Giải bài tập tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Trong bài tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, cô giáo đã trang bị cho ta nhiều kiến thức. Tuy nhiên, nếu chưa nắm được tất cả thì hãy ghi nhớ định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau, để áp dụng giải những bài tập dưới đây.
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2cm, OA = 4cm.
Bài giải:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có
AB = AC
AO là phân giác góc BAC.
Khi đó tam giác ABC cân tại A có AO là phân giác vừa là đường cao.
Do đó AO $\perp$ BC (đpcm)
b) Gọi H là giao điểm của AO và BC.
Ta có AO là phân giác vừa là trung trực nên BH = CH
OC = OD (bằng R)
Suy ra OH là đường trung bình của tam giác BDC
Do đó OH // BD hay OA // BD (đpcm)
c) Ta có AB $\perp$ OB (AB là tiếp tuyến với B là tiếp điểm)
Nên tam giác ABO vuông tại B
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABO, ta có:
$OB^2$ + $AB^2$ = $OA^2$
=> $AB^2$ = $OA^2$ - $OB^2$ = $4^2$ - $2^2$ = 16 - 4 = 12
=> AB = $\sqrt{12}$ = 2$\sqrt{3}$
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABO, ta có:
sin $\widehat{OAB}$ = $\frac{OB}{OA}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$
=> $\widehat{OAB}$ = $30^0$
Ta có $\widehat{BAC}$ = 2$\widehat{OAB}$ (AO là phân giác)
=> $\widehat{BAC}$ = 2.$30^0$ = $60^0$
Tam giác ABC cân tại A có $\widehat{BAC}$ = $60^0$ nên ABC là tam giác đều
Nên AB = AC = BC = 2$\sqrt{3}$
Bài giải:
Theo đề bài AB, AC, DE là các tiếp tuyến của đường tròn (O)
Nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AB = AC
DB = DM
EM = EC
Ta có chu vi tam giác ADE bằng:
AD + DE + EA = AD + DM + EM + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = AB + AB = 2AB
Vậy $C_{\Delta ADE}$ = 2AB (đpcm)
Bài giải:
Gọi O là tâm đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy. Vẽ OH $\perp$ Ox tại H, OK $\perp$ Oy tại K.
Khi đó OH = OK (= R)
Nghĩa là khoảng cách từ tâm O đến cạnh Ax, Ay đều bằng nhau.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì tâm O các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc xAy.
Bài giải:
# Phân tích: Giả sử đường tròn (O) đã được dựng xong, tức ta có đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh Ax tại B và tiếp xúc với cạnh Ay của góc xAy.
# Cách dựng:
- Qua B thuộc Ax, dựng đường thẳng d vuông góc với Ax.
- Dựng tia Az là tia phân giác của góc xAy, cắt đường thẳng d tại O.
- Dựng đường tròn (O ; OB)
Đường tròn (O) là đường tròn cần dựng.
# Chứng minh:
Thật vậy, ta có tâm O của đường tròn nằm trên đường phân giác Az của góc xAy nên đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
Vậy là ta đã hoàn thành những bài tập về tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. Một cảm giác hài lòng lan tỏa, bởi ta đã nâng cao khả năng vận dụng những tính chất của tiếp tuyến vào các bài tập chứng minh, tính toán và dựng hình. Bên cạnh đó, rèn luyện thêm được kĩ năng vẽ hình (một yêu cầu không kém phần quan trọng nhưng ta thường bỏ qua).
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 26 trang 115 sgk hình học 9 tập 1
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2cm, OA = 4cm.
Bài giải:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có
AB = AC
AO là phân giác góc BAC.
Khi đó tam giác ABC cân tại A có AO là phân giác vừa là đường cao.
Do đó AO $\perp$ BC (đpcm)
 |
| DB song song OA. |
b) Gọi H là giao điểm của AO và BC.
Ta có AO là phân giác vừa là trung trực nên BH = CH
OC = OD (bằng R)
Suy ra OH là đường trung bình của tam giác BDC
Do đó OH // BD hay OA // BD (đpcm)
c) Ta có AB $\perp$ OB (AB là tiếp tuyến với B là tiếp điểm)
Nên tam giác ABO vuông tại B
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABO, ta có:
$OB^2$ + $AB^2$ = $OA^2$
=> $AB^2$ = $OA^2$ - $OB^2$ = $4^2$ - $2^2$ = 16 - 4 = 12
=> AB = $\sqrt{12}$ = 2$\sqrt{3}$
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABO, ta có:
sin $\widehat{OAB}$ = $\frac{OB}{OA}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$
=> $\widehat{OAB}$ = $30^0$
Ta có $\widehat{BAC}$ = 2$\widehat{OAB}$ (AO là phân giác)
=> $\widehat{BAC}$ = 2.$30^0$ = $60^0$
Tam giác ABC cân tại A có $\widehat{BAC}$ = $60^0$ nên ABC là tam giác đều
Nên AB = AC = BC = 2$\sqrt{3}$
Giải bài 27 trang 115 sgk hình học 9 tập 1
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.Bài giải:
 |
| Chu vi tam giác ADE bằng 2AB. |
Nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AB = AC
DB = DM
EM = EC
Ta có chu vi tam giác ADE bằng:
AD + DE + EA = AD + DM + EM + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = AB + AB = 2AB
Vậy $C_{\Delta ADE}$ = 2AB (đpcm)
Giải bài 28 trang 116 sgk hình học 9 tập 1
Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào?Bài giải:
Gọi O là tâm đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy. Vẽ OH $\perp$ Ox tại H, OK $\perp$ Oy tại K.
Khi đó OH = OK (= R)
Nghĩa là khoảng cách từ tâm O đến cạnh Ax, Ay đều bằng nhau.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì tâm O các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc xAy.
Giải bài 29 trang 116 sgk hình học 9 tập 1
Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.Bài giải:
# Phân tích: Giả sử đường tròn (O) đã được dựng xong, tức ta có đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh Ax tại B và tiếp xúc với cạnh Ay của góc xAy.
 |
| Đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B. |
# Cách dựng:
- Qua B thuộc Ax, dựng đường thẳng d vuông góc với Ax.
- Dựng tia Az là tia phân giác của góc xAy, cắt đường thẳng d tại O.
- Dựng đường tròn (O ; OB)
Đường tròn (O) là đường tròn cần dựng.
# Chứng minh:
Thật vậy, ta có tâm O của đường tròn nằm trên đường phân giác Az của góc xAy nên đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
Vậy là ta đã hoàn thành những bài tập về tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. Một cảm giác hài lòng lan tỏa, bởi ta đã nâng cao khả năng vận dụng những tính chất của tiếp tuyến vào các bài tập chứng minh, tính toán và dựng hình. Bên cạnh đó, rèn luyện thêm được kĩ năng vẽ hình (một yêu cầu không kém phần quan trọng nhưng ta thường bỏ qua).
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon