[Toán 6] Chứng minh 10a + b chia hết cho 13.

Ngày 28/9/2017 bạn Trần Phương Nhi gửi bài toán:
Bài 2. Tìm n $\in$ N sao cho:
a) 2n + 11 $\vdots$ n + 1
b) 3n $\vdots$ 5 - 2n

Bài 3. Chứng minh:
a) $10^{28}$ + 8 $\vdots$ 72                b) $8^8$ + $2^{20}$ $\vdots$ 17
c) 2 + $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{60}$ $\vdots$ 3; 7; 15
d) 3 + $3^3$ + $3^5$ + ... + $3^{1991}$ $\vdots$ 13; 41
Bài 4. Cho a; b thuộc N thỏa mãn a + 4b chia hết cho 13. Chứng minh 10a + b chia hết cho 13.

Trả lời cho bạn:

Bài 2
a) Ta có 2n + 11 $\vdots$ n + 1
<=> 2n + 2 + 9 $\vdots$ n + 1
<=> 2(n + 1) + 9 $\vdots$ n + 1
<=> 9 $\vdots$ n + 1
Suy ra n + 1 $\in$ Ư(9)
Mà Ư(9) = {1; 3; 9}
Do đó:
Khi n + 1 = 1 => n = 0 (thỏa mãn)
Khi n + 1 = 3 => n = 2 (thỏa mãn)
Khi n + 1 = 9 => n = 8 (thỏa mãn)
Vậy với n = 0, n = 2, n = 8 thì 2n + 11 $\vdots$ n + 1

b) Theo đề ta có 3n $\vdots$ 5 - 2n
Suy ra 2.3n $\vdots$ 5 - 2n
Hay 6n $\vdots$ 5 - 2n    (1)
Ta cũng có 5 - 2n $\vdots$ 5 - 2n
Suy ra 3.(5 - 2n) $\vdots$ 5 - 2n
Hay 15 - 6n $\vdots$ 5 - 2n   (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có: 6n + 15 - 6n $\vdots$ 5 - 2n
Hay 15 $\vdots$ 5 - 2n
Suy ra 5 - 2n $\in$ Ư(15)
Mà Ư(15) = {1; 3; 5; 15}
Do đó:
Khi 5 - 2n = 1 <=> 2n = 4 <=> n = 2 (thỏa mãn n $\in$ N)
Khi 5 - 2n = 3 <=> 2n = 2 <=> n = 1 (thỏa mãn)
Khi 5 - 2n = 5 <=> 2n = 0 <=> n = 0 (thỏa mãn)
Khi 5 - 2n = 15 <=> 2n = -10 <=> n = -5 (loại)
Vậy với n = 0, n = 1, n = 2 thì 3n $\vdots$ 5 - 2n.

Xem thêm: Tìm n thuộc N sao cho n+8 chia hết cho n+3

Bài 3.
a) Ta có $10^{28}$ = $2^{28}$.$5^{28}$ = $2^3$.$2^{25}$.$5^{28}$ = 8.$2^{25}$.$5^{28}$
Tích 8.$2^{25}$.$5^{28}$ $\vdots$ 8
Nên $10^{28}$ + 8 $\vdots$ 8    (1)
Mặt khác ta có tổng các chữ số của $10^{28}$ + 8 bằng 1 + 27.0 + 8 = 9
Nên $10^{28}$ + 8 $\vdots$ 9     (2)
Ta lại có ƯCLN(8; 9) = 1      (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra $10^{28}$ $\vdots$ 8.9
Hay $10^{28}$ $\vdots$ 72 (đpcm)

b) Ta có $8^8$ + $2^{20}$ = $(2^3)^8$ + $2^{20}$ = $2^{24}$ + $2^{20}$ = $2^{20}$($2^4$ + 1) = $2^{20}$.(16 + 1) = $2^{20}$.17
Dễ nhận thấy $2^{20}$.17 $\vdots$ 17
Do đó $8^8$ + $2^{20}$ $\vdots$ 17 (đpcm)

c) Chứng minh:
➤ $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{60}$ $\vdots$ 3
Ta có $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{60}$
= (2 + $2^2$) + ($2^3$ + $2^4$) + ... + ($2^{59}$ + $2^{60}$)
= 2(1 + 2) + $2^3$(1 + 2) + ... + $2^{59}$(1 + 2)
= 2.3 + $2^3$.3 + ... + $2^{59}$.3
= 3.(2 + $2^3$ + ... + $2^{59}$)
Dễ dàng nhận thấy tích 3.(2 + $2^3$ + ... + $2^{59}$) $\vdots$ 3
Do đó $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{60}$ $\vdots$ 3 (đpcm)
➤ $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{60}$ $\vdots$ 7
Ta có $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{60}$
= (2 + $2^2$ + $2^3$) + ($2^4$ + $2^5$ + $2^6$) + ... + ($2^{58}$ + $2^{59}$ + $2^{60}$)
= 2(1 + 2 + $2^2$) + $2^4$(1 + 2 + $2^2$) + ... +  $2^{58}$(1 + 2 + $2^2$)
= 2.7 + $2^4$.7 + ... + $2^{58}$.7
= 7.(2 + $2^4$ + ... + $2^{58}$)
Rõ ràng tích 7.(2 + $2^4$ + ... + $2^{58}$) $\vdots$ 7
Nên $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{60}$ $\vdots$ 7 (đpcm)
➤ $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{60}$ $\vdots$ 15
Ta có $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{60}$
= (2 + $2^2$ + $2^3$ + $2^4$) + ( $2^5$ + $2^6$ + $2^7$ + $2^8$) + ... + ($2^{57}$ + $2^{58}$ + $2^{59}$ + $2^{60}$)
= 2(1 + 2 + $2^2$ + $2^3$) + $2^5$(1 + 2 + $2^2$ + $2^3$) + ... +  $2^{57}$(1 + 2 + $2^2$ + $2^3$)
= 2.15 + $2^5$.15 + ... + $2^{57}$.15
= 15.(2 + $2^5$ + ... + $2^{57}$)
Dễ thấy tích 15.(2 + $2^5$ + ... + $2^{57}$) $\vdots$ 15
Nên $2^2$ + $2^3$ + ... + $2^{60}$ $\vdots$ 15 (đpcm)

d) Chứng minh:
➤ 3 + $3^3$ + $3^5$ + ... + $3^{1991}$ $\vdots$ 13
Ta có 3 + $3^3$ + $3^5$ + ... + $3^{1991}$
= (3 + $3^3$ + $3^5$) + ($3^7$ + $3^9$ + $3^11$) + ... + ($3^{1987}$ + $3^{1989}$ + $3^{1991}$)
= 3.(1 + $3^2$ + $3^4$) + $3^7$(1 + $3^2$ + $3^4$) + ... + $3^{1987}$(1 + $3^2$ + $3^4$)
= 3.91 + $3^7$.91 + ... + $3^{1987}$.91
= 91.(3 + $3^7$ + ... + $3^{1987}$)
= 7.13.(3 + $3^7$ + ... + $3^{1987}$)
Ta thấy tích 7.13.(3 + $3^7$ + ... + $3^{1987}$) $\vdots$ 13
Do đó 3 + $3^3$ + $3^5$ + ... + $3^{1991}$ $\vdots$ 13 (đpcm)
➤ 3 + $3^3$ + $3^5$ + ... + $3^{1991}$ $\vdots$ 41
Ta có 3 + $3^3$ + $3^5$ + ... + $3^{1991}$
= (3 + $3^3$ + $3^5$ + $3^7$) + ( $3^9$ + $3^{11}$ + $3^{13}$ + $3^{15}$) + ... + ($3^{1985}$ + $3^{1987}$ + $3^{1989}$ + $3^{1991}$)
= 3.(1 + $3^2$ + $3^4$ + $3^6$) + $3^9$(1 + $3^2$ + $3^4$ + $3^6$) + ... + $3^{1985}$(1 + $3^2$ + $3^4$ + $3^6$)
= 3.820 + $3^9$.820 + ... + $3^{1985}$.820
= 820.(3 + $3^7$ + ... + $3^{1985}$)
= 41.20.(3 + $3^7$ + ... + $3^{1985}$)
Dễ thấy tích 41.20.(3 + $3^7$ + ... + $3^{1985}$) $\vdots$ 41
Do đó 3 + $3^3$ + $3^5$ + ... + $3^{1991}$ $\vdots$ 41 (đpcm)

Bài 4:
Ta có a + 4b $\vdots$ cho 13
<=> 10(a + 4b) $\vdots$ 13
<=>  10a + 40b $\vdots$ 13
<=> 10a + b + 39b $\vdots$ 13
Dễ nhận thấy 39b $\vdots$ 13
Suy ra 10a + b $\vdots$ 13 (đpcm)

Xem thêm: Chứng minh dựa vào dấu hiệu chia hết.

Bài 146. Tìm các số tự nhiên x sao cho:
a) 6 $\vdots$ (x - 1)                    b) 14 $\vdots$ (2.x + 3)
Trả lời cho bạn:

a) Ta có 6 $\vdots$ (x - 1) nghĩa là (x - 1) $\in$ Ư(6)
Mà Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Khi x - 1 = 1 => x = 2 (thỏa mãn x $\in$ N)
Khi x - 1 = 2 => x = 3 (thỏa mãn đk)
Khi x - 1 = 3 => x = 4 (thỏa  mãn)
Khi x - 1 = 6 => x = 7 (thỏa mãn)
Vậy với x = {2; 3; 4; 7} thì 6 $\vdots$ (x - 1)

b) 14 $\vdots$ (2.x + 3) nghĩa là (2x + 3) $\in$ Ư(14)
Mà Ư(14) = {1; 2; 7; 14}. Do đó:
Khi 2x + 3 = 1 => 2x = 1 - 3 <=> 2x = -2 <=> x = -1 (không thỏa mãn đk x $\in$ N)
Khi 2x + 3 = 2 => 2x = 2 - 3 <=> 2x = -1 <=> x = -1/2 (không thỏa mãn đk)
Khi 2x + 3 = 7 => 2x = 7 - 3 <=> 2x = 4 <=> x = 2 (thỏa mãn đk x $\in$ N)
Khi 2x + 3 = 14 => 2x = 14 - 3 <=> 2x = 11 <=> x = 11/2 (không thỏa mãn đk)
Vậy với x = 2 thì 14 $\vdots$ (2.x + 3)

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.

• [Toán 8] Tính chiều cao của ống khói. Ngày 1/4/2018 bạn Tam Nguyen yêu cầu bài toán: Một ống khói của nhà máy có bóng trên mặt đất là 36
• [Toán 8] Chứng minh tứ giác BB''CC'' là hình thang.Ngày 11/9/2018 bạn có nickname Đepchat gửi bài toán: Cho tam giác ABC. Trên tia AC lấy điểm B'&
• [Toán 9] Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosCNgày 4/10/2018 bạn Anh Tran gửi bài toán: Cho tam giác ABC nhọn a) Chứng minh $\frac{BC}{sinA}$ = $
• [Toán 8] Chứng minh AECB là hình thang vuông.Ngày 13/9/2018 bạn Dang Dang gửi bài toán:Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC bằng 2cm. Ở phía ngo
• [Toán 9] Giải các phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$Ngày 5/8/2018 bạn Nguyễn Hân gửi bài toán giải các phương trình sau: 1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x
• Hai đường thẳng Mz và Ny có song song với nhau hay không.Ngày 2/8/2018 bạn có nickname Toikhongbiet yêu cầu bài tập bổ sung 4.3 trong bài hai đường thẳng so