Giải SBT toán 9 đồ thị hàm số y = ax + b.
Kỹ năng vẽ đồ thị hàm số sẽ được hoàn thiện khi hoàn thành những bài tập về đồ thị hàm số y = ax + b trong SBT toán 9 này.
y = x + $\sqrt{3}$ (1)
y = 2x + $\sqrt{3}$ (2)
b) Gọi giao điểm của đường thẳng y = x + $\sqrt{3}$ với trục Oy, Ox theo thứ tự là A, B và giao điểm của đường thẳng y = 2x + $\sqrt{3}$ với trục Oy, Ox theo thứ tự là A, C. Tính các góc của tam giác ABC (dùng máy tính bỏ túi CASIO fx-220 hoặc CASIO fx-500A).
Bài giải:
a)
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = x + $\sqrt{3}$
Cho x = 0 => y = $\sqrt{3}$
Cho y = 0 => x = -$\sqrt{3}$
Nghĩa là ta phải đi tìm điểm trên tia Oy có tung độ bằng $\sqrt{3}$ và điểm trên Ox có hoành độ -$\sqrt{3}$, nhưng bằng cách nào?
- Dựng điểm M(1 ; 1). Khi đó ta tính được $OM^2$ = $1^2$ + $1^2$ => OM = $\sqrt{2}$
- Vẽ cung tròn tâm O, bán kính OM cắt tia Ox tại điểm có hoành độ bằng $\sqrt{2}$
- Dựng điểm N($\sqrt{2}$ ; 1). Khi đó ta tính được $ON^2$ = $1^2$ + $(\sqrt{2})^2$ => ON = $\sqrt{3}$
- Vẽ cung tròn tâm O bán kính ON = $\sqrt{3}$ cắt trục tung tại điểm A có tung độ bằng $\sqrt{3}$ và cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng -$\sqrt{3}$.
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A(0 ; $\sqrt{3}$) và B(-$\sqrt{3}$ ; 0) ta được đồ thị của hàm số y = x + $\sqrt{3}$.
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + $\sqrt{3}$
Cho x = 0 => y = $\sqrt{3}$, ta được điểm A(0 ; $\sqrt{3}$)
Cho y = 0 => x = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$, ta được điểm C(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; 0)
Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm A và C chính là đồ thị của hàm số y = 2x + $\sqrt{3}$.
b) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn vào tam giác OAB, ta có:
tg $\widehat{ABO}$ = $\frac{OA}{OB}$ = $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 1
=> $\widehat{ABO}$ = $45^0$
hay $\widehat{ABC}$ = $45^0$
tg $\widehat{ACO}$ = $\frac{OA}{OC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 2.
Đến đây ta phải dùng máy tính bỏ túi, tính xem góc ACO bằng bao nhiêu độ. Để làm được điều đó, ta bấm lần lượt các phím sau: 2 SHIFT $tan^{-1}$ SHIFT $\leftarrow$
Khi đó ta được $\widehat{ACO} \approx 63^0$26'
Ta có $\widehat{ACB}$ + $\widehat{ACO}$ = $180^0$ (hai góc kề bù)
=> $\widehat{ACB}$ = $180^0$ - $\widehat{ACO}$
<=> $\widehat{ACB}$ = $180^0$ - $63^0$26'
<=> $\widehat{ACB}$ $\approx$ $116^0$34'
Ta đã biết góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. Nên:
$\widehat{ACO}$ = $\widehat{ABC}$ + $\widehat{BAC}$
=> $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACO}$ - $\widehat{ABC}$
<=> $\widehat{BAC}$ $\approx$ $63^0$26' - $45^0$
<=> $\widehat{BAC}$ $\approx$ $18^0$26'.
Vậy các góc của tam giác ABC có số đo là:
$\widehat{ABC}$ = $45^0$, $\widehat{ACB}$ $\approx$ $116^0$34', $\widehat{BAC}$ $\approx$ $18^0$26'.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 14 trang 64 SBT toán 9 tập 1.
a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:y = x + $\sqrt{3}$ (1)
y = 2x + $\sqrt{3}$ (2)
b) Gọi giao điểm của đường thẳng y = x + $\sqrt{3}$ với trục Oy, Ox theo thứ tự là A, B và giao điểm của đường thẳng y = 2x + $\sqrt{3}$ với trục Oy, Ox theo thứ tự là A, C. Tính các góc của tam giác ABC (dùng máy tính bỏ túi CASIO fx-220 hoặc CASIO fx-500A).
Bài giải:
a)
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = x + $\sqrt{3}$
Cho x = 0 => y = $\sqrt{3}$
Cho y = 0 => x = -$\sqrt{3}$
Nghĩa là ta phải đi tìm điểm trên tia Oy có tung độ bằng $\sqrt{3}$ và điểm trên Ox có hoành độ -$\sqrt{3}$, nhưng bằng cách nào?
- Dựng điểm M(1 ; 1). Khi đó ta tính được $OM^2$ = $1^2$ + $1^2$ => OM = $\sqrt{2}$
- Vẽ cung tròn tâm O, bán kính OM cắt tia Ox tại điểm có hoành độ bằng $\sqrt{2}$
- Dựng điểm N($\sqrt{2}$ ; 1). Khi đó ta tính được $ON^2$ = $1^2$ + $(\sqrt{2})^2$ => ON = $\sqrt{3}$
- Vẽ cung tròn tâm O bán kính ON = $\sqrt{3}$ cắt trục tung tại điểm A có tung độ bằng $\sqrt{3}$ và cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng -$\sqrt{3}$.
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A(0 ; $\sqrt{3}$) và B(-$\sqrt{3}$ ; 0) ta được đồ thị của hàm số y = x + $\sqrt{3}$.
 |
| Đồ thị hàm số y = x $\sqrt{3}$ và y = 2x + $\sqrt{3}$. |
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + $\sqrt{3}$
Cho x = 0 => y = $\sqrt{3}$, ta được điểm A(0 ; $\sqrt{3}$)
Cho y = 0 => x = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$, ta được điểm C(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; 0)
Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm A và C chính là đồ thị của hàm số y = 2x + $\sqrt{3}$.
b) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn vào tam giác OAB, ta có:
tg $\widehat{ABO}$ = $\frac{OA}{OB}$ = $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 1
=> $\widehat{ABO}$ = $45^0$
hay $\widehat{ABC}$ = $45^0$
tg $\widehat{ACO}$ = $\frac{OA}{OC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 2.
Đến đây ta phải dùng máy tính bỏ túi, tính xem góc ACO bằng bao nhiêu độ. Để làm được điều đó, ta bấm lần lượt các phím sau: 2 SHIFT $tan^{-1}$ SHIFT $\leftarrow$
Khi đó ta được $\widehat{ACO} \approx 63^0$26'
Ta có $\widehat{ACB}$ + $\widehat{ACO}$ = $180^0$ (hai góc kề bù)
=> $\widehat{ACB}$ = $180^0$ - $\widehat{ACO}$
<=> $\widehat{ACB}$ = $180^0$ - $63^0$26'
<=> $\widehat{ACB}$ $\approx$ $116^0$34'
Ta đã biết góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. Nên:
$\widehat{ACO}$ = $\widehat{ABC}$ + $\widehat{BAC}$
=> $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACO}$ - $\widehat{ABC}$
<=> $\widehat{BAC}$ $\approx$ $63^0$26' - $45^0$
<=> $\widehat{BAC}$ $\approx$ $18^0$26'.
Vậy các góc của tam giác ABC có số đo là:
$\widehat{ABC}$ = $45^0$, $\widehat{ACB}$ $\approx$ $116^0$34', $\widehat{BAC}$ $\approx$ $18^0$26'.
Giải bài 15 trang 64 SBT toán 9 tập 1.
Cho hàm số y = (m - 3)x
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến? Nghịch biến?
b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1 ; 2)
c) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1 ; -2)
d) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị m vừa tìm được ở câu b và c.
Bài giải:
Ta đã học với hàm số y = ax + b (a $\neq$ 0) thì hàm số sẽ đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0. Như vậy, với hàm số đã cho y = (m - 3)x, ta có:
a) Hàm số đồng biến khi m - 3 > 0 <=> m > 3
Hàm số nghịch biến khi m - 3 < 0 <=> m < 3
b) Theo đề đồ thị hàm số đi qua điểm A(1 ; 2) nên ta có:
2 = (m - 3).1 <=> 2 = m - 3 <=> m = 2 + 3 <=> m = 5.
Vậy khi m = 5 đồ thị hàm số y = (m - 3)x đi qua điểm A(1 ; 2)
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm B(1 ; -2) nên ta có:
-2 = (m - 3).1 <=> -2 = m - 3 <=> m = -2 + 3 <=> m = 1.
Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số đi qua điểm B(1 ; -2)
d) Với các giá trị m vừa tìm được, ta sẽ vẽ đồ thị của hai hàm số: y = 2x và y = -2x như sau:
- Dĩ nhiên để vẽ đồ thị hàm số thì đầu tiên ta phải vẽ hệ trục tọa độ Oxy
- Tiếp theo, trên mặt phẳng tọa độ, vẽ hai điểm A(1 ; 2) và B(1 ; -2)
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và O ta được đồ thị của hàm số y = 2x
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm B và O ta được đồ thị của hàm số y = -2x
a) Hàm số đồng biến khi m - 3 > 0 <=> m > 3
Hàm số nghịch biến khi m - 3 < 0 <=> m < 3
b) Theo đề đồ thị hàm số đi qua điểm A(1 ; 2) nên ta có:
2 = (m - 3).1 <=> 2 = m - 3 <=> m = 2 + 3 <=> m = 5.
Vậy khi m = 5 đồ thị hàm số y = (m - 3)x đi qua điểm A(1 ; 2)
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm B(1 ; -2) nên ta có:
-2 = (m - 3).1 <=> -2 = m - 3 <=> m = -2 + 3 <=> m = 1.
Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số đi qua điểm B(1 ; -2)
d) Với các giá trị m vừa tìm được, ta sẽ vẽ đồ thị của hai hàm số: y = 2x và y = -2x như sau:
 |
| Đồ thị hàm số y = 2x và y = -2x |
- Tiếp theo, trên mặt phẳng tọa độ, vẽ hai điểm A(1 ; 2) và B(1 ; -2)
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và O ta được đồ thị của hàm số y = 2x
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm B và O ta được đồ thị của hàm số y = -2x
Giải bài 16 trang 64 SBT toán 9 tập 1.
Cho hàm số y = (a - 1)x + a
a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3.
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị a vừa tìm được ở câu b), c) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy và tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được.
Bài giải:
a) Ta có hàm số y = (a - 1)x + a có tung độ gốc là a. Mà theo đề đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Do đó a = 2.
Khi đó hàm số có dạng y = x + 2
b) Ta có đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3, nên tung độ sẽ bằng 0. Khi đó ta có:
0 = (a - 1).(-3) + a <=> 0 = -3a + 3 + a <=> -2a = -3 <=> a = $\frac{-3}{-2}$ = $\frac{3}{2}$.
Trường hợp này hàm số có dạng y = 0,5x + 1,5
c)
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2 (1)
- Cho x = 0 => y = 2, ta xác định được điểm A(0 ; 2)
- Cho y = 0 => x = -2, ta xác định được điểm B(-2 ; 0)
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A(0 ; 2) và (-2 ; 0), đó chính là đồ thị của hàm số y = x + 2.
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x + 1,5 (2)
- Cho x = 0 => y = 1,5, ta xác định được điểm C(1,5 ; 0)
- Cho y = 0 => x = -3, ta xác định được điểm D(-3 ; 0)
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C(1,5 ; 0) và D(-3 ; 0) ta được đồ thì của hàm số y = 0,5x + 1,5
➤ Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ:
Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng ($d_1$), ($d_2$) vừa vẽ. Giả sử M có tọa độ M($x_1$ ; $y_1$). Khi đó ta có:
- M($x_1$ ; $y_1$) thuộc đường thẳng ($d_1$) nên $y_1$ = $x_1$ + 2 (*)
- M($x_1$ ; $y_1$) thuộc đường thẳng ($d_2$) nên $y_1$ = 0,5$x_1$ + 1,5 (**)
Từ (*) (**) suy ra $x_1$ + 2 = 0,5$x_1$ + 1,5
<=> $x_1$ - 0,5$x_1$ = 1,5 - 2 <=> 0,5$x_1$ = -0,5 <=> $x_1$ = -1
Thay $x_1$ = -1 vào (*) ta được $y_1$ = -1 + 2 <=> $y_1$ = 1
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ($d_1$), ($d_2$) là M(-1 ; 1)
Khi đó hàm số có dạng y = x + 2
b) Ta có đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3, nên tung độ sẽ bằng 0. Khi đó ta có:
0 = (a - 1).(-3) + a <=> 0 = -3a + 3 + a <=> -2a = -3 <=> a = $\frac{-3}{-2}$ = $\frac{3}{2}$.
Trường hợp này hàm số có dạng y = 0,5x + 1,5
c)
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2 (1)
- Cho x = 0 => y = 2, ta xác định được điểm A(0 ; 2)
- Cho y = 0 => x = -2, ta xác định được điểm B(-2 ; 0)
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A(0 ; 2) và (-2 ; 0), đó chính là đồ thị của hàm số y = x + 2.
 |
| Đồ thị hàm số y = x + 2 và y = 0,5x + 1,5 |
- Cho x = 0 => y = 1,5, ta xác định được điểm C(1,5 ; 0)
- Cho y = 0 => x = -3, ta xác định được điểm D(-3 ; 0)
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C(1,5 ; 0) và D(-3 ; 0) ta được đồ thì của hàm số y = 0,5x + 1,5
➤ Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ:
Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng ($d_1$), ($d_2$) vừa vẽ. Giả sử M có tọa độ M($x_1$ ; $y_1$). Khi đó ta có:
- M($x_1$ ; $y_1$) thuộc đường thẳng ($d_1$) nên $y_1$ = $x_1$ + 2 (*)
- M($x_1$ ; $y_1$) thuộc đường thẳng ($d_2$) nên $y_1$ = 0,5$x_1$ + 1,5 (**)
Từ (*) (**) suy ra $x_1$ + 2 = 0,5$x_1$ + 1,5
<=> $x_1$ - 0,5$x_1$ = 1,5 - 2 <=> 0,5$x_1$ = -0,5 <=> $x_1$ = -1
Thay $x_1$ = -1 vào (*) ta được $y_1$ = -1 + 2 <=> $y_1$ = 1
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ($d_1$), ($d_2$) là M(-1 ; 1)
Giải bài 17 trang 64 SBT toán 9 tập 1.
Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ Oxy đồ thị các hàm số sau:
a) y = x ($d_1$) b) y = 2x ($d_2$) c) y = -x + 3 ($d_3$)
Đường thẳng ($d_3$) cắt các đường thẳng ($d_1$) và ($d_2$) theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B và tính diện tích tam giác OAB.
Bài giải:
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = x ($d_1$)
Đồ thị hàm số y = x là đường thẳng ($d_1$) đi qua gốc tọa độ, đó chính là đường phân giác của góc phần tư thứ I.
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x ($d_2$)
Đồ thị hàm số y = 2x là đường thẳng ($d_2$) đi qua gốc tọa độ O(0 ; 0) và điểm M(-1 ; -2)
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 3 ($d_2$)
Đồ thị hàm số y = -x + 3 là đường thẳng ($d_3$) đi qua hai điểm C(0 ; 3) và D(3 ; 0)
➤ Tìm tọa độ các điểm A, B
- Ta có điểm A(x ; y) thuộc đường thẳng ($d_1$) và ($d_3$) nên:
x = -x + 3 <=> 2x = 3 <=> x = $\frac{3}{2}$ <=> x = 1,5
Thay x = 1,5 vào ($d_1$) ta được y = 1,5
Vậy giao điểm A có tọa độ A(1,5 ; 1,5)
Ta có điểm A(x ; y) thuộc đường thẳng ($d_2$) và ($d_3$) nên:
2x = -x + 3 <=> 3x = 3 <=> x = 1
Thay x = 1 vào ($d_2$) ta tính được y = 2
Vậy điểm B có tọa độ B(1 ; 2)
➤ Tính diện tích tam giác OAB.
Để rộng bề tính toán, ta phân tích một chút: Tính diện tích tam giác thì ta phải nhớ lại công thức tính diện tích tam giác:
S = $\frac{1}{2}$a.h, trong đó a là đáy tam giác, h là chiều cao tam giác.
Với tam giác OAB, ta chưa biết a, cũng chưa biết h. Phải làm sao đây? Không sao cả! Nhìn vào hình vẽ ta thấy $S_{\Delta OAB}$ = $S_{\Delta OBD}$ - $S_{\Delta OAD}$. Như vậy, trước hết ta sẽ tính diện tích tam giác OBD và OAD. Việc này thì dễ rồi!
Tam giác OBD có a = 3, h = 2. Nên $S_{\Delta OBD}$ = $\frac{1}{2}$.3.2 = 3
Tam giác OAD có a = 3, h = 1,5. Nên $S_{\Delta OAC}$ = $\frac{1}{2}$.3.1,5 = 2,25
Do đó $S_{\Delta OAB}$ = 3 - 2,25 = 0,75
Vậy diện tích tam giác OAB bằng 0,75 (đvdt).
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = x ($d_1$)
Đồ thị hàm số y = x là đường thẳng ($d_1$) đi qua gốc tọa độ, đó chính là đường phân giác của góc phần tư thứ I.
➤ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x ($d_2$)
Đồ thị hàm số y = 2x là đường thẳng ($d_2$) đi qua gốc tọa độ O(0 ; 0) và điểm M(-1 ; -2)
 |
| Đồ thị hàm số y = x, y = 2x và y = -x + 3 |
Đồ thị hàm số y = -x + 3 là đường thẳng ($d_3$) đi qua hai điểm C(0 ; 3) và D(3 ; 0)
➤ Tìm tọa độ các điểm A, B
- Ta có điểm A(x ; y) thuộc đường thẳng ($d_1$) và ($d_3$) nên:
x = -x + 3 <=> 2x = 3 <=> x = $\frac{3}{2}$ <=> x = 1,5
Thay x = 1,5 vào ($d_1$) ta được y = 1,5
Vậy giao điểm A có tọa độ A(1,5 ; 1,5)
Ta có điểm A(x ; y) thuộc đường thẳng ($d_2$) và ($d_3$) nên:
2x = -x + 3 <=> 3x = 3 <=> x = 1
Thay x = 1 vào ($d_2$) ta tính được y = 2
Vậy điểm B có tọa độ B(1 ; 2)
➤ Tính diện tích tam giác OAB.
Để rộng bề tính toán, ta phân tích một chút: Tính diện tích tam giác thì ta phải nhớ lại công thức tính diện tích tam giác:
S = $\frac{1}{2}$a.h, trong đó a là đáy tam giác, h là chiều cao tam giác.
Với tam giác OAB, ta chưa biết a, cũng chưa biết h. Phải làm sao đây? Không sao cả! Nhìn vào hình vẽ ta thấy $S_{\Delta OAB}$ = $S_{\Delta OBD}$ - $S_{\Delta OAD}$. Như vậy, trước hết ta sẽ tính diện tích tam giác OBD và OAD. Việc này thì dễ rồi!
Tam giác OBD có a = 3, h = 2. Nên $S_{\Delta OBD}$ = $\frac{1}{2}$.3.2 = 3
Tam giác OAD có a = 3, h = 1,5. Nên $S_{\Delta OAC}$ = $\frac{1}{2}$.3.1,5 = 2,25
Do đó $S_{\Delta OAB}$ = 3 - 2,25 = 0,75
Vậy diện tích tam giác OAB bằng 0,75 (đvdt).
EmoticonEmoticon