Giải bài tập diện tích hình thoi.
Nếu một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi thì hình nào có diện tích lớn hơn? Câu hỏi thật là thú vị! Cùng nhau giải bài tập diện tích hình thoi ta sẽ có câu trả lời cho những câu hỏi thú vị đó.
b) Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d.
Bài giải:
a) ➤ Vẽ tứ giác.
- Vẽ đoạn thẳng AC = 6cm.
- Lấy điểm H thuộc AC. Qua H vẽ đường thẳng d vuông góc với AC.
- Lấy hai điểm B, D trên đường thẳng d sao cho B, D thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AC và BD = 3,6cm.
- Tứ giác ABCD là tứ giác cần vẽ.
Bằng cách dời vị trí của đoạn BD trên AC, ta có thể vẽ được vô số tứ giác như vậy.
➤ Tính diện tích tứ giác ABCD.
Ta có $S_{ABCD}$ = $S_{\Delta ABC}$ + $S_{\Delta ACD}$
<=> $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AC.BH + $\frac{1}{2}$AC.DH
<=> $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AC.(BH + DH)
<=> $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AC.BD
<=> $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$6.3,6
<=> $S_{ABCD}$ = 10,8 $cm^2$
b) Ta biết hình vuông là tứ giác có hai đường chéo vuông góc nên diện tích của hình vuông có đường chéo là d sẽ bằng:
S = $\frac{1}{2}$d.d = $\frac{1}{2}$$d^2$.
Bài giải:
Ta có ABCD là hình thoi cho trước. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O.
Vẽ hình chữ nhật AEFC có một cạnh là đường chéo AC và có diện tích bằng diện tích hình thoi ABCD.
Nếu một cạnh là đường chéo BD thì ta có hình chữ nhật BFKD như hình vẽ.
Ta có $\Delta$ OAB = $\Delta$ OCB = $\Delta$ OCD = $\Delta$ OAD = $\Delta$ EBA = $\Delta$ FBC (cạnh huyền-cạnh góc vuông.)
Khi đó:
$S_{ABCD}$ = $S_{\Delta OAB}$ + $S_{\Delta OCB}$ + $S_{\Delta OCD}$ + $S_{\Delta OAD}$
$S_{AEFC}$ = $S_{\Delta OAB}$ + $S_{\Delta OCB}$ + $S_{\Delta EBA}$ + $S_{\Delta FBC}$.
=> $S_{ABCD}$ = $S_{AEFC}$ = 4$S_{\Delta OAB}$
Mà 4$S_{\Delta OAB}$ = 4.$\frac{1}{2}$OA.OB = 2OA.OB = AC.OB = AC.$\frac{1}{2}$BD.
Do đó $S_{ABCD}$ = $S_{AEFC}$ = $\frac{1}{2}$.AC.BD.
Như vậy thông qua cách tính diện tích hình chữ nhật, ta suy ra được công thức tính diện tích hình thoi.
Bài giải:
Giả sử ta có hình chữ nhật ABCD với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Theo yêu cầu của đề ta sẽ
➤ Chứng minh MNPQ là hình thoi.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có:
MN = PQ = $\frac{AC}{2}$
NP = QM = $\frac{BD}{2}$
Mà AC = BD (hai đường chéo hình chữ nhật ABCD)
Do đó MN = NP = PQ = QM.
Suy ra MNPQ là hình thoi.
➤ So sánh diện tích của hình thoi và hình chữ nhật.
Ta có: $\Delta$ AMQ = $\Delta$ BMN = $\Delta$ CNP = $\Delta$ DPQ = $\Delta$ IMN = $\Delta$ INP = $\Delta$ IPQ = $\Delta$ IQM (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Khi đó:
$S_{MNPQ}$ = $S_{ABNQ}$ và $S_{MNPQ}$ = $S_{NQDC}$
Do đó $S_{ABCD}$ = $S_{ABNQ}$ + $S_{NQDC}$ = $S_{MNPQ}$ + $S_{MNPQ}$ = 2$S_{MNPQ}$.
Vậy diện tích hình chữ nhật bằng 2 lần diện tích hình thoi.
➤ Suy ra cách tính diện tích hình thoi.
Ta có: $S_{ABCD}$ = 2$S_{MNPQ}$.
=> $S_{MNPQ}$ = $\frac{1}{2}$$S_{ABCD}$
<=> $S_{MNPQ}$ = $\frac{1}{2}$AB.BC = $\frac{1}{2}$NQ.MP.
Như vậy diện tích hình thoi vẫn bằng nửa tích hai đường chéo.
Bài giải:
Giả sử ta có hình thoi ABCD với AB = 6cm, $\widehat{A}$ = $60^0$
Xét tam giác BAD có AB = AD và $\widehat{A}$ = $60^0$ nên BAD là tam giác đều.
=> BD = AB = 6cm.
ABCD là hình thoi nên ta có AC $\perp$ BD và IB = $\frac{1}{2}$BD = 3cm.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AIB, ta có:
$AB^2$ = $AI^2$ + $IB^2$
=> $AI^2$ = $AB^2$ - $IB^2$ = $6^2$ - $3^2$ = 36 - 9 = 27
=> AI = $\sqrt{27}$ = 3$\sqrt{3}$.
Ta có AC = 2AI = 2.3$\sqrt{3}$ = 6$\sqrt{3}$.
$S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AC.BD = $\frac{1}{2}$.6$\sqrt{3}$.6 = 18$\sqrt{3}$.
Vậy diện tích hình thoi ABCD bằng 18$\sqrt{3}$ $cm^2$.
Bài giải:
Giả sử ta có vuông ABCD với cạnh là a và hình thoi MNPQ cũng có cạnh là a (a > 0)
Khi đó $C_{ABCD}$ = $C_{MNPQ}$ = 4a.
Ta có diện tích hình vuông ABCD: $S_{ABCD}$ = $a^2$
Từ đỉnh M của hình thoi MNPQ vẽ đường cao MH với độ dài MH = h.
Ta có $S_{MNPQ}$ = 2$S_{\Delta QMP}$
<=> $S_{MNPQ}$ = 2$\frac{1}{2}$a.h = a.h
Trong tam giác QMP, ta có:
MH < MQ (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)
Khi đó h $\leq$ a
<=> a.h $\leq$ $a^2$ (nhân hai vế với a)
<=> $S_{MNPQ}$ $\leq$ $S_{ABCD}$.
Vậy khi có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn hơn diện tích hình thoi. Hai hình có diện tích bằng nhau khi hình thoi trở thành hình vuông. Lúc đó dấu "=" sẽ xảy ra.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 32 trang 128 sgk hình học 8 tập 1.
a) Hãy vẽ một tứ giác có độ dài hai đường chéo là 3,6cm, 6cm và hai đường chéo đó vuông góc với nhau. Có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác như vậy? Hãy tính diện tích mỗi tứ giác vừa vẽ.b) Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d.
Bài giải:
a) ➤ Vẽ tứ giác.
- Vẽ đoạn thẳng AC = 6cm.
- Lấy điểm H thuộc AC. Qua H vẽ đường thẳng d vuông góc với AC.
- Lấy hai điểm B, D trên đường thẳng d sao cho B, D thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AC và BD = 3,6cm.
- Tứ giác ABCD là tứ giác cần vẽ.
Bằng cách dời vị trí của đoạn BD trên AC, ta có thể vẽ được vô số tứ giác như vậy.
 |
| Tính diện tích tứ giác vừa vẽ. |
Ta có $S_{ABCD}$ = $S_{\Delta ABC}$ + $S_{\Delta ACD}$
<=> $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AC.BH + $\frac{1}{2}$AC.DH
<=> $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AC.(BH + DH)
<=> $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AC.BD
<=> $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$6.3,6
<=> $S_{ABCD}$ = 10,8 $cm^2$
b) Ta biết hình vuông là tứ giác có hai đường chéo vuông góc nên diện tích của hình vuông có đường chéo là d sẽ bằng:
S = $\frac{1}{2}$d.d = $\frac{1}{2}$$d^2$.
Giải bài 33 trang 128 sgk hình học 8 tập 1.
Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng đường chéo của hình thoi cho trước và có diện tích bằng diện tích của hình thoi đó. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.Bài giải:
 |
| Tính diện tích hình thoi. |
Ta có ABCD là hình thoi cho trước. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O.
Vẽ hình chữ nhật AEFC có một cạnh là đường chéo AC và có diện tích bằng diện tích hình thoi ABCD.
Nếu một cạnh là đường chéo BD thì ta có hình chữ nhật BFKD như hình vẽ.
Ta có $\Delta$ OAB = $\Delta$ OCB = $\Delta$ OCD = $\Delta$ OAD = $\Delta$ EBA = $\Delta$ FBC (cạnh huyền-cạnh góc vuông.)
Khi đó:
$S_{ABCD}$ = $S_{\Delta OAB}$ + $S_{\Delta OCB}$ + $S_{\Delta OCD}$ + $S_{\Delta OAD}$
$S_{AEFC}$ = $S_{\Delta OAB}$ + $S_{\Delta OCB}$ + $S_{\Delta EBA}$ + $S_{\Delta FBC}$.
=> $S_{ABCD}$ = $S_{AEFC}$ = 4$S_{\Delta OAB}$
Mà 4$S_{\Delta OAB}$ = 4.$\frac{1}{2}$OA.OB = 2OA.OB = AC.OB = AC.$\frac{1}{2}$BD.
Do đó $S_{ABCD}$ = $S_{AEFC}$ = $\frac{1}{2}$.AC.BD.
Như vậy thông qua cách tính diện tích hình chữ nhật, ta suy ra được công thức tính diện tích hình thoi.
Giải bài 34 trang 128 sgk hình học 8 tập 1.
Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật. Vì sao tứ giác này là một hình thoi? So sánh diện tích của hình thoi và hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.Bài giải:
Giả sử ta có hình chữ nhật ABCD với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Theo yêu cầu của đề ta sẽ
➤ Chứng minh MNPQ là hình thoi.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có:
MN = PQ = $\frac{AC}{2}$
NP = QM = $\frac{BD}{2}$
Mà AC = BD (hai đường chéo hình chữ nhật ABCD)
Do đó MN = NP = PQ = QM.
Suy ra MNPQ là hình thoi.
➤ So sánh diện tích của hình thoi và hình chữ nhật.
Ta có: $\Delta$ AMQ = $\Delta$ BMN = $\Delta$ CNP = $\Delta$ DPQ = $\Delta$ IMN = $\Delta$ INP = $\Delta$ IPQ = $\Delta$ IQM (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Khi đó:
$S_{MNPQ}$ = $S_{ABNQ}$ và $S_{MNPQ}$ = $S_{NQDC}$
Do đó $S_{ABCD}$ = $S_{ABNQ}$ + $S_{NQDC}$ = $S_{MNPQ}$ + $S_{MNPQ}$ = 2$S_{MNPQ}$.
Vậy diện tích hình chữ nhật bằng 2 lần diện tích hình thoi.
➤ Suy ra cách tính diện tích hình thoi.
Ta có: $S_{ABCD}$ = 2$S_{MNPQ}$.
=> $S_{MNPQ}$ = $\frac{1}{2}$$S_{ABCD}$
<=> $S_{MNPQ}$ = $\frac{1}{2}$AB.BC = $\frac{1}{2}$NQ.MP.
Như vậy diện tích hình thoi vẫn bằng nửa tích hai đường chéo.
Giải bài 35 trang 129 sgk hình học 8 tập 1.
Tính diện tích hình thoi có cạnh dài 6cm và một trong các góc của nó có số đo là $60^0$.Bài giải:
Giả sử ta có hình thoi ABCD với AB = 6cm, $\widehat{A}$ = $60^0$
Xét tam giác BAD có AB = AD và $\widehat{A}$ = $60^0$ nên BAD là tam giác đều.
=> BD = AB = 6cm.
ABCD là hình thoi nên ta có AC $\perp$ BD và IB = $\frac{1}{2}$BD = 3cm.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AIB, ta có:
$AB^2$ = $AI^2$ + $IB^2$
=> $AI^2$ = $AB^2$ - $IB^2$ = $6^2$ - $3^2$ = 36 - 9 = 27
=> AI = $\sqrt{27}$ = 3$\sqrt{3}$.
Ta có AC = 2AI = 2.3$\sqrt{3}$ = 6$\sqrt{3}$.
$S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AC.BD = $\frac{1}{2}$.6$\sqrt{3}$.6 = 18$\sqrt{3}$.
Vậy diện tích hình thoi ABCD bằng 18$\sqrt{3}$ $cm^2$.
Giải bài 36 trang 129 sgk hình học 8 tập 1.
Cho một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? Vì sao?Bài giải:
 |
| Hình nào có diện tích lớn hơn. |
Giả sử ta có vuông ABCD với cạnh là a và hình thoi MNPQ cũng có cạnh là a (a > 0)
Khi đó $C_{ABCD}$ = $C_{MNPQ}$ = 4a.
Ta có diện tích hình vuông ABCD: $S_{ABCD}$ = $a^2$
Từ đỉnh M của hình thoi MNPQ vẽ đường cao MH với độ dài MH = h.
Ta có $S_{MNPQ}$ = 2$S_{\Delta QMP}$
<=> $S_{MNPQ}$ = 2$\frac{1}{2}$a.h = a.h
Trong tam giác QMP, ta có:
MH < MQ (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)
Khi đó h $\leq$ a
<=> a.h $\leq$ $a^2$ (nhân hai vế với a)
<=> $S_{MNPQ}$ $\leq$ $S_{ABCD}$.
Vậy khi có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn hơn diện tích hình thoi. Hai hình có diện tích bằng nhau khi hình thoi trở thành hình vuông. Lúc đó dấu "=" sẽ xảy ra.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon