[Toán 9] Viết các hệ thức lượng của tam giác AHC.
Ngày 22/7/2017 bạn Huy Phan yêu cầu bài tập
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC), đường cao AH, kẻ HK vuông góc với AB tại K, HI vuông góc với AC tại I
a) viết các hệ thức lượng của tam giác AHC
b) chứng minh: AK×AB=AI×AC
c) kẻ M là giao điểm của IK và BC. Chứng minh: MI×MK=MB×MC
Trả lời cho bạn: Trước hết ta xem lại một chút về các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
a) Các hệ thức lượng của tam giác AHC
Tam giác AHC vuông tại H với đường cao HI, nên ta có những hệ thức lượng như sau:
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền:
$AH^2$ = AC.AI
$CH^2$ = AC.CI
2. Hệ thức liên quan tới đường cao:
$HI^2$ = AI.CI
AH.CH = AC.HI
$\frac{1}{HI^2}$ = $\frac{1}{AH^2}$ + $\frac{1}{CH^2}$
b) Chứng minh: AK.AB = AI.AC.
Xét tam giác AHB vuông tại H với đường cao HK, ta có
$AH^2$ = AB.AK (1)
Ta cũng có $AH^2$ = AC.AI (2) (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC.)
Từ (1) và (2) suy ra AK.AB = AI.AC (đpcm)
c) Chứng minh: MI.MK = MB.MC
Xét hai tam giác AKI và ACB có
$\left.\begin{matrix} \widehat{A} chung\\ \frac{AK}{AC} = \frac{AI}{AB}\end{matrix}\right\}$ <=> $\Delta$ AKI $\sim$ $\Delta$ ACB
Suy ra $\widehat{AKI}$ = $\widehat{ACB}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{AKI}$ = $\widehat{MKB}$ (hai góc đối đỉnh)
Nên $\widehat{MKB}$ = $\widehat{ACB}$
Xét hai tam giác MKB và MCI có
$\left.\begin{matrix} \widehat{M} chung\\ \widehat{MKB} = \widehat{ACB} (cmt) \end{matrix}\right\}$ <=> $\Delta$ MKB $\sim$ $\Delta$ MCI
Suy ra $\frac{MK}{MC}$ = $\frac{MB}{MI}$ <=> MI.MK = MB.MC (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC), đường cao AH, kẻ HK vuông góc với AB tại K, HI vuông góc với AC tại I
a) viết các hệ thức lượng của tam giác AHC
b) chứng minh: AK×AB=AI×AC
c) kẻ M là giao điểm của IK và BC. Chứng minh: MI×MK=MB×MC
Trả lời cho bạn: Trước hết ta xem lại một chút về các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
a) Các hệ thức lượng của tam giác AHC
Tam giác AHC vuông tại H với đường cao HI, nên ta có những hệ thức lượng như sau:
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền:
$AH^2$ = AC.AI
$CH^2$ = AC.CI
2. Hệ thức liên quan tới đường cao:
$HI^2$ = AI.CI
AH.CH = AC.HI
$\frac{1}{HI^2}$ = $\frac{1}{AH^2}$ + $\frac{1}{CH^2}$
 |
| Tam giác ABC có ba góc nhọn. |
Xét tam giác AHB vuông tại H với đường cao HK, ta có
$AH^2$ = AB.AK (1)
Ta cũng có $AH^2$ = AC.AI (2) (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC.)
Từ (1) và (2) suy ra AK.AB = AI.AC (đpcm)
c) Chứng minh: MI.MK = MB.MC
Xét hai tam giác AKI và ACB có
$\left.\begin{matrix} \widehat{A} chung\\ \frac{AK}{AC} = \frac{AI}{AB}\end{matrix}\right\}$ <=> $\Delta$ AKI $\sim$ $\Delta$ ACB
Suy ra $\widehat{AKI}$ = $\widehat{ACB}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{AKI}$ = $\widehat{MKB}$ (hai góc đối đỉnh)
Nên $\widehat{MKB}$ = $\widehat{ACB}$
Xét hai tam giác MKB và MCI có
$\left.\begin{matrix} \widehat{M} chung\\ \widehat{MKB} = \widehat{ACB} (cmt) \end{matrix}\right\}$ <=> $\Delta$ MKB $\sim$ $\Delta$ MCI
Suy ra $\frac{MK}{MC}$ = $\frac{MB}{MI}$ <=> MI.MK = MB.MC (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon