Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tt)
Giải bài 31 trang 23 sgk đại số 9 tập 2
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 $cm^2$, và nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 $cm^2$Bài giải:
Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông (x > 0, y > 0)
Khi đó diện tích tam giác vuông là $\frac{1}{2}$xy
Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng thêm 36 $cm^2$ nên ta có:
$\frac{1}{2}$(x + 3)(y + 3) = $\frac{1}{2}$xy + 36
Một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích tam giác giảm đi 26 $cm^2$ nên ta có:
$\frac{1}{2}$(x - 2)(y - 4) = $\frac{1}{2}$xy - 26
Ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}\frac{1}{2}(x + 3)(y + 3) = \frac{1}{2}xy + 36\\\frac{1}{2}(x - 2)(y - 4) = \frac{1}{2}xy - 26\end{cases}$
<=> $\begin{cases}(x + 3)(y + 3) = xy + 72\\(x - 2)(y - 4) = xy - 52\end{cases}$
<=> $\begin{cases}xy + 3y + 3x + 9 = xy + 72\\xy - 2y - 4x + 8 = xy - 52\end{cases}$
<=> $\begin{cases}3y + 3x = 63\\2y + 4x = 60\end{cases}$ <=> $\begin{cases}y + x = 21\\y + 2x = 30\end{cases}$
<=> $\begin{cases}x = 9\\y = 21 - x\end{cases}$ <=> $\begin{cases}x = 9\\y = 12\end{cases}$
Vậy độ dài của hai cạnh góc vuông là 9 cm và 12 cm
Giải bài 32 trang 23 sgk đại số 9 tập 2
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 4$\frac{4}{5}$ giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau $\frac{6}{5}$ giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?Bài giải:
Ta có: 4$\frac{4}{5}$ = $\frac{24}{5}$
Gọi x (giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể (x > $\frac{24}{5}$)
y (giờ) là thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể (y > $\frac{24}{5}$)
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể
Cả hai vòi cùng chảy thì đầy bể sau $\frac{24}{5}$ giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được $\frac{5}{24}$ bể
Ta có phương trình: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{5}{24}$
Trong 9 giờ cả hai vòi chảy được $\frac{9}{x}$ bể
Trong $\frac{6}{5}$ giờ cả hai vòi chảy được $\frac{6}{5}$($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$) bể
Ta có phương trình: $\frac{9}{x}$ + $\frac{6}{5}$($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$) = 1
Giải hệ phương trình $\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{24}\\\frac{9}{x} + \frac{6}{5}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1\end{cases}$ ta được x = 12, y = 8
Vậy ngay từ đầu nếu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.
Giải bài 33 trang 24 sgk đại số 9 tập 2
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?Bài giải:
Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc (x > 0, y > 0)
Như vậy trong 1 giờ:
- Người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc.
- Người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.
- Cả hai người làm được $\frac{1}{x}$
Theo đề hai người làm chung thì xong việc trong 16 giờ nên trong 1 giờ hai người làm chung thì được $\frac{1}{16}$ công việc
Từ đó ta có phương trình:
$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{16}$
Trong 3 giờ người thứ nhất làm được $\frac{3}{x}$ công việc
Trong 6 giờ người thứ hai làm được $\frac{6}{y}$ công việc
Khi đó chỉ hoàn thành được 25% = $\frac{1}{4}$ công việc
Ta có phương trình:
$\frac{3}{x}$ + $\frac{6}{y}$ = $\frac{1}{4}$
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{cases}$ <=> $\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}\\\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{12}\end{cases}$
<=> $\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}\\ \frac{1}{y} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} \end{cases}$ <=> $\begin{cases}\frac{1}{x} = \frac{1}{16} - \frac{1}{y}\\ \frac{1}{y} = \frac{1}{48} \end{cases}$
<=> $\begin{cases}\frac{1}{x} = \frac{1}{16} - \frac{1}{48}\\ y = 48 \end{cases}$ <=> $\begin{cases}x = 24\\ y = 48 \end{cases}$
Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ, người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.
Xem bài trước: Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
EmoticonEmoticon