[Toán 9] Chứng minh trọng tâm G chạy trên 1 đường tròn cố định.
Ngày 12/3/2017, bạn Nguyễn Hưng gửi bài tập.
Cho 3 điểm ABC trên 1 đường thẳng theo thứ tự và AB nhỏ hơn BC. Một đường thẳng d vuông góc với AC tại A. Dựng đường tròn đường kính BC. Tia CM cắt d tại D. Tia MA cắt đường tròn ở N (M là 1 điểm bất kì trên đường tròn nhé ) tia DB cắt đường tròn tại P.
a) Chứng minh A,B,M,D cùng thuộc đường tròn và xác định tâm đường tròn này
b) Chứng minh CM.CD không phụ thuộc vào M.
c) Tứ giác APND là hình gì?
d) Chứng minh trọng tâm G chạy trên 1 đường tròn cố định.
Trả lời cho bạn:
Trước khi giải bài tập này, bạn nên xem lại những kiến thức về Góc nội tiếp, Hình thang, các kiến thức về trọng tâm của tam giác, cách chứng minh hai đường thẳng song song .....
a) Ta có $\widehat{BMC}$ = $90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> $\widehat{DMB}$ = $90^0$ (kề bù với $\widehat{BMC}$)
Ta cũng có $\widehat{DAB}$ = $90^0$ (theo giả thiết d $\perp$ AC)
Như vậy điểm A và M cùng nhìn BD dưới một góc vuông.
Do đó A, B, M, D cùng thuộc đường tròn đường kính BD. Tâm của đường tròn chính là trung điểm của đoạn BD.
b) Xét hai tam giác CBM và CDA có:
$\widehat{DAC}$ = $\widehat{BMC}$ = $90^0$
$\widehat{C}$ chung.
Nên $\Delta$ CBM $\sim$ $\Delta$ CDA
=> $\frac{CM}{CA}$ = $\frac{CB}{CD}$
=> CM.CD = CB.CA
Mà A, B, C cố định nên CB.CA không đổi.
Suy ra CM.CD không phụ thuộc vào điểm M.
c) Ta có: $\widehat{ADB}$ = $\widehat{AMB}$ (cùng chắn cung AB)
Mà $\widehat{NAB}$ = $\widehat{BPN}$ (cùng chắn cung BN)
Hay $\widehat{AMB}$ = $\widehat{BPN}$.
Suy ra $\widehat{ADB}$ = $\widehat{BPN}$
Mà $\widehat{ADB}$ và $\widehat{BPN}$ ở vị trí so le trong.
Nên DA // NP.
Do đó APND là hình thang.
d) Gọi I là trung điểm của AB.
Từ trọng tâm G, kẻ đường thẳng song song với OM cắt AB tại H.
Vì G là trọng tâm tam giác BAM nên G thuộc MI và $\frac{IG}{IM}$ = $\frac{1}{3}$.
Áp dụng hệ quả của định lí Talet, ta có:
$\frac{GH}{OM}$ = $\frac{IG}{IM}$ = $\frac{IH}{IO}$.
Suy ra $\frac{GH}{OM}$ = $\frac{IH}{IO}$ = $\frac{1}{3}$.
Vì A, B, C cố định nên bán kính OM = R của đường tròn đường kính BA không đổi.
Suy ra GH = $\frac{1}{3}$R không đổi.
A, B, C cố định => O và I cố định.
Suy ra IH = $\frac{1}{3}$IO không đổi => H cố định.
Do H cố định, HG không đổi nên G di động trên đường tròn (H) cố định.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho 3 điểm ABC trên 1 đường thẳng theo thứ tự và AB nhỏ hơn BC. Một đường thẳng d vuông góc với AC tại A. Dựng đường tròn đường kính BC. Tia CM cắt d tại D. Tia MA cắt đường tròn ở N (M là 1 điểm bất kì trên đường tròn nhé ) tia DB cắt đường tròn tại P.
a) Chứng minh A,B,M,D cùng thuộc đường tròn và xác định tâm đường tròn này
b) Chứng minh CM.CD không phụ thuộc vào M.
c) Tứ giác APND là hình gì?
d) Chứng minh trọng tâm G chạy trên 1 đường tròn cố định.
Trả lời cho bạn:
Trước khi giải bài tập này, bạn nên xem lại những kiến thức về Góc nội tiếp, Hình thang, các kiến thức về trọng tâm của tam giác, cách chứng minh hai đường thẳng song song .....
a) Ta có $\widehat{BMC}$ = $90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> $\widehat{DMB}$ = $90^0$ (kề bù với $\widehat{BMC}$)
Ta cũng có $\widehat{DAB}$ = $90^0$ (theo giả thiết d $\perp$ AC)
Như vậy điểm A và M cùng nhìn BD dưới một góc vuông.
Do đó A, B, M, D cùng thuộc đường tròn đường kính BD. Tâm của đường tròn chính là trung điểm của đoạn BD.
b) Xét hai tam giác CBM và CDA có:
$\widehat{DAC}$ = $\widehat{BMC}$ = $90^0$
$\widehat{C}$ chung.
Nên $\Delta$ CBM $\sim$ $\Delta$ CDA
=> $\frac{CM}{CA}$ = $\frac{CB}{CD}$
=> CM.CD = CB.CA
Mà A, B, C cố định nên CB.CA không đổi.
Suy ra CM.CD không phụ thuộc vào điểm M.
c) Ta có: $\widehat{ADB}$ = $\widehat{AMB}$ (cùng chắn cung AB)
Mà $\widehat{NAB}$ = $\widehat{BPN}$ (cùng chắn cung BN)
Hay $\widehat{AMB}$ = $\widehat{BPN}$.
Suy ra $\widehat{ADB}$ = $\widehat{BPN}$
Mà $\widehat{ADB}$ và $\widehat{BPN}$ ở vị trí so le trong.
Nên DA // NP.
Do đó APND là hình thang.
d) Gọi I là trung điểm của AB.
Từ trọng tâm G, kẻ đường thẳng song song với OM cắt AB tại H.
Vì G là trọng tâm tam giác BAM nên G thuộc MI và $\frac{IG}{IM}$ = $\frac{1}{3}$.
Áp dụng hệ quả của định lí Talet, ta có:
$\frac{GH}{OM}$ = $\frac{IG}{IM}$ = $\frac{IH}{IO}$.
Suy ra $\frac{GH}{OM}$ = $\frac{IH}{IO}$ = $\frac{1}{3}$.
Vì A, B, C cố định nên bán kính OM = R của đường tròn đường kính BA không đổi.
Suy ra GH = $\frac{1}{3}$R không đổi.
A, B, C cố định => O và I cố định.
Suy ra IH = $\frac{1}{3}$IO không đổi => H cố định.
Do H cố định, HG không đổi nên G di động trên đường tròn (H) cố định.
EmoticonEmoticon