[Toán 6] Chứng minh dựa vào dấu hiệu chia hết.
Ngày 25/9/2016, bạn Tun Sky gửi câu hỏi yêu cầu chứng minh. Nhận định ban đầu khi giải bài toán của bạn là chứng minh dựa vào dấu hiệu chia hết. Với dạng toán này, có nhiều cách chứng minh tùy từng bài toán, nhưng nhìn chung ta sẽ dùng một số phương pháp sau:
1. Sử dụng các dấu hiệu chia hết
2. Muốn chứng minh A chia hết cho b (b $\neq$ 0), ta biểu diễn A = b.k trong đó k $\in$ N
3. Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng: Nếu a $\pm$ b $\vdots$ m và a $\vdots$ m thì b $\vdots$ m
4. Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (chẳng hạn chứa n) chia hết cho b (b $\neq$ 0), ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho b.
5. Để chứng minh A chia hết cho b, ta biểu diễn b dưới dạng b = m.n. Khi đó:
- Nếu (m, n) = 1 thì tìm cách chứng minh A $\vdots$ m và A $\vdots$ n,
rồi suy ra A $\vdots$ m.n, nghĩa là A $\vdots$ b
- Nếu (m, n) $\neq$ 1, ta biểu diễn A = $a_1$.$a_2$ rồi tìm cách chứng minh $a_1$ $\vdots$ m và $a_2$ $\vdots$ n suy ra tích $a_1$.$a_2$ $\vdots$ m.n, nghĩa là A $\vdots$ b.
Sau đây là nội dung câu hỏi và những gợi ý trả lời cho bạn.
b) n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2 và 3
c) n.(n + 1).(2n + 1) chia hết cho 2 và 3
Trả lời:
Áp dụng phương pháp 1 và 2 nêu trên, ta chứng minh như sau:
a) (n + 10).(n + 15) chia hết cho 2
- Khi n là số chẵn => n = 2k (k $\in$ N)
Ta có (n + 10).(n + 15) = (2k + 10).(2k + 15) = 2(k + 10).(2k + 15) tích này chia hết cho 2
- Khi n là số lẽ => n = 2k + 1 (k $\in$ N)
Ta có (n + 10).(n + 15) = (2k + 1 + 10).(2k + 1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(k + 8)(2k + 11) tích này chia hết cho 2
Vậy (n + 10).(n + 15) chia hết cho 2 (đpcm)
b) n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2 và 3
Đặt A = n.(n + 1).(n + 2)
- Ta có n là số tự nhiên nên n, (n + 1), (n + 2) là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Trong đó có ít nhất một số chẵn nên tích n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2
- Ta lại có ba số tự nhiên liên tiếp khi chia mỗi số cho 3 sẽ có số dư là 0, 1, 2. Nghĩa là n = 3k, n = 3k + 1 và n = 3k + 2 (k $\in$ N)
+ Khi n = 3k => A = 3k(3k + 1)(3k + 2) tích này chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (1)
+ Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3) = 3(k + 1)(3k + 1)(3k + 2) tích này chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (2)
+ Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) = 3(k + 1)(3k + 2)(3k + 4) tích này chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A chia hết cho 3
Vậy n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2 và 3 (đpcm)
c) n.(n + 1).(2n + 1) chia hết cho 2 và 3
Ta có n.(n + 1).(2n + 1)
= n(n + 1)(n + n + 2 - 1)
= n(n + 1)[(n + 2) + (n -1)]
= n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n -1)
Tích n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và 3 (cmt)
Tương tự (n -1), n, (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên theo cmt tích n(n + 1)(n -1) chia hết cho 2 và 3
Suy ra tổng n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n -1) chia hết cho 2 và 3
Vậy n.(n + 1).(2n + 1) chia hết cho 2 và 3 (đpcm)
Ta có $\overline{abcdeg}$ = 1000$\overline{abc}$ + $\overline{deg}$
Mà theo đề $\overline{abc}$ = 2$\overline{deg}$
Nên $\overline{abcdeg}$ = 1000$\overline{abc}$ + $\overline{deg}$ = 2000$\overline{deg}$ + $\overline{deg}$ = 2001$\overline{deg}$
Vì 2001 chia hết cho 23 và 29 nên 2001$\overline{deg}$ chia hết cho 23 và 29.
Suy ra $\overline{abcdeg}$ chia hết cho 23 và 29 (đpcm)
Ta có:
$\overline{abcdeg}$ = 10000$\overline{ab}$ + 100$\overline{cd}$ + $\overline{eg}$
= 9999$\overline{ab}$ + $\overline{ab}$ + 99$\overline{cd}$ + $\overline{cd}$ + $\overline{eg}$
= 9999$\overline{ab}$ + 99$\overline{cd}$ + ($\overline{ab}$ + $\overline{cd}$ + $\overline{eg}$)
Theo giả thiết ($\overline{ab}$ + $\overline{cd}$ + $\overline{eg}$) $\vdots$ 11
Mặt khác 9999 $\vdots$ 11 và 99 $\vdots$ 11
Suy ra $\overline{abcdeg}$ $\vdots$ 11 (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
1. Sử dụng các dấu hiệu chia hết
2. Muốn chứng minh A chia hết cho b (b $\neq$ 0), ta biểu diễn A = b.k trong đó k $\in$ N
3. Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng: Nếu a $\pm$ b $\vdots$ m và a $\vdots$ m thì b $\vdots$ m
4. Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (chẳng hạn chứa n) chia hết cho b (b $\neq$ 0), ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho b.
5. Để chứng minh A chia hết cho b, ta biểu diễn b dưới dạng b = m.n. Khi đó:
- Nếu (m, n) = 1 thì tìm cách chứng minh A $\vdots$ m và A $\vdots$ n,
rồi suy ra A $\vdots$ m.n, nghĩa là A $\vdots$ b
- Nếu (m, n) $\neq$ 1, ta biểu diễn A = $a_1$.$a_2$ rồi tìm cách chứng minh $a_1$ $\vdots$ m và $a_2$ $\vdots$ n suy ra tích $a_1$.$a_2$ $\vdots$ m.n, nghĩa là A $\vdots$ b.
Sau đây là nội dung câu hỏi và những gợi ý trả lời cho bạn.
Bài 1 Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
a) (n + 10).(n + 15) chia hết cho 2b) n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2 và 3
c) n.(n + 1).(2n + 1) chia hết cho 2 và 3
Trả lời:
Áp dụng phương pháp 1 và 2 nêu trên, ta chứng minh như sau:
a) (n + 10).(n + 15) chia hết cho 2
- Khi n là số chẵn => n = 2k (k $\in$ N)
Ta có (n + 10).(n + 15) = (2k + 10).(2k + 15) = 2(k + 10).(2k + 15) tích này chia hết cho 2
- Khi n là số lẽ => n = 2k + 1 (k $\in$ N)
Ta có (n + 10).(n + 15) = (2k + 1 + 10).(2k + 1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(k + 8)(2k + 11) tích này chia hết cho 2
Vậy (n + 10).(n + 15) chia hết cho 2 (đpcm)
b) n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2 và 3
Đặt A = n.(n + 1).(n + 2)
- Ta có n là số tự nhiên nên n, (n + 1), (n + 2) là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Trong đó có ít nhất một số chẵn nên tích n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2
- Ta lại có ba số tự nhiên liên tiếp khi chia mỗi số cho 3 sẽ có số dư là 0, 1, 2. Nghĩa là n = 3k, n = 3k + 1 và n = 3k + 2 (k $\in$ N)
+ Khi n = 3k => A = 3k(3k + 1)(3k + 2) tích này chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (1)
+ Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3) = 3(k + 1)(3k + 1)(3k + 2) tích này chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (2)
+ Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) = 3(k + 1)(3k + 2)(3k + 4) tích này chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A chia hết cho 3
Vậy n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 2 và 3 (đpcm)
c) n.(n + 1).(2n + 1) chia hết cho 2 và 3
Ta có n.(n + 1).(2n + 1)
= n(n + 1)(n + n + 2 - 1)
= n(n + 1)[(n + 2) + (n -1)]
= n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n -1)
Tích n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và 3 (cmt)
Tương tự (n -1), n, (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên theo cmt tích n(n + 1)(n -1) chia hết cho 2 và 3
Suy ra tổng n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n -1) chia hết cho 2 và 3
Vậy n.(n + 1).(2n + 1) chia hết cho 2 và 3 (đpcm)
Bài 2. Chứng minh $\overline{abcdeg}$ chia hết cho 23 và 29 biết rằng $\overline{abc}$ = 2.$\overline{deg}$
Trả lời:Ta có $\overline{abcdeg}$ = 1000$\overline{abc}$ + $\overline{deg}$
Mà theo đề $\overline{abc}$ = 2$\overline{deg}$
Nên $\overline{abcdeg}$ = 1000$\overline{abc}$ + $\overline{deg}$ = 2000$\overline{deg}$ + $\overline{deg}$ = 2001$\overline{deg}$
Vì 2001 chia hết cho 23 và 29 nên 2001$\overline{deg}$ chia hết cho 23 và 29.
Suy ra $\overline{abcdeg}$ chia hết cho 23 và 29 (đpcm)
Bài 3 Chứng minh rằng nếu ($\overline{ab}$ + $\overline{cd}$ + $\overline{eg}$) $\vdots$ 11 thì $\overline{abcdeg}$ $\vdots$ 11
Trả lời:Ta có:
$\overline{abcdeg}$ = 10000$\overline{ab}$ + 100$\overline{cd}$ + $\overline{eg}$
= 9999$\overline{ab}$ + $\overline{ab}$ + 99$\overline{cd}$ + $\overline{cd}$ + $\overline{eg}$
= 9999$\overline{ab}$ + 99$\overline{cd}$ + ($\overline{ab}$ + $\overline{cd}$ + $\overline{eg}$)
Theo giả thiết ($\overline{ab}$ + $\overline{cd}$ + $\overline{eg}$) $\vdots$ 11
Mặt khác 9999 $\vdots$ 11 và 99 $\vdots$ 11
Suy ra $\overline{abcdeg}$ $\vdots$ 11 (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon