2x)}$ = x + 4 + 3x - 2
<=> 2$\sqrt{(1 - x)(1 - 2x)}$ = 4x + 2
<=> 2$\sqrt{(1 - x)(1 - 2x)}$ = 2(2x + 1)
<=> $\sqrt{(1 - x)(1 - 2x)}$ = 2x + 1
<=> $\begin{cases} 2x + 1 \geq 0 \\ (1 - x)(1 - 2x) = (2x + 1)^2 \end{cases}$
<=> $\begin{cases} x \geq \frac{-1}{2} \\ 1 - x -2x + 2x^2 = 4x^2 + 4x + 1 \end{cases}$
<=> $\begin{cases} x \geq \frac{-1}{2} \\ 2x^2 + 7x = 0 \end{cases}$
<=> $\begin{cases} x \geq \frac{-1}{2} \\ x(2x + 7) = 0 \end{cases}$
<=> $\begin{cases}x \geq \frac{-1}{2} \\ \left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ x = \frac{-7}{2} \end{matrix}\right. \end{cases}$ <=> x = 0
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
Bài 3:
1) x + $\sqrt{x - 1}$ = 13
Điều kiện:
x - 1 $\geq$ 0 <=> x $\geq$ 1
Ta có x + $\sqrt{x - 1}$ = 13 <=> x - 1 + $\sqrt{x - 1}$ - 12 = 0 (1)
Đặt t = $\sqrt{x - 1}$ với t $\geq$ 0
(1) <=> $t^2$ + t - 12 = 0. Giải phương trình ta được: $\begin{cases} t_1 = 3 \\ t_2 = -4 \,(loại) \end{cases}$
Vậy t = 3
<=> $\sqrt{x - 1}$ = 3 <=> x - 1 = 9 <=> x = 10 (thỏa mãn đk)
Vậy phương trình có nghiệm x = 10.
Bài 4:
1) $\sqrt{x^2 + 2x + 1}$ = 5
<=> $\sqrt{(x + 1)^2}$ = 5
<=> $(x + 1)^2$ = $5^2$
<=> x + 1 = 5 <=> x = 4.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 4.
☺ Những bài còn lại bạn làm tương tự nhé!
➤ Trả lời cho bạn Ánh Nhung bài tập bạn gửi ngày 23/9/2018
Giải phương trình:
$\sqrt{x + 1}$ + $\sqrt{x + 10}$ = $\sqrt{x + 2}$ + $\sqrt{x + 5}$ (1)
Trước hết ta tìm điều kiện của x:
$\begin{cases}x + 1 \geq 0\\x + 10 \geq 0\\ x + 2 \geq 0 \\x + 5 \geq 0\end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq -1\\x \geq -10\\ x \geq -2 \\x \geq -5\end{cases}$ <=> x $\geq$ -1 (2)
Khi đó bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:
x + 1 + 2$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ + x + 10 = x + 2 + 2$\sqrt{(x + 2)(x + 5)}$ + x + 5
<=> 11 + 2$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = 7 + 2$\sqrt{(x + 2)(x + 5)}$
<=> 4 + 2$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = 2$\sqrt{(x + 2)(x + 5)}$
<=> 2 + $\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = $\sqrt{(x + 2)(x + 5)}$ (3)
Với x $\geq$ -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được:
4 + 4$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ + (x + 1)(x + 10) = (x + 2)(x + 5)
<=> 4 + 4$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ + $x^2$ + x + 10x + 10 = $x^2$ + 2x + 5x + 10
<=> 4 + 4$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ + 11x = 7x
<=> 4 + 4$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = -4x
<=> 1 + $\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = -x
<=> $\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = -x - 1
Lúc này điều kiện là x $\leq$ -1 (4)
Đến đây kết hợp hai điều kiện (2) và (4):
$\begin{cases}x \geq -1\\x \leq -1\end{cases}$ ta tìm được x = -1
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = -1
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải các phương trình sau:
Bài 1: x - $\sqrt{2x + 3}$ = 0
Bài 2: $\sqrt{x + 4}$ - $\sqrt{1 - x}$ = $\sqrt{1 - 2x}$
Bài 3:
1) x + $\sqrt{x - 1}$ = 13 2) 3$\sqrt{x + 34}$ - 3$\sqrt{x - 3}$ = 1
3) $\sqrt{2x + 5}$ - $\sqrt{3x - 5}$ = 2 4) $\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 4}}$ = x + 1
Bài 4:
1) $\sqrt{x^2 + 2x + 1}$ = 5 2) $\sqrt{x - 4\sqrt{x} + 4}$ = 3
3) $\sqrt{x^2 - 6x + 9}$ = 2x - 1 4) $\sqrt{x + 4\sqrt{x} + 4}$ = 5x + 2
Gợi ý trả lời cho bạn:
Bài 1: x - $\sqrt{2x + 3}$ = 0
<=> $\sqrt{2x + 3}$ = x <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ 2x + 3 = x^2 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ x^2 -2x - 3 = 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ 2x + 3 = x^2 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ x^2 - 1 - 2x - 2 = 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ (x - 1)(x + 1) - 2(x + 1) = 0 \end{cases}$
<=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ (x + 1)(x - 1 - 2) = 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ \left[ \,\begin{matrix}x + 1 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{matrix}\right. \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ \left[ \,\begin{matrix}x = -1 \\ x = 3 \end{matrix}\right. \end{cases}$ <=> x = 3
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
Bài 2: $\sqrt{x + 4}$ - $\sqrt{1 - x}$ = $\sqrt{1 - 2x}$ (1)
Điều kiện:
$\begin{cases}x + 4 \geq 0 \\ 1 - x \geq 0 \\ 1 - 2x \geq 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq -4 \\ x \leq 1 \\ x \leq \frac{1}{2} \end{cases}$ <=> -4 $\leq$ x $\leq$ $\frac{1}{2}$
(1) <=> $\sqrt{1 - x}$ + $\sqrt{1 - 2x}$ = $\sqrt{x + 4}$
<=> $(\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - 2x})^2$ = $(\sqrt{x + 4})^2$
<=> 1 - x + 2$\sqrt{1 - x}$.$\sqrt{1 - 2x}$ + 1 - 2x = x + 4
<=> 2$\sqrt{(1 - x)(1 - 2x)}$ = x + 4 + 3x - 2
<=> 2$\sqrt{(1 - x)(1 - 2x)}$ = 4x + 2
<=> 2$\sqrt{(1 - x)(1 - 2x)}$ = 2(2x + 1)
<=> $\sqrt{(1 - x)(1 - 2x)}$ = 2x + 1
<=> $\begin{cases} 2x + 1 \geq 0 \\ (1 - x)(1 - 2x) = (2x + 1)^2 \end{cases}$
<=> $\begin{cases} x \geq \frac{-1}{2} \\ 1 - x -2x + 2x^2 = 4x^2 + 4x + 1 \end{cases}$
<=> $\begin{cases} x \geq \frac{-1}{2} \\ 2x^2 + 7x = 0 \end{cases}$
<=> $\begin{cases} x \geq \frac{-1}{2} \\ x(2x + 7) = 0 \end{cases}$
<=> $\begin{cases}x \geq \frac{-1}{2} \\ \left[ \,\begin{matrix}x = 0 \\ x = \frac{-7}{2} \end{matrix}\right. \end{cases}$ <=> x = 0
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
Bài 3:
1) x + $\sqrt{x - 1}$ = 13
Điều kiện:
x - 1 $\geq$ 0 <=> x $\geq$ 1
Ta có x + $\sqrt{x - 1}$ = 13 <=> x - 1 + $\sqrt{x - 1}$ - 12 = 0 (1)
Đặt t = $\sqrt{x - 1}$ với t $\geq$ 0
(1) <=> $t^2$ + t - 12 = 0. Giải phương trình ta được: $\begin{cases} t_1 = 3 \\ t_2 = -4 \,(loại) \end{cases}$
Vậy t = 3
<=> $\sqrt{x - 1}$ = 3 <=> x - 1 = 9 <=> x = 10 (thỏa mãn đk)
Vậy phương trình có nghiệm x = 10.
Bài 4:
1) $\sqrt{x^2 + 2x + 1}$ = 5
<=> $\sqrt{(x + 1)^2}$ = 5
<=> $(x + 1)^2$ = $5^2$
<=> x + 1 = 5 <=> x = 4.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 4.
☺ Những bài còn lại bạn làm tương tự nhé!
➤ Trả lời cho bạn Ánh Nhung bài tập bạn gửi ngày 23/9/2018
Giải phương trình:
$\sqrt{x + 1}$ + $\sqrt{x + 10}$ = $\sqrt{x + 2}$ + $\sqrt{x + 5}$ (1)
Trước hết ta tìm điều kiện của x:
$\begin{cases}x + 1 \geq 0\\x + 10 \geq 0\\ x + 2 \geq 0 \\x + 5 \geq 0\end{cases}$ <=> $\begin{cases}x \geq -1\\x \geq -10\\ x \geq -2 \\x \geq -5\end{cases}$ <=> x $\geq$ -1 (2)
Khi đó bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:
x + 1 + 2$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ + x + 10 = x + 2 + 2$\sqrt{(x + 2)(x + 5)}$ + x + 5
<=> 11 + 2$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = 7 + 2$\sqrt{(x + 2)(x + 5)}$
<=> 4 + 2$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = 2$\sqrt{(x + 2)(x + 5)}$
<=> 2 + $\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = $\sqrt{(x + 2)(x + 5)}$ (3)
Với x $\geq$ -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được:
4 + 4$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ + (x + 1)(x + 10) = (x + 2)(x + 5)
<=> 4 + 4$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ + $x^2$ + x + 10x + 10 = $x^2$ + 2x + 5x + 10
<=> 4 + 4$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ + 11x = 7x
<=> 4 + 4$\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = -4x
<=> 1 + $\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = -x
<=> $\sqrt{(x + 1)(x + 10)}$ = -x - 1
Lúc này điều kiện là x $\leq$ -1 (4)
Đến đây kết hợp hai điều kiện (2) và (4):
$\begin{cases}x \geq -1\\x \leq -1\end{cases}$ ta tìm được x = -1
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = -1
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon