Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Đó là dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của một đường tròn. Dễ dàng nhận thấy một đường tròn thì có vô số tiếp tuyến và nếu hai trong số các tiếp tuyến đó cắt nhau thì điều gì sẽ xảy ra. Câu hỏi thú vị đó sẽ được trả lời trong bài học hôm nay.
Gọi BA, CA theo thứ tự là các tiếp tuyến tại B và tại C của đường tròn (O).
Xét hai tam giác AOB và AOC có:
$\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ = $90^0$ (theo tính chất hai tiếp tuyến)
OA chung
OB = OC ( = R)
Do đó $\Delta$ AOB = $\Delta$ AOC (cạnh huyền-góc vuông)
Suy ra:
AB = AC (cách đều hai tiếp điểm)
$\widehat{A_1}$ = $\widehat{A_2}$ nên AO là tia phân giác của góc BAC tạo bởi hai tiếp tuyến.
$\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ nên OA là tia phân giác của góc BOC tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Định lí hai tiếp tuyến cắt nhau có nhiều ứng dụng. Một trong những ứng dụng đó là tìm tâm của các vật hình tròn bằng "thước phân giác".
Với "thước phân giác", ta sẽ tìm tâm của một miếng gỗ hình tròn như sau:
- Đặt miếng gỗ hình tròn tiếp xúc với hai cạnh của thước.
- Kẻ theo "tia phân giác của thước", ta xác định được một bán kính của hình tròn.
- Xoay miếng gỗ và làm tương tự như trên, ta vẽ được đường kính thứ hai.
- Khi đó giao điểm của hai đường kính là tâm của miếng gỗ hình tròn.
Như vậy, giờ đây ta có thể tìm tâm của bất kỳ một vật hình tròn nào nếu có một chiếc "thước phân giác" trong tay.
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác. Tâm này cách đều ba cạnh của tam giác.
Với một tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp nằm trong góc A, góc B, góc C của tam giác ABC.
Như vậy, ta đã trãi qua một hành trình khám phá đầy thú vị, cho ta những kiến thức bổ ích về định lí hai tiếp tuyến cắt nhau, đường tròn nội tiếp tam giác, đường tròn bàng tiếp tam giác. Đó là hành trang cần mang theo bên mình để giải quyết những bài toán mà cô giáo giao cho.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau.
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:Chứng minh định lí:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
 |
| Định lí hai tiếp tuyến cắt nhau. |
Xét hai tam giác AOB và AOC có:
$\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ = $90^0$ (theo tính chất hai tiếp tuyến)
OA chung
OB = OC ( = R)
Do đó $\Delta$ AOB = $\Delta$ AOC (cạnh huyền-góc vuông)
Suy ra:
AB = AC (cách đều hai tiếp điểm)
$\widehat{A_1}$ = $\widehat{A_2}$ nên AO là tia phân giác của góc BAC tạo bởi hai tiếp tuyến.
$\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ nên OA là tia phân giác của góc BOC tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Định lí hai tiếp tuyến cắt nhau có nhiều ứng dụng. Một trong những ứng dụng đó là tìm tâm của các vật hình tròn bằng "thước phân giác".
Với "thước phân giác", ta sẽ tìm tâm của một miếng gỗ hình tròn như sau:
- Đặt miếng gỗ hình tròn tiếp xúc với hai cạnh của thước.
- Kẻ theo "tia phân giác của thước", ta xác định được một bán kính của hình tròn.
- Xoay miếng gỗ và làm tương tự như trên, ta vẽ được đường kính thứ hai.
- Khi đó giao điểm của hai đường kính là tâm của miếng gỗ hình tròn.
Như vậy, giờ đây ta có thể tìm tâm của bất kỳ một vật hình tròn nào nếu có một chiếc "thước phân giác" trong tay.
Đường tròn nội tiếp tam giác.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Tâm của nó là giao điểm của các đường trung trực của tam giác. Thế còn đường tròn nội tiếp thì như thế nào. Ta sẽ tìm hiểu ngay sau đây.
Quan sát hình 80, nếu chứng minh được ba điểm D, E, F nằm trên cùng đường tròn tâm I. Khi đó đường tròn (I) sẽ là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có:
IE = IF (I thuộc phân giác góc A)
IF = ID (I thuộc phân giác góc B)
Suy ra IE = IF = ID
Vậy D, E, F nằm trên cùng một đường tròn (I ; IE)
 |
| Hình 80. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. |
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, khi đó, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I).
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác. Tâm này cách đều ba cạnh của tam giác.
Đường tròn bàng tiếp tam giác
Nếu một đường tròn chỉ tiếp xúc với một cạnh của tam giác thì sao? Không sao cả, ta sẽ có một khái niệm khác.Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của hai đường phân giác ngoài của tam giác (hoặc là giao điểm của một phân giác ngoài và một phân giác trong của góc khác của tam giác).
Với một tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp nằm trong góc A, góc B, góc C của tam giác ABC.
Như vậy, ta đã trãi qua một hành trình khám phá đầy thú vị, cho ta những kiến thức bổ ích về định lí hai tiếp tuyến cắt nhau, đường tròn nội tiếp tam giác, đường tròn bàng tiếp tam giác. Đó là hành trang cần mang theo bên mình để giải quyết những bài toán mà cô giáo giao cho.
1 nhận xét:
Bấm vào đây để nhận xétThanks!
ReplyEmoticonEmoticon