Giải SBT những hằng đẳng thức đáng nhớ.
Những hằng đẳng thức đáng nhớ mà cô giáo đã dạy, cho đến nay, không chỉ đơn thuần là đáng nhớ mà là cần phải nhớ. Với "tầm quan trọng" của những hằng đẳng thức đáng nhớ, nhiều bạn băn khoăn không biết làm thế nào để thuộc các hằng đẳng thức đáng nhớ. Trong vô vàn các cách được đưa ra thì không có cách nào hiệu quả bằng việc giải thật nhiều bài tập liên quan. Và không phải tìm đâu xa, những bài tập về hằng đẳng thức trong SBT là nơi mà ta có thể "vùng vẫy" để tìm một nơi lưu giữ, ghi nhớ và khắc sâu 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
a) $(x + 2y)^2$ b) (x - 3y)(x + 3y) c) $(5 - x)^2$
Bài giải:
a) $(x + 2y)^2$ = $x^2$ + 2.x.2y + $(2y)^2$ = $x^2$ + 4xy + $4y^2$
b) (x - 3y)(x + 3y) = x.x - 3y.x + x.3y - 3y.3y = $x^2$ - 9$y^2$
c) $(5 - x)^2$ = $5^2$ - 2.5.x + $x^2$ = 25 - 10x + $x^2$
a) $(x - 1)^2$ b) $(3 - y)^2$ c) $(x - \frac{1}{2})^2$
Bài giải:
a) $(x - 1)^2$ = $x^2$ - 2.x.1 + $1^2$ = $x^2$ - 2x + 1
b) $(3 - y)^2$ = $3^2$ - 2.3.y + $y^2$ = 9 - 6y + $y^2$
c) $(x - \frac{1}{2})^2$ = $x^2$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + $(\frac{1}{2})^2$ = $x^2$ - x + $\frac{1}{4}$.
Giải bài 11 trang 7 SBT toán 8 tập 1.
Tính:a) $(x + 2y)^2$ b) (x - 3y)(x + 3y) c) $(5 - x)^2$
Bài giải:
a) $(x + 2y)^2$ = $x^2$ + 2.x.2y + $(2y)^2$ = $x^2$ + 4xy + $4y^2$
b) (x - 3y)(x + 3y) = x.x - 3y.x + x.3y - 3y.3y = $x^2$ - 9$y^2$
c) $(5 - x)^2$ = $5^2$ - 2.5.x + $x^2$ = 25 - 10x + $x^2$
Giải bài 12 trang 7 SBT toán 8 tập 1.
Tính:a) $(x - 1)^2$ b) $(3 - y)^2$ c) $(x - \frac{1}{2})^2$
Bài giải:
a) $(x - 1)^2$ = $x^2$ - 2.x.1 + $1^2$ = $x^2$ - 2x + 1
b) $(3 - y)^2$ = $3^2$ - 2.3.y + $y^2$ = 9 - 6y + $y^2$
c) $(x - \frac{1}{2})^2$ = $x^2$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + $(\frac{1}{2})^2$ = $x^2$ - x + $\frac{1}{4}$.
Giải bài 13 trang 7 SBT toán 8 tập 1.
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:
a) $x^2$ + 6x + 9 b) $x^2$ + x + $\frac{1}{4}$ c) 2x$y^2$ + $x^2$$y^4$ + 1
Bài giải:
a) $x^2$ + 6x + 9 = $x^2$ + 2.3.x + $3^2$ = $(x + 3)^2$
b) $x^2$ + x + $\frac{1}{4}$ = $x^2$ + 2.x.$\frac{1}{2}$ + $(\frac{1}{2})^2$ = $(x + \frac{1}{2})^2$
c) 2x$y^2$ + $x^2$$y^4$ + 1 = $(xy^2)^2$ + 2.x.$y^2$ + $1^2$ = $(xy^2 + 1)^2$.
a) $x^2$ + 6x + 9 = $x^2$ + 2.3.x + $3^2$ = $(x + 3)^2$
b) $x^2$ + x + $\frac{1}{4}$ = $x^2$ + 2.x.$\frac{1}{2}$ + $(\frac{1}{2})^2$ = $(x + \frac{1}{2})^2$
c) 2x$y^2$ + $x^2$$y^4$ + 1 = $(xy^2)^2$ + 2.x.$y^2$ + $1^2$ = $(xy^2 + 1)^2$.
Giải bài 14 trang 7 SBT toán 8 tập 1.
Rút gọn biểu thức:
a) $(x + y)^2$ + $(x - y)^2$ b) 2(x - y)(x + y) + $(x + y)^2$ + $(x - y)^2$
c) $(x - y + z)^2$ + $(z - y)^2$ + 2(x - y + z)(y - z)
Bài giải:
a) $(x + y)^2$ + $(x - y)^2$
= $x^2$ + 2.x.y + $y^2$ + $x^2$ - 2.x.y + $y^2$
= $x^2$ + $x^2$ + 2xy - 2xy + $y^2$ + $y^2$
= 2$x^2$ + 2$y^2$ = 2($x^2$ + $y^2$)
b) 2(x - y)(x + y) + $(x + y)^2$ + $(x - y)^2$
= $(x - y)^2$ + 2.(x - y).(x + y) + $(x + y)^2$ = $(x - y + x + y)^2$
= $(2x)^2$ = 4$x^2$
c) $(x - y + z)^2$ + $(z - y)^2$ + 2(x - y + z)(y - z)
= $(x - y + z)^2$ + 2(x - y + z)(y - z) + $(y - z)^2$
= $(x - y + z + y - z)^2$ = $x^2$.
a) $(x + y)^2$ + $(x - y)^2$
= $x^2$ + 2.x.y + $y^2$ + $x^2$ - 2.x.y + $y^2$
= $x^2$ + $x^2$ + 2xy - 2xy + $y^2$ + $y^2$
= 2$x^2$ + 2$y^2$ = 2($x^2$ + $y^2$)
b) 2(x - y)(x + y) + $(x + y)^2$ + $(x - y)^2$
= $(x - y)^2$ + 2.(x - y).(x + y) + $(x + y)^2$ = $(x - y + x + y)^2$
= $(2x)^2$ = 4$x^2$
c) $(x - y + z)^2$ + $(z - y)^2$ + 2(x - y + z)(y - z)
= $(x - y + z)^2$ + 2(x - y + z)(y - z) + $(y - z)^2$
= $(x - y + z + y - z)^2$ = $x^2$.
Giải bài 15 trang 7 SBT toán 8 tập 1.
Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng $a^2$ chia 5 dư 1.
Bài giải:
Ta có a là số tự nhiên chia cho 5 dư 4 nên a sẽ có dạng a = 5k + 4 (với k $\in$ N)
Khi đó $a^2$ = $(5k + 4)^2$
<=> $a^2$ = $5k^2$ + 2.5k.4 + $4^2$
<=> $a^2$ = 25$k^2$ + 40k + 16
<=> $a^2$ = (25$k^2$ + 40k + 15) + 1
<=> $a^2$ = 5(5$k^2$ + 8k + 3) + 1
Dễ nhận thấy tích 5(5$k^2$ + 8k + 3) chia hết cho 5.
Do đó tổng 5(5$k^2$ + 8k + 3) + 1 sẽ chia hết cho 5 dư 1.
Vậy $a^2$ chia 5 dư 1 (đpcm).
Ta có a là số tự nhiên chia cho 5 dư 4 nên a sẽ có dạng a = 5k + 4 (với k $\in$ N)
Khi đó $a^2$ = $(5k + 4)^2$
<=> $a^2$ = $5k^2$ + 2.5k.4 + $4^2$
<=> $a^2$ = 25$k^2$ + 40k + 16
<=> $a^2$ = (25$k^2$ + 40k + 15) + 1
<=> $a^2$ = 5(5$k^2$ + 8k + 3) + 1
Dễ nhận thấy tích 5(5$k^2$ + 8k + 3) chia hết cho 5.
Do đó tổng 5(5$k^2$ + 8k + 3) + 1 sẽ chia hết cho 5 dư 1.
Vậy $a^2$ chia 5 dư 1 (đpcm).
Giải bài 16 trang 7 SBT toán 8 tập 1.
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $x^2$ - $y^2$ tại x = 87 và y = 13
b) $x^3$ - 3$x^2$ + 3x - 1 tại x = 101
c) $x^3$ + 9$x^2$ + 27x + 27 tại x = 97
Bài giải:
a) $x^2$ - $y^2$ = (x + y)(x - y) = (87 + 13)(87 - 13) = 100.74 = 7400
b) $x^3$ - 3$x^2$ + 3x - 1 = $x^3$ - 3$x^2$.1 + 3.x.$1^2$ - 1 = $(x - 1)^3$ = $(101 - 1)^3$ = $(100)^3$ = 100000.
c) $x^3$ + 9$x^2$ + 27x + 27 = $x^3$ + 3.$x^2$.3 + 3.$3^2$.x + $3^3$ = $(x + 3)^3$ = $(97 + 3)^3$ = $(100)^3$ = 100000.
a) $x^2$ - $y^2$ = (x + y)(x - y) = (87 + 13)(87 - 13) = 100.74 = 7400
b) $x^3$ - 3$x^2$ + 3x - 1 = $x^3$ - 3$x^2$.1 + 3.x.$1^2$ - 1 = $(x - 1)^3$ = $(101 - 1)^3$ = $(100)^3$ = 100000.
c) $x^3$ + 9$x^2$ + 27x + 27 = $x^3$ + 3.$x^2$.3 + 3.$3^2$.x + $3^3$ = $(x + 3)^3$ = $(97 + 3)^3$ = $(100)^3$ = 100000.
Giải bài 17 trang 7 SBT toán 8 tập 1.
Chứng minh rằng:
a) (a + b)($a^2$ - ab + $b^2$) + (a - b)($a^2$ + ab + $b^2$) = 2$a^3$
b) $a^3$ + $b^3$ = (a + b)[$(a - b)^2$ + ab]
c) ($a^2$ + $b^2$)($c^2$ + $d^2$) = $(ac + bd)^2$ + $(ad - bc)^2$
a) (a + b)($a^2$ - ab + $b^2$) + (a - b)($a^2$ + ab + $b^2$) = 2$a^3$
b) $a^3$ + $b^3$ = (a + b)[$(a - b)^2$ + ab]
c) ($a^2$ + $b^2$)($c^2$ + $d^2$) = $(ac + bd)^2$ + $(ad - bc)^2$
Bài giải:
a) Ta có VT = (a + b)($a^2$ - ab + $b^2$) + (a - b)($a^2$ + ab + $b^2$)
<=> VT = $a^3$ + $b^3$ + $a^3$ - $b^3$
<=> VT = 2$a^3$
<=> VT = VP (đpcm)
b) Ta có VT = $a^3$ + $b^3$
<=> VT = (a + b)($a^2$ - ab + $b^2$)
<=> VT = (a + b)[$(a - b)^2$ + 2ab - ab]
<=> VT = (a + b)[$(a - b)^2$ + ab]
<=> VT = VP (đpcm)
c) Ta có VP = $(ac + bd)^2$ + $(ad - bc)^2$
<=> VP = $(ac)^2$ + 2.ac.bd + $(bd)^2$ + $(ad)^2$ - 2.ad.bc + $(bc)^2$
<=> VP = $a^2$$c^2$ + $b^2$$c^2$ + $b^2$$d^2$ + $a^2$$d^2$ + 2abc - 2abc
<=> VP = $c^2$($a^2$ + $b^2$) + $d^2$($b^2$ + $a^2$)
<=> VP = ($a^2$ + $b^2$)($c^2$ + $d^2$)
<=> VP = VT (đpcm).
a) Ta có VT = (a + b)($a^2$ - ab + $b^2$) + (a - b)($a^2$ + ab + $b^2$)
<=> VT = $a^3$ + $b^3$ + $a^3$ - $b^3$
<=> VT = 2$a^3$
<=> VT = VP (đpcm)
b) Ta có VT = $a^3$ + $b^3$
<=> VT = (a + b)($a^2$ - ab + $b^2$)
<=> VT = (a + b)[$(a - b)^2$ + 2ab - ab]
<=> VT = (a + b)[$(a - b)^2$ + ab]
<=> VT = VP (đpcm)
c) Ta có VP = $(ac + bd)^2$ + $(ad - bc)^2$
<=> VP = $(ac)^2$ + 2.ac.bd + $(bd)^2$ + $(ad)^2$ - 2.ad.bc + $(bc)^2$
<=> VP = $a^2$$c^2$ + $b^2$$c^2$ + $b^2$$d^2$ + $a^2$$d^2$ + 2abc - 2abc
<=> VP = $c^2$($a^2$ + $b^2$) + $d^2$($b^2$ + $a^2$)
<=> VP = ($a^2$ + $b^2$)($c^2$ + $d^2$)
<=> VP = VT (đpcm).
Giải bài 18 trang 7 SBT toán 8 tập 1.
Chứng tỏ rằng:
a) $x^2$ - 6x + 10 > 0 với mọi x.
b) 4x - $x^2$ - 5 < 0 với mọi x.
Bài giải:
a) Ta có $x^2$ - 6x + 10 = $x^2$ - 2.3x + 9 + 1 = $(x - 3)^2$ + 1
Mà $(x - 3)^2$ $\geq$ 0 với mọi x
Nên $(x - 3)^2$ + 1 > 0 với mọi x
Do đó $x^2$ - 6x + 10 > 0 với mọi x.
b) Ta có 4x - $x^2$ - 5 = -($x^2$ - 4x + 4) - 1 = -$(x - 2)^2$ - 1
Mà $(x - 2)^2$ $\geq$ 0 với mọi x
Nên -$(x - 2)^2$ - 1 < 0 với mọi x
Do đó 4x - $x^2$ - 5 < 0 với mọi x.
a) Ta có $x^2$ - 6x + 10 = $x^2$ - 2.3x + 9 + 1 = $(x - 3)^2$ + 1
Mà $(x - 3)^2$ $\geq$ 0 với mọi x
Nên $(x - 3)^2$ + 1 > 0 với mọi x
Do đó $x^2$ - 6x + 10 > 0 với mọi x.
b) Ta có 4x - $x^2$ - 5 = -($x^2$ - 4x + 4) - 1 = -$(x - 2)^2$ - 1
Mà $(x - 2)^2$ $\geq$ 0 với mọi x
Nên -$(x - 2)^2$ - 1 < 0 với mọi x
Do đó 4x - $x^2$ - 5 < 0 với mọi x.
Giải bài 19 trang 7 SBT toán 8 tập 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức:
a) P = $x^2$ - 2x + 5 b) Q = 2$x^2$ - 6x c) M = $x^2$ + $y^2$ - x + 6y + 10
Bài giải:
Trước khi giải ta xem lại một chút cách tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một biểu thức.
a) P = $x^2$ - 2x + 5 = $x^2$ - 2x + 1 + 4 = $(x - 1)^2$ + 4
Ta có $(x - 1)^2$ $\geq$ 0 nên $(x - 1)^2$ + 4 $\geq$ 4
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1.
Vậy GTNN của P là 4 tại x = 1.
b) Q = 2$x^2$ - 6x = 2($x^2$ - 3x) = 2($x^2$ - 2.$\frac{3}{2}$.x + $\frac{9}{4}$ - $\frac{9}{4}$) = 2($x^2$ - 2.$\frac{3}{2}$.x + $\frac{9}{4}$) - $\frac{9}{2}$ = 2$(x - \frac{3}{2})^2$ - $\frac{9}{2}$
Ta có 2$(x - \frac{3}{2})^2$ $\geq$ 0 nên 2$(x - \frac{3}{2})^2$ - $\frac{9}{2}$ $\geq$ - $\frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = $\frac{3}{2}$
Vậy GTNN của Q là - $\frac{9}{2}$ tại x = $\frac{3}{2}$
c) M = $x^2$ + $y^2$ - x + 6y + 10 = $x^2$ - 2.x. $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ + $y^2$ + 2.3.y + 9 = $(x - \frac{1}{2})^2$ + $(y + 3)^2$ + $\frac{3}{4}$
Ta có $(x - \frac{1}{2})^2$ $\geq$ 0 và $(y + 3)^2$ $\geq$ 0 nên $(x - \frac{1}{2})^2$ + $(y + 3)^2$ + $\frac{3}{4}$ $\geq$ $\frac{3}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = $\frac{1}{2}$ và y = -3
Vậy GTNN của M là $\frac{3}{4}$ tại x = $\frac{1}{2}$ và y = -3
Bài giải:
Trước khi giải ta xem lại một chút cách tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một biểu thức.
a) P = $x^2$ - 2x + 5 = $x^2$ - 2x + 1 + 4 = $(x - 1)^2$ + 4
Ta có $(x - 1)^2$ $\geq$ 0 nên $(x - 1)^2$ + 4 $\geq$ 4
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1.
Vậy GTNN của P là 4 tại x = 1.
b) Q = 2$x^2$ - 6x = 2($x^2$ - 3x) = 2($x^2$ - 2.$\frac{3}{2}$.x + $\frac{9}{4}$ - $\frac{9}{4}$) = 2($x^2$ - 2.$\frac{3}{2}$.x + $\frac{9}{4}$) - $\frac{9}{2}$ = 2$(x - \frac{3}{2})^2$ - $\frac{9}{2}$
Ta có 2$(x - \frac{3}{2})^2$ $\geq$ 0 nên 2$(x - \frac{3}{2})^2$ - $\frac{9}{2}$ $\geq$ - $\frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = $\frac{3}{2}$
Vậy GTNN của Q là - $\frac{9}{2}$ tại x = $\frac{3}{2}$
c) M = $x^2$ + $y^2$ - x + 6y + 10 = $x^2$ - 2.x. $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ + $y^2$ + 2.3.y + 9 = $(x - \frac{1}{2})^2$ + $(y + 3)^2$ + $\frac{3}{4}$
Ta có $(x - \frac{1}{2})^2$ $\geq$ 0 và $(y + 3)^2$ $\geq$ 0 nên $(x - \frac{1}{2})^2$ + $(y + 3)^2$ + $\frac{3}{4}$ $\geq$ $\frac{3}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = $\frac{1}{2}$ và y = -3
Vậy GTNN của M là $\frac{3}{4}$ tại x = $\frac{1}{2}$ và y = -3
Giải bài 20 trang 7 SBT toán 8 tập 1.
Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:
a) A = 4x - $x^2$ + 3 b) B = x - $x^2$ c) N = 2x - 2$x^2$ - 5
Bài giải:
a) A = 4x - $x^2$ + 3 = -($x^2$ - 4x + 4) + 7 = -$(x - 2)^2$ + 7
Ta có $(x - 2)^2$ $\geq$ 0 nên -$(x - 2)^2$ $\leq$ 0
Do đó -$(x - 2)^2$ + 7 $\leq$ 7
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 2
Vậy GTLN của A là 7 khi x = 2
b) B = x - $x^2$ = -($x^2$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$) = -($x^2$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$) + $\frac{1}{4}$ = -$(x - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{1}{4}$
Ta có -$(x - \frac{1}{2})^2$ $\leq$ 0 nên -$(x - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{1}{4}$ $\leq$ $\frac{1}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = $\frac{1}{2}$
Vậy GTLN của B là $\frac{1}{4}$ tại x = $\frac{1}{2}$
c) N = 2x - 2$x^2$ - 5 = -2($x^2$ - x) - 5 = -2($x^2$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$) - $\frac{9}{2}$ = -2$(x - \frac{1}{2})^2$ - $\frac{9}{2}$
Ta có $(x - \frac{1}{2})^2$ $\geq$ 0 nên -2$(x - \frac{1}{2})^2$ $\leq$ 0
Do đó -2$(x - \frac{1}{2})^2$ - $\frac{9}{2}$ $\leq$ - $\frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = $\frac{1}{2}$
Vậy GTLN của N là - $\frac{9}{2}$ tại x = $\frac{1}{2}$
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
a) A = 4x - $x^2$ + 3 b) B = x - $x^2$ c) N = 2x - 2$x^2$ - 5
Bài giải:
a) A = 4x - $x^2$ + 3 = -($x^2$ - 4x + 4) + 7 = -$(x - 2)^2$ + 7
Ta có $(x - 2)^2$ $\geq$ 0 nên -$(x - 2)^2$ $\leq$ 0
Do đó -$(x - 2)^2$ + 7 $\leq$ 7
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 2
Vậy GTLN của A là 7 khi x = 2
b) B = x - $x^2$ = -($x^2$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$) = -($x^2$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$) + $\frac{1}{4}$ = -$(x - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{1}{4}$
Ta có -$(x - \frac{1}{2})^2$ $\leq$ 0 nên -$(x - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{1}{4}$ $\leq$ $\frac{1}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = $\frac{1}{2}$
Vậy GTLN của B là $\frac{1}{4}$ tại x = $\frac{1}{2}$
c) N = 2x - 2$x^2$ - 5 = -2($x^2$ - x) - 5 = -2($x^2$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$) - $\frac{9}{2}$ = -2$(x - \frac{1}{2})^2$ - $\frac{9}{2}$
Ta có $(x - \frac{1}{2})^2$ $\geq$ 0 nên -2$(x - \frac{1}{2})^2$ $\leq$ 0
Do đó -2$(x - \frac{1}{2})^2$ - $\frac{9}{2}$ $\leq$ - $\frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = $\frac{1}{2}$
Vậy GTLN của N là - $\frac{9}{2}$ tại x = $\frac{1}{2}$
EmoticonEmoticon