[Toán 9] Chứng minh AE.AB = AF.AC.
Ngày 26/08/2016, bạn Binh Thiên gửi câu hỏi:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng:
1) BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2
2) AB2AC2 = BHCH
3) AE.AB = AF.AC
4) 2AB.AC = AE.AB + AF.AC
5) AH3 = BC.BE.CF
6) AB3AC3 = BECF.
Trả lời cho bạn:
Chào bạn! Bài chứng minh này đòi hỏi chúng ta phải nắm một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, nhớ định lí Pi-ta-go và thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ.
1) BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác BEH vuông tại E, ta có:
BE2 = BH2 - EH2 (1)
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác BFH vuông tại F, ta có:
CF2 = CH2 - FH2 (2)
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác EHF vuông tại H, ta có:
EH2 + FH2 = EF2 (3)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ, ta có:
BH2 + CH2 = (BH+CH)2 - 2BH.CH (4)
Áp dụng hệ thức bình phương đường cao ứng với cạnh huyền
trong tam giác vuông ABC, ta có:
AH2 = BH.CH (5)
AH = EF (6) (là đường chéo của hình chữ nhật AEHF)
Ta sẽ vận dụng kết quả (1), (2), (3), (4), (5), (6) để biến đổi vế phải
VP = 3AH2 + BE2 + CF2
= 3AH2 + BH2 - EH2 + CH2 - FH2
= 3AH2 + (BH2 + CH2) - (EH2 + FH2)
= 3AH2 + (BH+CH)2 - 2BH.CH - EF2
= 3AH2 + BC2 - 2AH2 - EF2
= AH2 - EF2 + BC2
= AH2 - AH2 + BC2 = BC2 = VT (đpcm)
2) AB2AC2 = BHCH
Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
AB2 = BC.BH
AC2 = BC. CH
Do đó: AB2AC2 = BC.BHBC.CH = BHCH (đpcm)
3) AE.AB = AF.AC
Tam giác ABH vuông tại H có EH ⊥ AB
Do đó: AH2 = AE.AB (1)
Tam giác ACH vuông tại H có FH ⊥ AC
Do đó: AH2 = AF.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC (đpcm)
5) AH3 = BC.BE.CF
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông:
➤ ABC ta có:
AB.AC = BC.AH => BC = AB.ACAH (1)
➤ AHB ta có:
BH2 = AB.BE => BE = BH2AB
➤ AHC ta có:
CH2 = AC.CF => CF = CH2AC
Khi đó: BE.CF = BH2AB.CH2AC
<=> BE.CF = AH4AB.AC (vì AH2 = BH.CH) (2)
Từ (1) và (2) ta có: BC.BE.CF = AB.ACAH.AH4AB.AC
<=> BC.BE.CF = AH3 (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng:
1) BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2
2) AB2AC2 = BHCH
3) AE.AB = AF.AC
4) 2AB.AC = AE.AB + AF.AC
5) AH3 = BC.BE.CF
6) AB3AC3 = BECF.
Trả lời cho bạn:
Chào bạn! Bài chứng minh này đòi hỏi chúng ta phải nắm một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, nhớ định lí Pi-ta-go và thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ.
1) BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác BEH vuông tại E, ta có:
BE2 = BH2 - EH2 (1)
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác BFH vuông tại F, ta có:
CF2 = CH2 - FH2 (2)
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác EHF vuông tại H, ta có:
EH2 + FH2 = EF2 (3)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ, ta có:
BH2 + CH2 = (BH+CH)2 - 2BH.CH (4)
Áp dụng hệ thức bình phương đường cao ứng với cạnh huyền
trong tam giác vuông ABC, ta có:
AH2 = BH.CH (5)
AH = EF (6) (là đường chéo của hình chữ nhật AEHF)
Ta sẽ vận dụng kết quả (1), (2), (3), (4), (5), (6) để biến đổi vế phải
VP = 3AH2 + BE2 + CF2
= 3AH2 + BH2 - EH2 + CH2 - FH2
= 3AH2 + (BH2 + CH2) - (EH2 + FH2)
= 3AH2 + (BH+CH)2 - 2BH.CH - EF2
= 3AH2 + BC2 - 2AH2 - EF2
= AH2 - EF2 + BC2
= AH2 - AH2 + BC2 = BC2 = VT (đpcm)
2) AB2AC2 = BHCH
Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
AB2 = BC.BH
AC2 = BC. CH
Do đó: AB2AC2 = BC.BHBC.CH = BHCH (đpcm)
3) AE.AB = AF.AC
Tam giác ABH vuông tại H có EH ⊥ AB
Do đó: AH2 = AE.AB (1)
Tam giác ACH vuông tại H có FH ⊥ AC
Do đó: AH2 = AF.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC (đpcm)
5) AH3 = BC.BE.CF
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông:
➤ ABC ta có:
AB.AC = BC.AH => BC = AB.ACAH (1)
➤ AHB ta có:
BH2 = AB.BE => BE = BH2AB
➤ AHC ta có:
CH2 = AC.CF => CF = CH2AC
Khi đó: BE.CF = BH2AB.CH2AC
<=> BE.CF = AH4AB.AC (vì AH2 = BH.CH) (2)
Từ (1) và (2) ta có: BC.BE.CF = AB.ACAH.AH4AB.AC
<=> BC.BE.CF = AH3 (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
1 nhận xét:
Bấm vào đây để nhận xéteq
ReplyEmoticonEmoticon