Giải bài luyện tập dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
Với những dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn, không chỉ để xem xem một đường thẳng nào đó có là tiếp tuyến của đường tròn hay không mà còn làm được nhiều hơn thế nữa. Hãy cùng luyện tập để mở rộng sự hiểu biết xung quanh dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC.
Bài giải:
Trước hết, ta phân tích một chút. Theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn thì nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Như vậy, ta chỉ cần chứng minh CB vuông góc với một bán kính nào đó, à không, phải là bán kính OB của đường tròn (O) là có thể khẳng định CB chính là tiếp tuyến của đường tròn. Chắc chắn các bạn cũng có cùng suy nghĩ đó. Vậy còn chần chừ gì nữa, ta cùng chứng minh thôi:
Ta có AC là tiếp tuyến của (O) nên $\widehat{OAC}$ = $90^0$ (1)
Gọi E là giao điểm của AB và OC
Tam giác AOB có OA = OB (bán kính đường tròn)
Nên tam giác AOB cân tại O.
Đường cao OE của tam giác cân AOB cũng là phân giác. Nên $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$
Xét hai tam giác AOC và BOC có:
OA = OB = R
OC chung
$\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$
Do đó $\Delta$ AOC = $\Delta$ BOC
Suy ra $\widehat{OAC}$ = $\widehat{OBC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{OBC}$ = $90^0$, nghĩa là CB $\perp$ OB.
Do đó CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm)
b) Bán kính của đường tròn bằng 15, tức OA = 15cm
Ta có: OE $\perp$ AB
Suy ra EA = EB = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác AOE vuông tại E, ta có:
$OE^2$ = $OA^2$ - $AE^2$ = $15^2$ - $12^2$ = 225 - 144 = 81
=> OE = $\sqrt{81}$ = 9
Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền trong tam giác vuông AOC, ta có:
$OA^2$ = OC.OE => OC = $\frac{OA^2}{OE}$ = $\frac{15^2}{9}$ = 25
Vậy OC = 25 cm.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.
Bài giải:
a) Ta có:
MB = MC (vì OA $\perp$ BC tại M)
MO = MA (M là trung điểm của OA)
Tứ giác OCAB có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Mặt khác hình bình hành OCAB có hai đường chéo OA và BC vuông góc với nhau.
Nên tứ giác OCAB là hình thoi.
b) Ta có:
OB = BA = OA = R (vì OCAB là hình thoi)
Nên tam giác OBA đều.
Suy ra $\widehat{AOB}$ = $60^0$ hay $\widehat{EOB}$ = $60^0$
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác OBE, ta có:
tg $\widehat{EOB}$ = $\frac{BE}{OB}$ => BE = OB.tg $60^0$ = R$\sqrt{3}$
Vậy BE = R$\sqrt{3}$
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài tập 24 trang 111 sgk hình học 9 tập 1
Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC.
Bài giải:
Ta có AC là tiếp tuyến của (O) nên $\widehat{OAC}$ = $90^0$ (1)
Gọi E là giao điểm của AB và OC
Tam giác AOB có OA = OB (bán kính đường tròn)
Nên tam giác AOB cân tại O.
Đường cao OE của tam giác cân AOB cũng là phân giác. Nên $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$
Xét hai tam giác AOC và BOC có:
OA = OB = R
OC chung
$\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$
Do đó $\Delta$ AOC = $\Delta$ BOC
Suy ra $\widehat{OAC}$ = $\widehat{OBC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{OBC}$ = $90^0$, nghĩa là CB $\perp$ OB.
Do đó CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm)
 |
| CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) |
b) Bán kính của đường tròn bằng 15, tức OA = 15cm
Ta có: OE $\perp$ AB
Suy ra EA = EB = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác AOE vuông tại E, ta có:
$OE^2$ = $OA^2$ - $AE^2$ = $15^2$ - $12^2$ = 225 - 144 = 81
=> OE = $\sqrt{81}$ = 9
Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền trong tam giác vuông AOC, ta có:
$OA^2$ = OC.OE => OC = $\frac{OA^2}{OE}$ = $\frac{15^2}{9}$ = 25
Vậy OC = 25 cm.
Giải bài tập 25 trang 112 sgk hình học 9 tập 1
Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.
Bài giải:
a) Ta có:
MB = MC (vì OA $\perp$ BC tại M)
MO = MA (M là trung điểm của OA)
Tứ giác OCAB có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Mặt khác hình bình hành OCAB có hai đường chéo OA và BC vuông góc với nhau.
Nên tứ giác OCAB là hình thoi.
 |
| Tứ giác OCAB là hình thoi. |
OB = BA = OA = R (vì OCAB là hình thoi)
Nên tam giác OBA đều.
Suy ra $\widehat{AOB}$ = $60^0$ hay $\widehat{EOB}$ = $60^0$
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác OBE, ta có:
tg $\widehat{EOB}$ = $\frac{BE}{OB}$ => BE = OB.tg $60^0$ = R$\sqrt{3}$
Vậy BE = R$\sqrt{3}$
Xem bài trước: Giải bài tập dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon