Giải bài tập hằng đẳng thức 6,7
Hằng đẳng thức 6 và 7 cho ta biết tổng và hiệu của hai lập phương:
# Tổng hai lập phương bằng tổng của số thứ nhất và số thứ hai, nhân với bình phương số thứ nhất trừ tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.
# Hiệu hai lập phương bằng hiệu của số thứ nhất và số thứ hai, nhân với bình phương số thứ nhất cộng tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Phát biểu thì dài dòng như vậy, nhưng khi giải đi giải lại những bài tập dưới đây, các bạn sẽ dễ dàng ghi nhớ hằng đẳng thức 6,7 mà không cần phải lẩm nhẩm hai "câu thần chú" trên.
a) $a^3$ + $b^3$ = $(a + b)^3$ – 3ab(a + b)
b) $a^3$ – $b^3$ = $(a – b)^3$ + 3ab(a – b)
Bài giải:
Ta có :
a) $(a + b)^3$ – 3ab(a + b)
= $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + $b^3$ - 3a2b – 3a$b^2$
= $a^3$ + $b^3$
b) $(a – b)^3$ – 3ab(a + b)
= $a^3$ – 3$a^2$b + 3a$b^2$ – $b^3$ + 3$a^2$b – 3a$b^2$
= $a^3$ – $b^3$
Áp dụng: Tính giá trị của biểu thức a biết: a.b = 6 và a + b = -5
Ta có : $a^3$ + $b^3$ = $(a + b)^3$ – 3ab(a + b) = $(-5)^3$ – 3.6.(-5) = -35
a) (3x + y)( … - … + … ) = 27$x^3$ + $y^3$
b) (2x - … )( … + 10x + … ) = 8$x^3$ - 125.
Bài giải:
a) Ta có:
27$x^3$ + $y^3$ = $(3x)^3$ + $y^3$
= (3x + y)[$(3x)^2$ – 3x . y + $y^2$]
= (3x + y)(9$x^2$ – 3xy + $y^2$)
Nên: (3x + y) ( 9$x^2$ - 3xy + $y^2$) = 27$x^3$ + $y^3$
b) Ta có: 8$x^3$ - 125 = $(2x)^3$ - $5^3$
= (2x - 5)[$(2x)^2$ + 2x . 5 + $5^2$]
= (2x - 5)(4$x^2$ + 10x + 25)
Nên: (2x - 5)(4$x^2$ + 10x + 25) = 8$x^3$ – 125
Tính:
a) $(2 + xy)^2$ b) $(5 – 3x)^2$ c) (5 – $x^2$)(5 + $x^2$)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) $(a + b)^2$ – $(a – b)^2$ b) $(a + b)^3$ – $(a – b)^3$ – 2$b^3$
c) $(x + y + z)^2$ – 2(x + y + z)(x + y) + $(x + y)^2$
Bài giải:
a) $(a + b)^2$ – $(a – b)^2$ = ($a^2$ + 2ab + $b^2$) – ($a^2$ – 2ab + $b^2$)
= $a^2$ + 2ab + $b^2$ – $a^2$ + 2ab - $b^2$ = 4ab
Hoặc $(a + b)^2$ – $(a – b)^2$ = [(a + b) + (a – b)][(a + b) – (a – b)]
= (a + b + a – b)(a + b – a + b)
= 2a . 2b = 4ab
b) $(a + b)^3$ – $(a – b)^3$ – 2$b^3$
= ($a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + $b^3$) – ($a^3$ – 3$a^2$b + 3a$b^2$ – $b^3$) – 2$b^3$
= $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + $b^3$ – $a^3$ + 3$a^2$b - 3a$b^2$ + $b^3$ – 2$b^3$
= 6$a^2$b
Hoặc $(a + b)^3$ – $(a – b)^3$ – 2$b^3$ = [$(a + b)^3$ – $(a – b)^3$] – 2$b^3$
= [(a + b) – (a – b)][$(a + b)^2$ + (a + b)(a – b) + $(a – b)^2$] – 2$b^3$
= (a + b – a + b)($a^2$ + 2ab + $b^2$ + $a^2$ – $b^2$ + $a^2$ – 2ab + $b^2$) – 2$b^3$
= 2b . (3$a^2$ + $b^2$) – 2$b^3$ = 6$a^2$b + 2$b^3$ – 2$b^3$ = 6$a^2$b
c) $(x + y + z)^2$ – 2(x + y + z)(x + y) + $(x + y)^2$
= $x^2$ + $y^2$ + $z^2$+ 2xy + 2yz + 2xz – 2($x^2$ + xy + yx + $y^2$ + zx + zy) + $x^2$ + 2xy + $y^2$
= 2$x^2$ + 2$y^2$ + $z^2$ + 4xy + 2yz + 2xz – 2$x^2$ – 4xy – 2$y^2$ – 2xz – 2yz = $z^2$
Tính nhanh:
a) 342 + 662 + 68 . 66 b) 742 + 242 – 48 . 74.
Bài giải:
a) $x^2$ + 4x + 4 tại x = 98 b) $x^3$ + 3$x^2$ + 3x + 1 tại x = 99
Bài giải:
a) $x^2$ + 4x + 4 = $x^2$ + 2 . x . 2 + $2^2$ = $(x+ 2)^2$
Với x = 98, ta cos: $(98+ 2)^2$ = $100^2$ = 10000
b) $x^3$ + 3$x^2$ + 3x + 1 = $x^3$ + 3 . 1 . $x^2$ + 3 . x .$1^2$ + $1^3$ = $(x + 1)^3$
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $(a - b)^3$ = -$(b - a)^3$ b) $(-a - b)^2$ = $(a + b)^2$
Bài giải:
a) $(a - b)^3$ = -$(b - a)^3$
# Biến đổi vế phải thành vế trái:
-$(b - a)^3$ = -($b^3$ - 3$b^2$a + 3b$a^2$ - $a^3$) = - $b^3$ + 3$b^2$a - 3b$a^2$ + $a^3$
= $a^3$ - 3$a^2$b + 3a$b^2$ - $b^3$ = $(a - b)^3$
# Sử dụng tính chất hai số đối nhau:
$(a - b)^3$ = $[(-1)(b - a)]^3$ = $(-1)^3$$(b - a)^3$
Bài 30 trang 15 SGK đại số 8 tập 1
Rút gọn các biểu thức :
a) (x +3)($x^2$ – 3x +
9) – (54 + $x^3$)
= (x +3)($x^2$ – 3.x + $3^2$) – (54 + $x^3$)
= ($x^3$ + $3^3$) – (54
+ $x^3$) = $x^3$ + $3^3$ –54 – $x^3$ = -27
b) (2x + y)(4$x^2$ – 2xy
+ $y^2$) – (2x – y)(4$x^2$ + 2xy + $y^2$)
= (2x + y)[$(2x)^2$ –
(2x).y + $y^2$] – (2x – y)[$(2x)^2$ + (2x).y + $y^2$]
= [$(2x)^3$ + $y^3$] –
[$(2x)^3$ - $y^3$] = 8$x^3$ + $y^3$ – 8$x^3$ + $y^3$ = 2$y^3$
Bài 31 trang 16 SGK đại số 8 tập 1
Chứng minh rằng:a) $a^3$ + $b^3$ = $(a + b)^3$ – 3ab(a + b)
b) $a^3$ – $b^3$ = $(a – b)^3$ + 3ab(a – b)
Bài giải:
Ta có :
a) $(a + b)^3$ – 3ab(a + b)
= $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + $b^3$ - 3a2b – 3a$b^2$
= $a^3$ + $b^3$
b) $(a – b)^3$ – 3ab(a + b)
= $a^3$ – 3$a^2$b + 3a$b^2$ – $b^3$ + 3$a^2$b – 3a$b^2$
= $a^3$ – $b^3$
Áp dụng: Tính giá trị của biểu thức a biết: a.b = 6 và a + b = -5
Ta có : $a^3$ + $b^3$ = $(a + b)^3$ – 3ab(a + b) = $(-5)^3$ – 3.6.(-5) = -35
Bài 32 trang 16 SGK đại số 8 tập 1
Điền các đơn thức thích hợp vào chỗ chấm:a) (3x + y)( … - … + … ) = 27$x^3$ + $y^3$
b) (2x - … )( … + 10x + … ) = 8$x^3$ - 125.
Bài giải:
a) Ta có:
27$x^3$ + $y^3$ = $(3x)^3$ + $y^3$
= (3x + y)[$(3x)^2$ – 3x . y + $y^2$]
= (3x + y)(9$x^2$ – 3xy + $y^2$)
Nên: (3x + y) ( 9$x^2$ - 3xy + $y^2$) = 27$x^3$ + $y^3$
b) Ta có: 8$x^3$ - 125 = $(2x)^3$ - $5^3$
= (2x - 5)[$(2x)^2$ + 2x . 5 + $5^2$]
= (2x - 5)(4$x^2$ + 10x + 25)
Nên: (2x - 5)(4$x^2$ + 10x + 25) = 8$x^3$ – 125
Bài 33 trang 16 SGK đại số 8 tập 1
a) $(2 + xy)^2$ b) $(5 – 3x)^2$ c) (5 – $x^2$)(5 + $x^2$)
d) $(5x – 1)^3$ e) (2x – y)(4$x^2$ + 2xy + $y^2$) f) (x + 3)($x^2$ – 3x + 9)
Giải:
a) $(2 + xy)^2$ = $2^2$ + 2 . 2 . xy + $(xy)^2$ = 4 + 4xy + $x^2$$y^2$
Giải:
a) $(2 + xy)^2$ = $2^2$ + 2 . 2 . xy + $(xy)^2$ = 4 + 4xy + $x^2$$y^2$
b) $(5 – 3x)^2$ = $5^2$ – 2 . 5 . 3x + $(3x)^2$ = 25 – 30x + 9$x^2$
c) (5 – $x^2$)(5 + $x^2$) = $5^2$ – $(x^2)^2$ = 25 – $x^4$
d) $(5x – 1)^3$ = $(5x)^3$ – 3 . $(5x)^2$. 1 + 3 . 5x . $1^2$ – $1^3$ = 125$x^3$ – 75$x^2$ + 15x – 1
e) (2x – y)(4$x^2$ + 2xy + $y^2$) = (2x – y)[$(2x)^2$ + 2x . y + $y^2$] = $(2x)^3$ – $y^3$ = 8$x^3$ – $y^3$
f) (x + 3)($x^2$ – 3x + 9) = (x + 3)($x^2$ – 3x + $3^2$) = $x^3$ + $3^3$ = $x^3$ + 27.
Bài 34 trang 16 SGK đại số 8 tập 1
a) $(a + b)^2$ – $(a – b)^2$ b) $(a + b)^3$ – $(a – b)^3$ – 2$b^3$
c) $(x + y + z)^2$ – 2(x + y + z)(x + y) + $(x + y)^2$
Bài giải:
a) $(a + b)^2$ – $(a – b)^2$ = ($a^2$ + 2ab + $b^2$) – ($a^2$ – 2ab + $b^2$)
= $a^2$ + 2ab + $b^2$ – $a^2$ + 2ab - $b^2$ = 4ab
Hoặc $(a + b)^2$ – $(a – b)^2$ = [(a + b) + (a – b)][(a + b) – (a – b)]
= (a + b + a – b)(a + b – a + b)
= 2a . 2b = 4ab
b) $(a + b)^3$ – $(a – b)^3$ – 2$b^3$
= ($a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + $b^3$) – ($a^3$ – 3$a^2$b + 3a$b^2$ – $b^3$) – 2$b^3$
= $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + $b^3$ – $a^3$ + 3$a^2$b - 3a$b^2$ + $b^3$ – 2$b^3$
= 6$a^2$b
Hoặc $(a + b)^3$ – $(a – b)^3$ – 2$b^3$ = [$(a + b)^3$ – $(a – b)^3$] – 2$b^3$
= [(a + b) – (a – b)][$(a + b)^2$ + (a + b)(a – b) + $(a – b)^2$] – 2$b^3$
= (a + b – a + b)($a^2$ + 2ab + $b^2$ + $a^2$ – $b^2$ + $a^2$ – 2ab + $b^2$) – 2$b^3$
= 2b . (3$a^2$ + $b^2$) – 2$b^3$ = 6$a^2$b + 2$b^3$ – 2$b^3$ = 6$a^2$b
c) $(x + y + z)^2$ – 2(x + y + z)(x + y) + $(x + y)^2$
= $x^2$ + $y^2$ + $z^2$+ 2xy + 2yz + 2xz – 2($x^2$ + xy + yx + $y^2$ + zx + zy) + $x^2$ + 2xy + $y^2$
= 2$x^2$ + 2$y^2$ + $z^2$ + 4xy + 2yz + 2xz – 2$x^2$ – 4xy – 2$y^2$ – 2xz – 2yz = $z^2$
Bài 35 trang 17 SGK đại số 8 tập 1
a) 342 + 662 + 68 . 66 b) 742 + 242 – 48 . 74.
Bài giải:
a) $34^2$ + $66^2$ + 68 . 66 = $34^2$ + 2 . 34 . 66 + $66^2$ = $(34 + 66)^2$ = $100^2$ = 10000.
b) $74^2$ + $24^2$ – 48 . 74 = $74^2$ - 2 . 74 . 24 + $24^2$ = $(74 - 24)^2$ = $50^2$ = 2500
Tính giá trị của biểu thức: b) $74^2$ + $24^2$ – 48 . 74 = $74^2$ - 2 . 74 . 24 + $24^2$ = $(74 - 24)^2$ = $50^2$ = 2500
Bài 36 trang 17 SGK đại số 8 tập 1
a) $x^2$ + 4x + 4 tại x = 98 b) $x^3$ + 3$x^2$ + 3x + 1 tại x = 99
Bài giải:
a) $x^2$ + 4x + 4 = $x^2$ + 2 . x . 2 + $2^2$ = $(x+ 2)^2$
Với x = 98, ta cos: $(98+ 2)^2$ = $100^2$ = 10000
b) $x^3$ + 3$x^2$ + 3x + 1 = $x^3$ + 3 . 1 . $x^2$ + 3 . x .$1^2$ + $1^3$ = $(x + 1)^3$
Với x = 99, ta co: $(99+ 1)^3$ = $100^3$ = 100000
Bài 37 trang 17 SGK đại số 8 tập 1
a) $(a - b)^3$ = -$(b - a)^3$ b) $(-a - b)^2$ = $(a + b)^2$
Bài giải:
a) $(a - b)^3$ = -$(b - a)^3$
# Biến đổi vế phải thành vế trái:
-$(b - a)^3$ = -($b^3$ - 3$b^2$a + 3b$a^2$ - $a^3$) = - $b^3$ + 3$b^2$a - 3b$a^2$ + $a^3$
= $a^3$ - 3$a^2$b + 3a$b^2$ - $b^3$ = $(a - b)^3$
# Sử dụng tính chất hai số đối nhau:
$(a - b)^3$ = $[(-1)(b - a)]^3$ = $(-1)^3$$(b - a)^3$
= -$1^3$. $(b - a)^3$ = - $(b - a)^3$
b) $(-a - b)^2$ = $(a + b)^2$
# Biến đổi vế trái thành vế phải:
$(-a - b)^2$ = $[(-a) + (-b)]^2$
= $(-a)^2$ +2 . (-a) . (-b) + $(-b)^2$
= $a^2$ + 2ab + $b^2$ = $(a + b)^2$
# Sử dụng tính chất hai số đối nhau:
b) $(-a - b)^2$ = $(a + b)^2$
# Biến đổi vế trái thành vế phải:
$(-a - b)^2$ = $[(-a) + (-b)]^2$
= $(-a)^2$ +2 . (-a) . (-b) + $(-b)^2$
= $a^2$ + 2ab + $b^2$ = $(a + b)^2$
# Sử dụng tính chất hai số đối nhau:
$(-a - b)^2$ = $[(-1) . (a + b)]^2$ = $(-1)^2$. $(a + b)^2$ = 1 . $(a + b)^2$ = $(a + b)^2$
Xem bài trước: Giải bài tập hằng đẳng thức 4,5
EmoticonEmoticon