Luyện tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Giải bài 34 trang 24 sgk đại số 9 tập 2
Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau bắp cải?(Số cây trong các luống như nhau)
Bài giải:
Gọi x (x > 0) là số luống rau, y (y > 0) là số cây của mỗi luống
Tăng thêm 8 luống, mỗi luống ít đi 3 cây thì số rau toàn vườn ít đi 54 nên ta có: (x + 8)(y - 3) = xy -54
Giảm đi 4 luống, mỗi luống thêm 2 cây thì số rau toàn vườn tăng thêm 32 cây nên ta có: (x - 4)(y + 2) = xy + 32
Ta được hệ phương trình:
$\begin{cases}(x + 8)(y - 3) = xy -54\\(x - 4)(y + 2) = xy + 32\end{cases}$
<=> $\begin{cases}xy + 8y - 3x - 24 = xy -54\\xy - 4y + 2x - 8 = xy + 32\end{cases}$ <=> $\begin{cases}8y - 3x = -30\\-4y + 2x = 40\end{cases}$
<=> $\begin{cases}8y - 3x = -30\\-8y + 4x = 80\end{cases}$ <=> $\begin{cases}x = 50\\8y = -30 + 3.50\end{cases}$ <=> $\begin{cases}x = 50\\y = 15\end{cases}$
Vậy số cây bắp cải nhà Lan trồng là 50 . 15 = 750 (cây).
Giải bài 35 trang 24 sgk đại số 9 tập 2
Bài toán cổ Ấn Độ. Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi?Bài giải:
Gọi x (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên (x > 0)
y (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng thơm (y > 0)
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}9x + 8y = 107\\7x + 7y = 91\end{cases}$
Giải ra ta được x = 3, y = 10
Vậy mỗi quả thanh yên giá 3 rupi, mỗi quả táo rừng giá 10 rupi.
Giải bài 36 trang 24 sgk đại số 9 tập 2
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *):
Điểm
số của mỗi lần bắn
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
Số
lần bắn
|
25
|
42
|
*
|
15
|
*
|
Bài giải:
Gọi x là số lần bắn được 8 điểm, y là số lần bắn được 6 điểm
Điều kiện $\begin{cases}x, y \in N\\0 \leq x, y \leq 100\end{cases}$
Theo đề ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}10.25 + 9.42 + 8.x + 7.15 + 6.y = 8,69.100\\25 + 42 + x + 15 + y = 100 \end{cases}$
<=> $\begin{cases}8x + 6y = 116\\x + y = 18 \end{cases}$
<=> $\begin{cases}8x + 6y = 116\\8x + 8y = 144 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}2y = 28\\x = 18 - y \end{cases}$ <=> $\begin{cases}y = 14\\x = 4 \end{cases}$
Vậy có 4 lần bắn được 8 điểm, 14 lần bắn được 6 điểm.
Giải bài 37 trang 24 sgk đại số 9 tập 2
Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
Bài giải:
Gọi x (cm/s) là vận tốc của vật thứ nhất (x > 0)
y (cm/s) là vận tốc của vật thứ hai (y > 0)
Giả sử vật thứ nhất đi nhanh hơn vật thứ hai, nghĩa là x > y
Cứ 20 giây hai vật lại gặp nhau nếu chuyển động cùng chiều, nghĩa là quãng đường mà vật thứ nhất đi được trong 20s hơn quãng đường mà vật thứ hai đi được trong cùng thời gian là 20$\pi$ (đúng 1 vòng). Khi đó ta có phương trình:
20x - 20y = 20$\pi$
Nếu chuyển động ngược chiều, cứ 4s hai vật lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong 4s là đúng một vòng. Khi đó ta có phương trình:
4x + 4y = 20$\pi$
Ta được hệ phương trình:
$\begin{cases}20x - 20y = 20\pi\\4x + 4y = 20\pi \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x - y = \pi\\x + y = 5\pi \end{cases}$
<=> $\begin{cases}2y = 4\pi\\x = 5\pi - y \end{cases}$ <=> $\begin{cases}y = 2\pi\\x = 3\pi \end{cases}$
Vậy vận tốc của vật thứ nhất là 3$\pi$ (cm/s), vận tốc của vật thứ hai là 2$\pi$ (cm/s).
y (cm/s) là vận tốc của vật thứ hai (y > 0)
Giả sử vật thứ nhất đi nhanh hơn vật thứ hai, nghĩa là x > y
Cứ 20 giây hai vật lại gặp nhau nếu chuyển động cùng chiều, nghĩa là quãng đường mà vật thứ nhất đi được trong 20s hơn quãng đường mà vật thứ hai đi được trong cùng thời gian là 20$\pi$ (đúng 1 vòng). Khi đó ta có phương trình:
20x - 20y = 20$\pi$
Nếu chuyển động ngược chiều, cứ 4s hai vật lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong 4s là đúng một vòng. Khi đó ta có phương trình:
4x + 4y = 20$\pi$
Ta được hệ phương trình:
$\begin{cases}20x - 20y = 20\pi\\4x + 4y = 20\pi \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x - y = \pi\\x + y = 5\pi \end{cases}$
<=> $\begin{cases}2y = 4\pi\\x = 5\pi - y \end{cases}$ <=> $\begin{cases}y = 2\pi\\x = 3\pi \end{cases}$
Vậy vận tốc của vật thứ nhất là 3$\pi$ (cm/s), vận tốc của vật thứ hai là 2$\pi$ (cm/s).
Giải bài 38 trang 24 sgk đại số 9 tập 2
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được $\frac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
Bài giải:
Ta có 1 giờ 20 phút = 80 phút
Giả sử khi chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong x (phút), vòi thứ hai chảy đầy bể trong y (phút) (x > 0, y > 0)
Trong 1 phút:
- Vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể
- Vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể
- Cả hai vòi cùng chảy được $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ bể
Theo đề thì trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy sẽ được $\frac{1}{80}$
Nên suy ra: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{80}$
Trong 10 phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{10}{x}$ bể, trong 12 phút vòi thứ hai chảy được $\frac{12}{y}$ bể
Theo đề cả hai vòi cùng chảy thì được $\frac{2}{15}$ bể
Nên ta có: $\frac{10}{x}$ + $\frac{12}{y}$ = $\frac{2}{15}$
Từ đó ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80}\\\frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} \end{cases}$ <=> $\begin{cases}\frac{10}{x} + \frac{10}{y} = \frac{10}{80}\\\frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} \end{cases}$ <=> $\begin{cases} \frac{2}{y} = \frac{1}{120}\\\frac{1}{x} = \frac{1}{80} - \frac{1}{y} \end{cases}$
<=> $\begin{cases} y = 240\\\frac{1}{x} = \frac{1}{120} \end{cases}$ <=> $\begin{cases} y = 240\\x = 120 \end{cases}$
Vậy nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 120 phút, vòi thứ hai chảy đầy bể trong 240 phút.
Bài giải:
Ta có 1 giờ 20 phút = 80 phút
Giả sử khi chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong x (phút), vòi thứ hai chảy đầy bể trong y (phút) (x > 0, y > 0)
Trong 1 phút:
- Vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể
- Vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể
- Cả hai vòi cùng chảy được $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ bể
Theo đề thì trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy sẽ được $\frac{1}{80}$
Nên suy ra: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{80}$
Trong 10 phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{10}{x}$ bể, trong 12 phút vòi thứ hai chảy được $\frac{12}{y}$ bể
Theo đề cả hai vòi cùng chảy thì được $\frac{2}{15}$ bể
Nên ta có: $\frac{10}{x}$ + $\frac{12}{y}$ = $\frac{2}{15}$
Từ đó ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80}\\\frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} \end{cases}$ <=> $\begin{cases}\frac{10}{x} + \frac{10}{y} = \frac{10}{80}\\\frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} \end{cases}$ <=> $\begin{cases} \frac{2}{y} = \frac{1}{120}\\\frac{1}{x} = \frac{1}{80} - \frac{1}{y} \end{cases}$
<=> $\begin{cases} y = 240\\\frac{1}{x} = \frac{1}{120} \end{cases}$ <=> $\begin{cases} y = 240\\x = 120 \end{cases}$
Vậy nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 120 phút, vòi thứ hai chảy đầy bể trong 240 phút.
Giải bài 39 trang 25 sgk đại số 9 tập 2
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
Bài giải:
Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, y triệu đồng cho loại hàng thứ hai.
Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT 10%) là $\frac{110}{100}$x triệu đồng, cho loại hàng thứ hải (kể cả thuế VAT 8%) là $\frac{108}{100}$y triệu đồng.
Ta có phương trình: $\frac{110}{100}$x + $\frac{108}{100}$y = 2,17 <=> 1,1x + 1,08y = 2,17
Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là
$\frac{109}{100}$(x + y) = 2,18 <=> 1,09x + 1,09y = 2,18
Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} 1,1x + 1,08y = 2,17\\1,09x + 1,09y = 2,18\end{cases}$
Giải ra được x = 0,5; y = 1,5
Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai.
Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, y triệu đồng cho loại hàng thứ hai.
Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT 10%) là $\frac{110}{100}$x triệu đồng, cho loại hàng thứ hải (kể cả thuế VAT 8%) là $\frac{108}{100}$y triệu đồng.
Ta có phương trình: $\frac{110}{100}$x + $\frac{108}{100}$y = 2,17 <=> 1,1x + 1,08y = 2,17
Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là
$\frac{109}{100}$(x + y) = 2,18 <=> 1,09x + 1,09y = 2,18
Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} 1,1x + 1,08y = 2,17\\1,09x + 1,09y = 2,18\end{cases}$
Giải ra được x = 0,5; y = 1,5
Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai.
Xem bài trước: Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
EmoticonEmoticon