Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
Nói về góc với đường tròn, ta đã được làm quen với góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. Qua đó ta thấy thấp thoáng góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Các góc đó có đặc điểm gì, ta sẽ tìm hiểu ngay sau đây.
Nối B với D.
Theo định lí góc nội tiếp, ta có:
$\widehat{BDE}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀BnC
$\widehat{DBE}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmD
mà $\widehat{BEC}$ = $\widehat{BDE}$ + $\widehat{DBE}$ (góc ngoài của tam giác)
Do đó $\widehat{BEC}$ = $\frac{1}{2}$(sđ⁀BnC + sđ⁀AmD)
<=> $\widehat{BEC}$ = $\frac{sđ⁀BnC + sđ⁀AmD}{2}$ (đpcm)
- Góc BEC ở hình 33 có hai cạnh cắt đường tròn, hai cung bị chắn là hai cung nhỏ AD và BD.
- Góc BEC ở hình 34 có một cạnh là tiếp tuyến tại C và cạnh kia là cát tuyến, hai cung bị chắn là hai cung nhỏ AC và CB.
- Góc BEC ở hình 35 có hai cạnh là hai tiếp tuyến tại B và C, hai cung bị chắn là cung nhỏ BC và cung lớn BD
Như vậy, các góc đều có đặc điểm:
- đỉnh nằm ngoài đường tròn.
- các cạnh đều có 1 hoặc 2 điểm chung với đường tròn.
Những góc có đặc điểm như vậy được gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
Mỗi góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có hai cung bị chắn. Hai cung đó nằm bên trong góc.
Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn được xác định qua định lí:
1) Hai cạnh của góc là cát tuyến.
Nối AC. Khi đó ta có:
$\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACD}$ + $\widehat{BEC}$ (góc ngoài của tam giác AEC)
Mặt khác theo định lí góc nội tiếp, ta có:
$\widehat{BAC}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀BC
$\widehat{ACD}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AD
Khi đó $\widehat{BEC}$ = $\widehat{BAC}$ - $\widehat{ACD}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀BC - $\frac{1}{2}$sđ⁀AD
<=> $\widehat{BEC}$ = $\frac{sđ⁀BC - sđ⁀AD}{2}$.
2) Một cạnh của góc là tiếp tuyến, một cạnh là cát tuyến.
Ta có $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACE}$ + $\widehat{BEC}$ (góc ngoài của tam giác AEC)
=> $\widehat{BEC}$ = $\widehat{BAC}$ - $\widehat{ACE}$
Mặt khác ta có:
$\widehat{BAC}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀BC (định lí góc nội tiếp)
$\widehat{ACE}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AC (định lí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
Suy ra $\widehat{BEC}$ = $\frac{sđ⁀BC - sđ⁀AC}{2}$.
3) Hai cạnh của góc đều là tiếp tuyến.
Theo định lí góc giữa tiếp tuyến và dây cung, ta có:
$\widehat{xAC}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmC
$\widehat{ACE}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AnC
Ta có $\widehat{xAC}$ = $\widehat{ACE}$ + $\widehat{AEC}$ (góc ngoài của tam giác)
=> $\widehat{AEC}$ = $\widehat{xAC}$ - $\widehat{ACE}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmC - $\frac{1}{2}$sđ⁀AnC = $\frac{sđ⁀AmC - sđ⁀AnC}{2}$.
Vậy $\widehat{AEC}$ = $\frac{sđ⁀AmC - sđ⁀AnC}{2}$.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
Quan sát hình 32 ta thấy góc BEC có đỉnh E nằm bên trong đường tròn (O). Ta nói góc BEC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, dĩ nhiên rồi! |
| Hình 32 |
Người ta quy ước: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung, một cung nằm bên trong góc, cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của nó.
Theo đó, trên hình vẽ ta có góc BEC chắn cung BnC và cung DmA.
Một câu hỏi được đặt ra ở đây là góc ở tâm có phải là góc ở bên trong đường tròn không. Theo những gì ta đã biết về góc ở tâm, có thể khẳng định góc ở tâm là một góc có đỉnh bên trong đường tròn, nó chắn hai cung bằng nhau.
Xác định số đo của các cung BnC và DmA qua góc ở tâm tương ứng, rồi đo góc BEC. Ta nhận thấy số đo góc BEC bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn.
Đó là nội dung định lí góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
Định lí
Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.Chứng minh:
Nối B với D.
Theo định lí góc nội tiếp, ta có:
$\widehat{BDE}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀BnC
$\widehat{DBE}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmD
mà $\widehat{BEC}$ = $\widehat{BDE}$ + $\widehat{DBE}$ (góc ngoài của tam giác)
Do đó $\widehat{BEC}$ = $\frac{1}{2}$(sđ⁀BnC + sđ⁀AmD)
<=> $\widehat{BEC}$ = $\frac{sđ⁀BnC + sđ⁀AmD}{2}$ (đpcm)
Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
Quan sát hình vẽ 33, 34, 35, ta nhận thấy: |
| Hình 33 |
 |
| Hình 34 |
 |
| Hình 35 |
Như vậy, các góc đều có đặc điểm:
- đỉnh nằm ngoài đường tròn.
- các cạnh đều có 1 hoặc 2 điểm chung với đường tròn.
Những góc có đặc điểm như vậy được gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
Mỗi góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có hai cung bị chắn. Hai cung đó nằm bên trong góc.
Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn được xác định qua định lí:
Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.Chứng minh: Ta sẽ chứng minh định lí ở ba trường hợp
1) Hai cạnh của góc là cát tuyến.
 |
| Trường hợp 1 |
$\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACD}$ + $\widehat{BEC}$ (góc ngoài của tam giác AEC)
Mặt khác theo định lí góc nội tiếp, ta có:
$\widehat{BAC}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀BC
$\widehat{ACD}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AD
Khi đó $\widehat{BEC}$ = $\widehat{BAC}$ - $\widehat{ACD}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀BC - $\frac{1}{2}$sđ⁀AD
<=> $\widehat{BEC}$ = $\frac{sđ⁀BC - sđ⁀AD}{2}$.
2) Một cạnh của góc là tiếp tuyến, một cạnh là cát tuyến.
 |
| Trường hợp 2 |
=> $\widehat{BEC}$ = $\widehat{BAC}$ - $\widehat{ACE}$
Mặt khác ta có:
$\widehat{BAC}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀BC (định lí góc nội tiếp)
$\widehat{ACE}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AC (định lí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
Suy ra $\widehat{BEC}$ = $\frac{sđ⁀BC - sđ⁀AC}{2}$.
3) Hai cạnh của góc đều là tiếp tuyến.
 |
| Trường hợp 3. |
$\widehat{xAC}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmC
$\widehat{ACE}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AnC
Ta có $\widehat{xAC}$ = $\widehat{ACE}$ + $\widehat{AEC}$ (góc ngoài của tam giác)
=> $\widehat{AEC}$ = $\widehat{xAC}$ - $\widehat{ACE}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmC - $\frac{1}{2}$sđ⁀AnC = $\frac{sđ⁀AmC - sđ⁀AnC}{2}$.
Vậy $\widehat{AEC}$ = $\frac{sđ⁀AmC - sđ⁀AnC}{2}$.
1 nhận xét:
Bấm vào đây để nhận xétEmoticonEmoticon