Giải bài tập hằng đẳng thức 1, 2, 3
Những bài tập SGK trang 11, 12 đại số lớp 8 tập 1, sẽ giúp các bạn ghi nhớ các hằng đẳng thức:
- bình phương một tổng,
- bình phương một hiệu,
- hiệu hai bình phương.
Mục lục bài tập cần hoàn thành:
Phân tích $x^2$ + 2x + 1 = $x^2$ + 2.x.1 + $1^2$ ta thấy có dạng bình phương một tổng với A = x, B = 1.
Nên $x^2$ + 2x + 1 = $(x + 1)^2$
b) 9$x^2$ + $y^2$ + 6xy
Ta thấy 9$x^2$ + $y^2$ + 6xy = $(3x)^2$ + 2.3.x.y + $y^2$ có dạng bình phương một tổng với A = 3x, B = y
Nên 9$x^2$ + $y^2$ + 6xy = $(3x + y)^2$
c) 25$a^2$ + 4$b^2$ – 20ab
Ta thấy 25$a^2$ + 4$b^2$ - 20ab = $(5a)^2$ - 2.5a.2b + $(2b)^2$
có dạng bình phương một hiệu với A = 5a, B = 2b
Nên 25$a^2$ + 4$b^2$ - 20ab = $(5a - 5b)^2$
d) $x^2$ – x + $\frac{1}{4}$
Ta thấy $x^2$ - x + $\frac{1}{4}$ = $x^2$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + $(\frac{1}{2})^2$ có dạng bình phương một hiệu với A = x, B = $\frac{1}{2}$
Nên $x^2$ - x + $\frac{1}{4}$ = $(x - \frac{1}{2})^2$
$x^2$ + 2xy + 4$y^2$ = $(x + 2y)^2$
Bài giải:
$(a + b)^2$ = $(a – b)^2$ + 4ab;
$(a – b)^2$ = $(a + b)^2$ – 4ab.
Áp dụng:
a) Tính $(a – b)^2$, biết a + b = 7 và a . b = 12.
b) Tính $(a + b)^2$, biết a - b = 20 và a . b = 3.
Bài giải:
a) $(a + b)^2$ = $(a – b)^2$ + 4ab
+ Biến đổi vế trái:
$(a + b)^2$ = $a^2$ +2ab + $b^2$ = $a^2$ – 2ab + $b^2$ + 4ab
= $(a – b)^2$ + 4ab
Vậy $(a + b)^2$ = $(a – b)^2$ + 4ab (đpcm)
+ Hoặc cũng có thể biến đổi vế phải:
$(a – b)^2$ + 4ab = $a^2$ – 2ab + $b^2$ + 4ab = $a^2$ + 2ab + $b^2$
= $(a + b)^2$
Vậy $(a + b)^2$ = $(a – b)^2$ + 4ab
b) $(a – b)^2$ = $(a + b)^2$ – 4ab
+ Biến đổi vế phải:
$(a + b)^2$ – 4ab = $a^2$ +2ab + $b^2$ – 4ab
= $a^2$ – 2ab + $b^2$ = $(a – b)^2$
Vậy $(a – b)^2$ = $(a + b)^2$ – 4ab
Áp dụng:
a) $(a – b)^2$ = $(a + b)^2$ – 4ab = $7^2$ – 4 . 12 = 49 – 48 = 1
b) $(a + b)^2$ = $(a – b)^2$ + 4ab = $20^2$ + 4 . 3 = 400 + 12 = 412
Tính giá trị của biểu thức
A = 49$x^2$ – 70x + 25 = $(7x)^2$ – 2.7x.5 + $5^2$ = $(7x – 5)^2$
a) khi x = 5:
A = $( 7.5 – 5)^2$ = 900
b) khi x = $\frac{1}{7}$
A = $( 7.\frac{1}{7} – 5)^2$ = 16
Tính:
a) $(a + b + c)^2$ ; b) $(a + b – c)^2$; c) $(a – b – c)^2$
Bài giải:
a) $(a + b + c)^2$ = $[(a + b) + c]^2$ = $(a + b)^2$ + 2(a + b)c + $c^2$
= $a^2$ + 2ab + $b^2$ + 2ac + 2bc + $c^2$
= $a^2$ + $b^2$ + $c^2$ + 2ab + 2bc + 2ac.
b) $(a + b – c)^2$ = $[(a + b) – c]^2$ = $(a + b)^2$ - 2(a + b)c + $c^2$
= $a^2$ + 2ab + $b^2$ - 2ac - 2bc + $c^2$
= $a^2$ + $b^2$ + $c^2$ + 2ab - 2bc - 2ac.
c) $(a – b –c)^2$ = $[(a – b) – c]^2$ = $(a – b)^2$ – 2(a – b)c + $c^2$
= $a^2$ – 2ab + $b^2$ – 2ac + 2bc + $c^2$
= $a^2$ + $b^2$ + $c^2$ – 2ab + 2bc – 2ac.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
- bình phương một tổng,
- bình phương một hiệu,
- hiệu hai bình phương.
Mục lục bài tập cần hoàn thành:
- Giải bài 16 trang 11 sgk đại số 8 tập 1
- Giải bài 17 trang 11 sgk đại số 8 tập 1
- Giải bài 18 trang 11 sgk đại số 8 tập 1
- Giải bài 19 trang 12 sgk đại số 8 tập 1
- Giải bài 20 trang 12 sgk đại số 8 tập 1
- Giải bài 21 trang 12 sgk đại số 8 tập 1
- Giải bài 22 trang 12 sgk đại số 8 tập 1
- Giải bài 23 trang 12 sgk đại số 8 tập 1
- Giải bài 24 trang 12 sgk đại số 8 tập 1
- Giải bài 25 trang 12 sgk đại số 8 tập 1
Bài 16 trang 11 SGK đại số 8 tập 1
a) $x^2$ + 2x + 1Phân tích $x^2$ + 2x + 1 = $x^2$ + 2.x.1 + $1^2$ ta thấy có dạng bình phương một tổng với A = x, B = 1.
Nên $x^2$ + 2x + 1 = $(x + 1)^2$
b) 9$x^2$ + $y^2$ + 6xy
Ta thấy 9$x^2$ + $y^2$ + 6xy = $(3x)^2$ + 2.3.x.y + $y^2$ có dạng bình phương một tổng với A = 3x, B = y
Nên 9$x^2$ + $y^2$ + 6xy = $(3x + y)^2$
c) 25$a^2$ + 4$b^2$ – 20ab
Ta thấy 25$a^2$ + 4$b^2$ - 20ab = $(5a)^2$ - 2.5a.2b + $(2b)^2$
có dạng bình phương một hiệu với A = 5a, B = 2b
Nên 25$a^2$ + 4$b^2$ - 20ab = $(5a - 5b)^2$
d) $x^2$ – x + $\frac{1}{4}$
Ta thấy $x^2$ - x + $\frac{1}{4}$ = $x^2$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ + $(\frac{1}{2})^2$ có dạng bình phương một hiệu với A = x, B = $\frac{1}{2}$
Nên $x^2$ - x + $\frac{1}{4}$ = $(x - \frac{1}{2})^2$
Bài 17 trang 11 SGK đại số 8 tập 1
Chứng minh rằng: $(10a + 5)^2$ = 100a . (a + 1) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng để tính: $25^2$, $35^2$, $65^2$, $75^2$
Bài giải:
Ta có: $(10a + 5)^2$ = 100$a^2$ + 100a + 25 = (100$a^2$ + 100a) + 25
= 100a(a + 1) + 25
Ta có: $(10a + 5)^2$ = 100a(a + 1) + 25
Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.
Như vậy:
- Để tính $25^2$, ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.
- Để tính $35^2$, ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.
- Để tính $65^2$, ta tính 6(6 + 1) = 42 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 4225
- Để tính $75^2$ ta tính 7(7 + 1) = 56 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 5625.
Thật nhanh chóng và tiện lợi, các bạn nhớ chia sẻ cho bạn mình nhé!
= 100a(a + 1) + 25
Cách tính nhẩm bình phương của một số tận cùng bằng chữ số 5:
Gọi a là số hàng chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5, khi đó số đã cho sẽ có dạng 10a + 5.Ta có: $(10a + 5)^2$ = 100a(a + 1) + 25
Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.
Như vậy:
- Để tính $25^2$, ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.
- Để tính $35^2$, ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.
- Để tính $65^2$, ta tính 6(6 + 1) = 42 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 4225
- Để tính $75^2$ ta tính 7(7 + 1) = 56 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 5625.
Thật nhanh chóng và tiện lợi, các bạn nhớ chia sẻ cho bạn mình nhé!
Bài 18 trang 11 SGK đại số 8 tập 1
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:
a) x2 + 6xy + … = (… + 3y)2; b) ... – 10xy + 25y2 = (… - …)2;
Hãy nêu một số đề bài tương tự.
Bài giải:
a) $x^2$ + 2 . x . 3y + … = $(…+3y)^2$
a) x2 + 6xy + … = (… + 3y)2; b) ... – 10xy + 25y2 = (… - …)2;
Hãy nêu một số đề bài tương tự.
Bài giải:
a) $x^2$ + 2 . x . 3y + … = $(…+3y)^2$
$x^2$ + 2 . x . 3y + $(3y)^2$ = $(x + 3y)^2$
Vậy: $x^2$ + 6xy + 9$y^2$ = $(x + 3y)^2$
b) …-2 . x . 5y + $(5y)^2$ = $(… - …)^2$
$x^2$ – 2 . x . 5y + $(5y)^2$ = $(x – 5y)^2$
Vậy: $x^2$ – 10xy + 25$y^2$ = $(x – 5y)^2$
Đề bài tương tự:
4x + 4xy + … = (… + $y^2$) ; … - 8xy + $y^2$ = $(… - …)^2$
b) …-2 . x . 5y + $(5y)^2$ = $(… - …)^2$
$x^2$ – 2 . x . 5y + $(5y)^2$ = $(x – 5y)^2$
Vậy: $x^2$ – 10xy + 25$y^2$ = $(x – 5y)^2$
Đề bài tương tự:
4x + 4xy + … = (… + $y^2$) ; … - 8xy + $y^2$ = $(… - …)^2$
Bài 19 trang 12 SGK đại số 8 tập 1
Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.
Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a- b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?
Bài giải:
Diện tích của miếng tôn là $(a + b)^2$
Diện tích của miếng tôn phải cắt là $(a – b)^2$.
Phần diện tích còn lại là $(a + b)^2$ - $(a – b)^2$.
Ta có: $(a + b)^2$ - $(a – b)^2$ = $a^2$ + 2ab + $b^2$ – ($a^2$ – 2ab + $b^2$)
Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a- b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?
Bài giải:
Diện tích của miếng tôn là $(a + b)^2$
Diện tích của miếng tôn phải cắt là $(a – b)^2$.
Phần diện tích còn lại là $(a + b)^2$ - $(a – b)^2$.
Ta có: $(a + b)^2$ - $(a – b)^2$ = $a^2$ + 2ab + $b^2$ – ($a^2$ – 2ab + $b^2$)
= $a^2$ + 2ab + $b^2$ - $a^2$ + 2ab - $b^2$ = 4ab
Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.
Bài 20 trang 12 SGK đại số 8 tập 1
Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:$x^2$ + 2xy + 4$y^2$ = $(x + 2y)^2$
Bài giải:
Ta có: $(x + 2y)^2$ = $x^2$ + 2 . x . 2y + 4$y^2$
= $x^2$ + 4xy + 4$y^2$
Nên kết quả $x^2$ + 2xy + 4$y^2$ = $(x + 2y)^2$ là sai.
Bài 21 trang 12 SGK đại số 8 tập 1
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) 9$x^2$ – 6x + 1; b) $(2x + 3y)^2$ + 2 . (2x + 3y) + 1.
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Bài giải:
a) 9$x^2$ – 6x + 1 = $(3x)^2$ – 2 . 3x . 1 + $1^2$ = $(3x – 1)^2$
Hoặc 9$x^2$ – 6x + 1 = 1 – 6x + 9$x^2$ = $(1 – 3x)^2$
b) $(2x + 3y)^2$ + 2 . (2x + 3y) + 1 = $(2x + 3y)^2$ + 2 . (2x + 3y) . 1 + $1^2$
= $[(2x + 3y) + 1]^2$
= $(2x + 3y + 1)^2$
# Đề bài tương tự:
1 + 2(x + 2y) + $(x + 2y)^2$
4$x^2$ – 12x + 9
a) 9$x^2$ – 6x + 1; b) $(2x + 3y)^2$ + 2 . (2x + 3y) + 1.
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Bài giải:
a) 9$x^2$ – 6x + 1 = $(3x)^2$ – 2 . 3x . 1 + $1^2$ = $(3x – 1)^2$
Hoặc 9$x^2$ – 6x + 1 = 1 – 6x + 9$x^2$ = $(1 – 3x)^2$
b) $(2x + 3y)^2$ + 2 . (2x + 3y) + 1 = $(2x + 3y)^2$ + 2 . (2x + 3y) . 1 + $1^2$
= $[(2x + 3y) + 1]^2$
= $(2x + 3y + 1)^2$
# Đề bài tương tự:
1 + 2(x + 2y) + $(x + 2y)^2$
4$x^2$ – 12x + 9
…
Bài 22 trang 12 SGK đại số 8 tập 1
Tính nhanh:
a) $101^2$ ; b) $199^2$ ; c) 47.53.
Bài giải:
a) $101^2$ = $(100 + 1)^2$ = $100^2$ + 2 . 100 + 1 = 10201
b) $199^2$ = $(200 – 1)^2$ = $200^2$ – 2 . 200 + 1 = 39601
c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = $50^2$ – $3^2$ = 2500 – 9 = 2491.
a) $101^2$ ; b) $199^2$ ; c) 47.53.
Bài giải:
a) $101^2$ = $(100 + 1)^2$ = $100^2$ + 2 . 100 + 1 = 10201
b) $199^2$ = $(200 – 1)^2$ = $200^2$ – 2 . 200 + 1 = 39601
c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = $50^2$ – $3^2$ = 2500 – 9 = 2491.
Bài 23 trang 12 SGK đại số 8 tập 1
Chứng minh rằng:$(a + b)^2$ = $(a – b)^2$ + 4ab;
$(a – b)^2$ = $(a + b)^2$ – 4ab.
Áp dụng:
a) Tính $(a – b)^2$, biết a + b = 7 và a . b = 12.
b) Tính $(a + b)^2$, biết a - b = 20 và a . b = 3.
Bài giải:
a) $(a + b)^2$ = $(a – b)^2$ + 4ab
+ Biến đổi vế trái:
$(a + b)^2$ = $a^2$ +2ab + $b^2$ = $a^2$ – 2ab + $b^2$ + 4ab
= $(a – b)^2$ + 4ab
Vậy $(a + b)^2$ = $(a – b)^2$ + 4ab (đpcm)
+ Hoặc cũng có thể biến đổi vế phải:
$(a – b)^2$ + 4ab = $a^2$ – 2ab + $b^2$ + 4ab = $a^2$ + 2ab + $b^2$
= $(a + b)^2$
Vậy $(a + b)^2$ = $(a – b)^2$ + 4ab
b) $(a – b)^2$ = $(a + b)^2$ – 4ab
+ Biến đổi vế phải:
$(a + b)^2$ – 4ab = $a^2$ +2ab + $b^2$ – 4ab
= $a^2$ – 2ab + $b^2$ = $(a – b)^2$
Vậy $(a – b)^2$ = $(a + b)^2$ – 4ab
Áp dụng:
a) $(a – b)^2$ = $(a + b)^2$ – 4ab = $7^2$ – 4 . 12 = 49 – 48 = 1
b) $(a + b)^2$ = $(a – b)^2$ + 4ab = $20^2$ + 4 . 3 = 400 + 12 = 412
Bài 24 trang 12 SGK đại số 8 tập 1
A = 49$x^2$ – 70x + 25 = $(7x)^2$ – 2.7x.5 + $5^2$ = $(7x – 5)^2$
a) khi x = 5:
A = $( 7.5 – 5)^2$ = 900
b) khi x = $\frac{1}{7}$
A = $( 7.\frac{1}{7} – 5)^2$ = 16
Bài 25 trang 12 SGK đại số 8 tập 1
a) $(a + b + c)^2$ ; b) $(a + b – c)^2$; c) $(a – b – c)^2$
Bài giải:
a) $(a + b + c)^2$ = $[(a + b) + c]^2$ = $(a + b)^2$ + 2(a + b)c + $c^2$
= $a^2$ + 2ab + $b^2$ + 2ac + 2bc + $c^2$
= $a^2$ + $b^2$ + $c^2$ + 2ab + 2bc + 2ac.
b) $(a + b – c)^2$ = $[(a + b) – c]^2$ = $(a + b)^2$ - 2(a + b)c + $c^2$
= $a^2$ + 2ab + $b^2$ - 2ac - 2bc + $c^2$
= $a^2$ + $b^2$ + $c^2$ + 2ab - 2bc - 2ac.
c) $(a – b –c)^2$ = $[(a – b) – c]^2$ = $(a – b)^2$ – 2(a – b)c + $c^2$
= $a^2$ – 2ab + $b^2$ – 2ac + 2bc + $c^2$
= $a^2$ + $b^2$ + $c^2$ – 2ab + 2bc – 2ac.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon