[Toán 9] Giải phương trình chứa căn thức.
Giải phương trình chứa căn thức chưa bao giờ dễ dàng, đòi hỏi nhiều kỹ năng tính toán và biến đổi. Ngày 17/9/2016, bạn Đặng Ngọc đã gửi yêu cầu giải phương trình căn. Và để thực hiện, trước tiên cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn, sau đó sẽ dùng phương pháp bình phương hai vế.
Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{10(x - 3)}$ = $\sqrt{26}$ b) $\sqrt{3x^2}$ = x + 2
c) $\sqrt{x^2 + 6x + 9}$ = 3x - 6 d) $\sqrt{x^2 - 4x + 4}$ = 2x - 5
Bài giải cho bạn:
a) Điều kiện x - 3 $\geq$ 0 <=> x $\geq$ 3
Ta có: $\sqrt{10(x - 3)}$ = $\sqrt{26}$ <=> $(\sqrt{10(x - 3)})^2$ = $(\sqrt{26})^2$
<=> 10(x - 3) = 26 <=> 10x - 30 = 26 <=> 10x = 56 <=> x = 5,6 (thỏa mãn đk)
Vậy x = 5,6 là nghiệm của phương trình.
b) Điều kiện x $\geq$ 0
Ta có: $\sqrt{3x^2}$ = x + 2 <=> 3$x^2$ = $(x + 2)^2$ <=> 3$x^2$ = $x^2$ + 4x + 4
<=> 2$x^2$ - 4x - 4 = 0 <=> $x^2$ - 2x - 2 = 0 (1)
$\Delta'$ = $(-1)^2$ - 1.(-2) = 3 => $\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{3}$
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
$x_1$ = 1 + $\sqrt{3}$ và $x_2$ = 1 - $\sqrt{3}$
Nghiệm $x_2$ = 1 - $\sqrt{3}$ không thỏa mãn đk nên loại
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1 + $\sqrt{3}$
c) Điều kiện $x^2$ + 6x + 9 $\geq$ 0 <=> $(x + 3)^2$ $\geq$ 0 <=> x $\in$ R
Ta có: $\sqrt{x^2 + 6x + 9}$ = 3x - 6 <=> $x^2$ + 6x + 9 = $(3x - 6)^2$
<=> $x^2$ + 6x + 9 = 9$x^2$ - 36x + 36 <=> 8$x^2$ - 42x + 27 = 0 (2)
$\Delta'$ = $(-21)^2$ - 8.27 = 225 => $\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{225}$ = 15
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
$x_1$ = $\frac{-b' + \sqrt{\Delta}}{a}$ = $\frac{21 + 15}{8}$ = 4,5; $x_2$ = $\frac{-b' - \sqrt{\Delta}}{a}$ = $\frac{21 - 15}{8}$ = 0,75
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1$ = 4,5 và $x_2$ = 0,75
d) Điều kiện $x^2$ - 4x + 4 $\geq$ 0 <=> $(x - 2)^2$ $\geq$ 0 với mọi x.
Ta có: $\sqrt{x^2 - 4x + 4}$ = 2x - 5 <=> $x^2$ - 4x + 4 = $(2x - 5)^2$
<=> $x^2$ - 4x + 4 = 4$x^2$ - 20x + 25 <=> 3$x^2$ - 16x + 21 = 0 (3)
$\Delta'$ = $(-8)^2$ - 3.21 = 1 => $\sqrt{\Delta'}$ = 1
Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt:
$x_1$ = $\frac{-b' + \sqrt{\Delta}}{a}$ = $\frac{8 + 1}{3}$ = 1; $x_2$ = $\frac{-b' - \sqrt{\Delta}}{a}$ = $\frac{8 - 1}{3}$ = $\frac{7}{3}$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{7}{3}$.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{10(x - 3)}$ = $\sqrt{26}$ b) $\sqrt{3x^2}$ = x + 2
c) $\sqrt{x^2 + 6x + 9}$ = 3x - 6 d) $\sqrt{x^2 - 4x + 4}$ = 2x - 5
Bài giải cho bạn:
a) Điều kiện x - 3 $\geq$ 0 <=> x $\geq$ 3
Ta có: $\sqrt{10(x - 3)}$ = $\sqrt{26}$ <=> $(\sqrt{10(x - 3)})^2$ = $(\sqrt{26})^2$
<=> 10(x - 3) = 26 <=> 10x - 30 = 26 <=> 10x = 56 <=> x = 5,6 (thỏa mãn đk)
Vậy x = 5,6 là nghiệm của phương trình.
b) Điều kiện x $\geq$ 0
Ta có: $\sqrt{3x^2}$ = x + 2 <=> 3$x^2$ = $(x + 2)^2$ <=> 3$x^2$ = $x^2$ + 4x + 4
<=> 2$x^2$ - 4x - 4 = 0 <=> $x^2$ - 2x - 2 = 0 (1)
$\Delta'$ = $(-1)^2$ - 1.(-2) = 3 => $\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{3}$
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
$x_1$ = 1 + $\sqrt{3}$ và $x_2$ = 1 - $\sqrt{3}$
Nghiệm $x_2$ = 1 - $\sqrt{3}$ không thỏa mãn đk nên loại
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1 + $\sqrt{3}$
c) Điều kiện $x^2$ + 6x + 9 $\geq$ 0 <=> $(x + 3)^2$ $\geq$ 0 <=> x $\in$ R
Ta có: $\sqrt{x^2 + 6x + 9}$ = 3x - 6 <=> $x^2$ + 6x + 9 = $(3x - 6)^2$
<=> $x^2$ + 6x + 9 = 9$x^2$ - 36x + 36 <=> 8$x^2$ - 42x + 27 = 0 (2)
$\Delta'$ = $(-21)^2$ - 8.27 = 225 => $\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{225}$ = 15
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
$x_1$ = $\frac{-b' + \sqrt{\Delta}}{a}$ = $\frac{21 + 15}{8}$ = 4,5; $x_2$ = $\frac{-b' - \sqrt{\Delta}}{a}$ = $\frac{21 - 15}{8}$ = 0,75
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1$ = 4,5 và $x_2$ = 0,75
d) Điều kiện $x^2$ - 4x + 4 $\geq$ 0 <=> $(x - 2)^2$ $\geq$ 0 với mọi x.
Ta có: $\sqrt{x^2 - 4x + 4}$ = 2x - 5 <=> $x^2$ - 4x + 4 = $(2x - 5)^2$
<=> $x^2$ - 4x + 4 = 4$x^2$ - 20x + 25 <=> 3$x^2$ - 16x + 21 = 0 (3)
$\Delta'$ = $(-8)^2$ - 3.21 = 1 => $\sqrt{\Delta'}$ = 1
Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt:
$x_1$ = $\frac{-b' + \sqrt{\Delta}}{a}$ = $\frac{8 + 1}{3}$ = 1; $x_2$ = $\frac{-b' - \sqrt{\Delta}}{a}$ = $\frac{8 - 1}{3}$ = $\frac{7}{3}$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{7}{3}$.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon