[Toán 9] Chứng minh AE.AB = AF.AC.
Ngày 26/08/2016, bạn Binh Thiên gửi câu hỏi:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng:
1) $BC^2$ = 3$AH^2$ + $BE^2$ + $CF^2$
2) $\frac{AB^2}{AC^2}$ = $\frac{BH}{CH}$
3) AE.AB = AF.AC
4) 2AB.AC = AE.AB + AF.AC
5) $AH^3$ = BC.BE.CF
6) $\frac{AB^3}{AC^3}$ = $\frac{BE}{CF}$.
Trả lời cho bạn:
Chào bạn! Bài chứng minh này đòi hỏi chúng ta phải nắm một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, nhớ định lí Pi-ta-go và thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ.
1) $BC^2$ = 3$AH^2$ + $BE^2$ + $CF^2$
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác BEH vuông tại E, ta có:
$BE^2$ = $BH^2$ - $EH^2$ (1)
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác BFH vuông tại F, ta có:
$CF^2$ = $CH^2$ - $FH^2$ (2)
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác EHF vuông tại H, ta có:
$EH^2$ + $FH^2$ = $EF^2$ (3)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ, ta có:
$BH^2$ + $CH^2$ = $(BH + CH)^2$ - 2BH.CH (4)
Áp dụng hệ thức bình phương đường cao ứng với cạnh huyền
trong tam giác vuông ABC, ta có:
$AH^2$ = BH.CH (5)
AH = EF (6) (là đường chéo của hình chữ nhật AEHF)
Ta sẽ vận dụng kết quả (1), (2), (3), (4), (5), (6) để biến đổi vế phải
VP = 3$AH^2$ + $BE^2$ + $CF^2$
= 3$AH^2$ + $BH^2$ - $EH^2$ + $CH^2$ - $FH^2$
= 3$AH^2$ + ($BH^2$ + $CH^2$) - ($EH^2$ + $FH^2$)
= 3$AH^2$ + $(BH + CH)^2$ - 2BH.CH - $EF^2$
= 3$AH^2$ + $BC^2$ - 2$AH^2$ - $EF^2$
= $AH^2$ - $EF^2$ + $BC^2$
= $AH^2$ - $AH^2$ + $BC^2$ = $BC^2$ = VT (đpcm)
2) $\frac{AB^2}{AC^2}$ = $\frac{BH}{CH}$
Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AB^2$ = BC.BH
$AC^2$ = BC. CH
Do đó: $\frac{AB^2}{AC^2}$ = $\frac{BC.BH}{BC.CH}$ = $\frac{BH}{CH}$ (đpcm)
3) AE.AB = AF.AC
Tam giác ABH vuông tại H có EH $\perp$ AB
Do đó: $AH^2$ = AE.AB (1)
Tam giác ACH vuông tại H có FH $\perp$ AC
Do đó: $AH^2$ = AF.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC (đpcm)
5) $AH^3$ = BC.BE.CF
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông:
➤ ABC ta có:
AB.AC = BC.AH => BC = $\frac{AB.AC}{AH}$ (1)
➤ AHB ta có:
$BH^2$ = AB.BE => BE = $\frac{BH^2}{AB}$
➤ AHC ta có:
$CH^2$ = AC.CF => CF = $\frac{CH^2}{AC}$
Khi đó: BE.CF = $\frac{BH^2}{AB}$.$\frac{CH^2}{AC}$
<=> BE.CF = $\frac{AH^4}{AB.AC}$ (vì $AH^2$ = BH.CH) (2)
Từ (1) và (2) ta có: BC.BE.CF = $\frac{AB.AC}{AH}$.$\frac{AH^4}{AB.AC}$
<=> BC.BE.CF = $AH^3$ (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng:
1) $BC^2$ = 3$AH^2$ + $BE^2$ + $CF^2$
2) $\frac{AB^2}{AC^2}$ = $\frac{BH}{CH}$
3) AE.AB = AF.AC
4) 2AB.AC = AE.AB + AF.AC
5) $AH^3$ = BC.BE.CF
6) $\frac{AB^3}{AC^3}$ = $\frac{BE}{CF}$.
Trả lời cho bạn:
Chào bạn! Bài chứng minh này đòi hỏi chúng ta phải nắm một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, nhớ định lí Pi-ta-go và thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ.
1) $BC^2$ = 3$AH^2$ + $BE^2$ + $CF^2$
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác BEH vuông tại E, ta có:
$BE^2$ = $BH^2$ - $EH^2$ (1)
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác BFH vuông tại F, ta có:
$CF^2$ = $CH^2$ - $FH^2$ (2)
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác EHF vuông tại H, ta có:
$EH^2$ + $FH^2$ = $EF^2$ (3)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ, ta có:
$BH^2$ + $CH^2$ = $(BH + CH)^2$ - 2BH.CH (4)
Áp dụng hệ thức bình phương đường cao ứng với cạnh huyền
trong tam giác vuông ABC, ta có:
$AH^2$ = BH.CH (5)
AH = EF (6) (là đường chéo của hình chữ nhật AEHF)
Ta sẽ vận dụng kết quả (1), (2), (3), (4), (5), (6) để biến đổi vế phải
VP = 3$AH^2$ + $BE^2$ + $CF^2$
= 3$AH^2$ + $BH^2$ - $EH^2$ + $CH^2$ - $FH^2$
= 3$AH^2$ + ($BH^2$ + $CH^2$) - ($EH^2$ + $FH^2$)
= 3$AH^2$ + $(BH + CH)^2$ - 2BH.CH - $EF^2$
= 3$AH^2$ + $BC^2$ - 2$AH^2$ - $EF^2$
= $AH^2$ - $EF^2$ + $BC^2$
= $AH^2$ - $AH^2$ + $BC^2$ = $BC^2$ = VT (đpcm)
2) $\frac{AB^2}{AC^2}$ = $\frac{BH}{CH}$
Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AB^2$ = BC.BH
$AC^2$ = BC. CH
Do đó: $\frac{AB^2}{AC^2}$ = $\frac{BC.BH}{BC.CH}$ = $\frac{BH}{CH}$ (đpcm)
3) AE.AB = AF.AC
Tam giác ABH vuông tại H có EH $\perp$ AB
Do đó: $AH^2$ = AE.AB (1)
Tam giác ACH vuông tại H có FH $\perp$ AC
Do đó: $AH^2$ = AF.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC (đpcm)
5) $AH^3$ = BC.BE.CF
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông:
➤ ABC ta có:
AB.AC = BC.AH => BC = $\frac{AB.AC}{AH}$ (1)
➤ AHB ta có:
$BH^2$ = AB.BE => BE = $\frac{BH^2}{AB}$
➤ AHC ta có:
$CH^2$ = AC.CF => CF = $\frac{CH^2}{AC}$
Khi đó: BE.CF = $\frac{BH^2}{AB}$.$\frac{CH^2}{AC}$
<=> BE.CF = $\frac{AH^4}{AB.AC}$ (vì $AH^2$ = BH.CH) (2)
Từ (1) và (2) ta có: BC.BE.CF = $\frac{AB.AC}{AH}$.$\frac{AH^4}{AB.AC}$
<=> BC.BE.CF = $AH^3$ (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
1 nhận xét:
Bấm vào đây để nhận xéteq
ReplyEmoticonEmoticon