Giải bài kết hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Ngoài cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm các hạng tử, còn có thể kết hợp nhiều phương pháp với nhau.
Để biết cách kết hợp các phương pháp, ta thử giải các bài tập sau:
a) $x^3$ – 2$x^2$ + x = x ($x^2$ – 2x +1) $\rightarrow $ đặt nhân tử chung
= x$(x – 1)^2$ $\rightarrow $ dùng hằng đẳng thức 2
b) 2$x^2$ + 4x + 2 – 2$y^2$ = 2($x^2$ + 2x + 1 – $y^2$) $\rightarrow $ đặt nhân tử chung
= 2[(x + 1)2 – y2)] $\rightarrow $ dùng hằng đẳng thức 1
= 2(x + 1- y) (x + 1+ y) $\rightarrow $ dùng hằng đẳng thức 3
a) $x^2$ + x – 6 = $x^2$ + x – 4 – 2 $\rightarrow $ tách – 6 = – 4 – 2
= ($x^2$ – 4) + (x – 2) $\rightarrow $ nhóm các hạng tử
= (x – 2) (x + 2) + (x – 2) $\rightarrow $ dùng hằng đẳng thức 2.
= (x – 2) (x + 2 + 1) $\rightarrow $ đặt nhân tử chung
= (x – 2) (x + 3)
b) $x^2$ + 5x + 6 = $x^2$ + 2x + 3x + 6 $\rightarrow $ tách 5x = 2x + 3x
= x(x + 2) + 3(x + 2) $\rightarrow $ nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung
= (x + 2)(x + 3) $\rightarrow $ đặt nhân tử chung
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Để biết cách kết hợp các phương pháp, ta thử giải các bài tập sau:
Bài 51 trang 24 SGK đại số 8 tập 1
Phân tích đa thức thành nhân tửa) $x^3$ – 2$x^2$ + x = x ($x^2$ – 2x +1) $\rightarrow $ đặt nhân tử chung
= x$(x – 1)^2$ $\rightarrow $ dùng hằng đẳng thức 2
b) 2$x^2$ + 4x + 2 – 2$y^2$ = 2($x^2$ + 2x + 1 – $y^2$) $\rightarrow $ đặt nhân tử chung
= 2[(x + 1)2 – y2)] $\rightarrow $ dùng hằng đẳng thức 1
= 2(x + 1- y) (x + 1+ y) $\rightarrow $ dùng hằng đẳng thức 3
c) 2xy – $x^2$ – $y^2$ + 16
= 16 – ($x^2$ – 2xy + $y^2$) = 42 – $(x – y)^2$
= (4 – x + y)(4 + x – y)Bài 52 trang 24 SGK đại số 8 tập 1
Chứng minh rằng: $(5n + 2)^2$ – 4 chia hết cho 5 với mọi số
nguyên n.
Bài giải:
Ta có : $(5n + 2)^2$ – 4 = $(5n + 2)^2$ – $2^2$
= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)
= 5n(5n + 4)
Vì 5 chia hết cho 5 nên 5n(5n + 4) chia hết cho 5 ∀n ∈ Z.
Bài 53 trang 24 SGK đại số 8 tập 1
Phân tích đa thức thành nhân tửa) $x^2$ + x – 6 = $x^2$ + x – 4 – 2 $\rightarrow $ tách – 6 = – 4 – 2
= ($x^2$ – 4) + (x – 2) $\rightarrow $ nhóm các hạng tử
= (x – 2) (x + 2) + (x – 2) $\rightarrow $ dùng hằng đẳng thức 2.
= (x – 2) (x + 2 + 1) $\rightarrow $ đặt nhân tử chung
= (x – 2) (x + 3)
b) $x^2$ + 5x + 6 = $x^2$ + 2x + 3x + 6 $\rightarrow $ tách 5x = 2x + 3x
= x(x + 2) + 3(x + 2) $\rightarrow $ nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung
= (x + 2)(x + 3) $\rightarrow $ đặt nhân tử chung
c) $x^2$ + 5x + 6 = $x^2$ + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)
Bài 54 trang 25 SGK đại số 8 tập 1
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) $x^3$ + 2$x^2$y + x$y^2$– 9x = x($x^2$ +2xy + $y^2$ – 9)
= x[($x^2$ + 2xy + $y^2$) – 9]
= x[$(x + y)^2$ – $3^2$]
= x(x + y – 3)(x + y + 3)
b) 2x – 2y – $x^2$ + 2xy – $y^2$ = (2x – 2y) – ($x^2$ – 2xy + $y^2$)
= 2(x – y) – $(x – y)^2$
= (x – y)[2 – (x – y)]
= (x – y)(2 – x + y)
c) $x^4$ – 2$x^2$ = $x^2$[$x^2$ – $(\sqrt{2})^2$] = $x^2$(x - $\sqrt{2}$)(x + $\sqrt{2}$).
Bài 55 trang 25 SGK đại số 8 tập 1
Tìm x, biết:
a) $x^3$ – $\frac{1}{4}$x = 0 b) $(2x – 1)^2$ – $(x + 3)^2$ = 0 c) $x^2$(x – 3) + 12 – 4x = 0.
Bài giải:
a) $x^3$ – $\frac{1}{4}$x = 0 <=> x[$x^2$ – $(\frac{1}{2})^2$] = 0<=> x(x – $\frac{1}{2}$)(x + $\frac{1}{2}$) = 0
a) $x^3$ – $\frac{1}{4}$x = 0 b) $(2x – 1)^2$ – $(x + 3)^2$ = 0 c) $x^2$(x – 3) + 12 – 4x = 0.
Bài giải:
a) $x^3$ – $\frac{1}{4}$x = 0 <=> x[$x^2$ – $(\frac{1}{2})^2$] = 0<=> x(x – $\frac{1}{2}$)(x + $\frac{1}{2}$) = 0
Hoặc x = 0
Hoặc x - $\frac{1}{2}$ = 0 <=> x = $\frac{1}{2}$
Hoặc x + $\frac{1}{2}$ = 0 <=> x = -$\frac{1}{2}$
Vậy x = 0; x = -$\frac{1}{2}$ ; x = $\frac{1}{2}$.
b) $(2x – 1)^2$ – $(x + 3)^2$ = 0
<=> [(2x - 1) - (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = 0
<=> (2x - 1 - x - 3)(2x - 1 + x + 3) = 0
<=> (x - 4)(3x + 2) = 0
<=> x - 4 = 0 <=> x = 4
Hoặc 3x + 2 = 0 <=> 3x = -2 <=> x = -$\frac{2}{3}$
Vậy x = 4; x = -$\frac{2}{3}$ .
c) $x^2$(x – 3) + 12 – 4x = 0
<=> $x^2$(x – 3) - 4(x -3)= 0
<=> (x - 3)($x^2$ - $2^2$) = 0
<=> (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0
Hoặc x - 3 = 0 => x = 3
Hoặc x - 2 =0 => x = 2
Hoặc x + 2 = 0 => x = -2
Vậy x = 3; x = 2; x = -2.
Hoặc x - $\frac{1}{2}$ = 0 <=> x = $\frac{1}{2}$
Hoặc x + $\frac{1}{2}$ = 0 <=> x = -$\frac{1}{2}$
Vậy x = 0; x = -$\frac{1}{2}$ ; x = $\frac{1}{2}$.
b) $(2x – 1)^2$ – $(x + 3)^2$ = 0
<=> [(2x - 1) - (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = 0
<=> (2x - 1 - x - 3)(2x - 1 + x + 3) = 0
<=> (x - 4)(3x + 2) = 0
<=> x - 4 = 0 <=> x = 4
Hoặc 3x + 2 = 0 <=> 3x = -2 <=> x = -$\frac{2}{3}$
Vậy x = 4; x = -$\frac{2}{3}$ .
c) $x^2$(x – 3) + 12 – 4x = 0
<=> $x^2$(x – 3) - 4(x -3)= 0
<=> (x - 3)($x^2$ - $2^2$) = 0
<=> (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0
Hoặc x - 3 = 0 => x = 3
Hoặc x - 2 =0 => x = 2
Hoặc x + 2 = 0 => x = -2
Vậy x = 3; x = 2; x = -2.
Bài 56 trang 25 SGK đại số 8 tập 1
Tính nhanh giá trị của đa thức:
a) $x^2$ +$\frac{1}{2}$ x+ $\frac{1}{16}$ tại x = 49,75; b) $x^2$ – $y^2$ – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6.
Bài giải:
a) $x^2$ + $\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{16}$ tại x = 49,75
Ta có: $x^2$ + $\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{2}$ = $x^2$ + 2 . x . $\frac{1}{4}$ + ($\frac{1}{4}$)2 = $(x + \frac{1}{4})^2$
Với x = 49,75: $( 49,75 + \frac{1}{4})^2$ = $(49,75 + 0,25)^2$ = $50^2$ = 2500
b) $x^2$ – $y^2$ – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6
Ta có: $x^2$ – $y^2$ – 2y – 1 = $x^2$ – ($y^2$ + 2y + 1)
= $x^2$ - $(y + 1)^2$ = (x - y - 1)(x + y + 1)
Với x = 93, y = 6: (93 - 6 - 1)(93 + 6 + 1) = 86 . 100 = 8600.
a) $x^2$ +$\frac{1}{2}$ x+ $\frac{1}{16}$ tại x = 49,75; b) $x^2$ – $y^2$ – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6.
Bài giải:
a) $x^2$ + $\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{16}$ tại x = 49,75
Ta có: $x^2$ + $\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{2}$ = $x^2$ + 2 . x . $\frac{1}{4}$ + ($\frac{1}{4}$)2 = $(x + \frac{1}{4})^2$
Với x = 49,75: $( 49,75 + \frac{1}{4})^2$ = $(49,75 + 0,25)^2$ = $50^2$ = 2500
b) $x^2$ – $y^2$ – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6
Ta có: $x^2$ – $y^2$ – 2y – 1 = $x^2$ – ($y^2$ + 2y + 1)
= $x^2$ - $(y + 1)^2$ = (x - y - 1)(x + y + 1)
Với x = 93, y = 6: (93 - 6 - 1)(93 + 6 + 1) = 86 . 100 = 8600.
Bài 57 trang 25 SGK đại số 8 tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^2$ – 4x + 3 b) $x^2$ + 5x + 4 c) $x^2$ – x – 6 d) $x^4$ + 4
(Gợi ý câu d): Thêm và bớt 4x2 vào đa thức đã cho.
Giải:
a) $x^2$ – 4x + 3 = $x^2$ – x - 3x + 3
= x(x - 1) - 3(x - 1) = (x -1)(x - 3)
b) $x^2$ + 5x + 4 = $x^2$ + 4x + x + 4
= x(x + 4) + (x + 4)
= (x + 4)(x + 1)
c) $x^2$ – x – 6 = $x^2$ +2x – 3x – 6
= x(x + 2) - 3(x + 2)
= (x + 2)(x - 3)
d) $x^4$ + 4 = $x^4$ + 4$x^2$ + 4 – 4$x^2$
= $(x^2 + 2)^2$ – $(2x)^2$
= ($x^2$ + 2 – 2x)($x^2$ + 2 + 2x)
Bài 58 trang 25 SGK đại số 8 tập 1
Chứng minh rằng $n^3$ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Bài giải:
Ta có: $n^3$ – n = n($n^2$ – 1) = n(n – 1)(n + 1)
Với n ∈ Z, n(n – 1)(n + 1) là tích
của ba số nguyên liên tiếp. Do đó nó chia hết cho 2 và 3 mà 2 và 3 là
hai số nguyên tố cùng nhau nên $n^3$ – n chia hết cho 2.3 tức là chia hết cho 6.
EmoticonEmoticon