[Toán 6] Chứng minh 10a + b chia hết cho 13.
Ngày 28/9/2017 bạn Trần Phương Nhi gửi bài toán:
Bài 2. Tìm n ∈ N sao cho:
a) 2n + 11 ⋮ n + 1
b) 3n ⋮ 5 - 2n
Bài 3. Chứng minh:
a) 1028 + 8 ⋮ 72 b) 88 + 220 ⋮ 17
c) 2+ 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 3; 7; 15
d) 3 + 33 + 35 + ... + 31991 ⋮ 13; 41
Bài 4. Cho a; b thuộc N thỏa mãn a + 4b chia hết cho 13. Chứng minh 10a + b chia hết cho 13.
Trả lời cho bạn:
Bài 2
a) Ta có 2n + 11 ⋮ n + 1
<=> 2n + 2 + 9 ⋮ n + 1
<=> 2(n + 1) + 9 ⋮ n + 1
<=> 9 ⋮ n + 1
Suy ra n + 1 ∈ Ư(9)
Mà Ư(9) = {1; 3; 9}
Do đó:
Khi n + 1 = 1 => n = 0 (thỏa mãn)
Khi n + 1 = 3 => n = 2 (thỏa mãn)
Khi n + 1 = 9 => n = 8 (thỏa mãn)
Vậy với n = 0, n = 2, n = 8 thì 2n + 11 ⋮ n + 1
b) Theo đề ta có 3n ⋮ 5 - 2n
Suy ra 2.3n ⋮ 5 - 2n
Hay 6n ⋮ 5 - 2n (1)
Ta cũng có 5 - 2n ⋮ 5 - 2n
Suy ra 3.(5 - 2n) ⋮ 5 - 2n
Hay 15 - 6n ⋮ 5 - 2n (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có: 6n + 15 - 6n ⋮ 5 - 2n
Hay 15 ⋮ 5 - 2n
Suy ra 5 - 2n ∈ Ư(15)
Mà Ư(15) = {1; 3; 5; 15}
Do đó:
Khi 5 - 2n = 1 <=> 2n = 4 <=> n = 2 (thỏa mãn n ∈ N)
Khi 5 - 2n = 3 <=> 2n = 2 <=> n = 1 (thỏa mãn)
Khi 5 - 2n = 5 <=> 2n = 0 <=> n = 0 (thỏa mãn)
Khi 5 - 2n = 15 <=> 2n = -10 <=> n = -5 (loại)
Vậy với n = 0, n = 1, n = 2 thì 3n ⋮ 5 - 2n.
Xem thêm: Tìm n thuộc N sao cho n+8 chia hết cho n+3
Bài 3.
a) Ta có 1028 = 228.528 = 23.225.528 = 8.225.528
Tích 8.225.528 ⋮ 8
Nên 1028 + 8 ⋮ 8 (1)
Mặt khác ta có tổng các chữ số của 1028 + 8 bằng 1 + 27.0 + 8 = 9
Nên 1028 + 8 ⋮ 9 (2)
Ta lại có ƯCLN(8; 9) = 1 (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra 1028 ⋮ 8.9
Hay 1028 ⋮ 72 (đpcm)
b) Ta có 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 = 220(24 + 1) = 220.(16 + 1) = 220.17
Dễ nhận thấy 220.17 ⋮ 17
Do đó 88 + 220 ⋮ 17 (đpcm)
c) Chứng minh:
➤ 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 3
Ta có 22 + 23 + ... + 260
= (2 + 22) + (23 + 24) + ... + (259 + 260)
= 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + ... + 259(1 + 2)
= 2.3 + 23.3 + ... + 259.3
= 3.(2 + 23 + ... + 259)
Dễ dàng nhận thấy tích 3.(2 + 23 + ... + 259) ⋮ 3
Do đó 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 3 (đpcm)
➤ 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 7
Ta có 22 + 23 + ... + 260
= (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + ... + (258 + 259 + 260)
= 2(1 + 2 + 22) + 24(1 + 2 + 22) + ... + 258(1 + 2 + 22)
= 2.7 + 24.7 + ... + 258.7
= 7.(2 + 24 + ... + 258)
Rõ ràng tích 7.(2 + 24 + ... + 258) ⋮ 7
Nên 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 7 (đpcm)
➤ 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 15
Ta có 22 + 23 + ... + 260
= (2 + 22 + 23 + 24) + ( 25 + 26 + 27 + 28) + ... + (257 + 258 + 259 + 260)
= 2(1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + ... + 257(1 + 2 + 22 + 23)
= 2.15 + 25.15 + ... + 257.15
= 15.(2 + 25 + ... + 257)
Dễ thấy tích 15.(2 + 25 + ... + 257) ⋮ 15
Nên 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 15 (đpcm)
d) Chứng minh:
➤ 3 + 33 + 35 + ... + 31991 ⋮ 13
Ta có 3 + 33 + 35 + ... + 31991
= (3 + 33 + 35) + (37 + 39 + 311) + ... + (31987 + 31989 + 31991)
= 3.(1 + 32 + 34) + 37(1 + 32 + 34) + ... + 31987(1 + 32 + 34)
= 3.91 + 37.91 + ... + 31987.91
= 91.(3 + 37 + ... + 31987)
= 7.13.(3 + 37 + ... + 31987)
Ta thấy tích 7.13.(3 + 37 + ... + 31987) ⋮ 13
Do đó 3 + 33 + 35 + ... + 31991 ⋮ 13 (đpcm)
➤ 3 + 33 + 35 + ... + 31991 ⋮ 41
Ta có 3 + 33 + 35 + ... + 31991
= (3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + (31985 + 31987 + 31989 + 31991)
= 3.(1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 31985(1 + 32 + 34 + 36)
= 3.820 + 39.820 + ... + 31985.820
= 820.(3 + 37 + ... + 31985)
= 41.20.(3 + 37 + ... + 31985)
Dễ thấy tích 41.20.(3 + 37 + ... + 31985) ⋮ 41
Do đó 3 + 33 + 35 + ... + 31991 ⋮ 41 (đpcm)
Bài 4:
Ta có a + 4b ⋮ cho 13
<=> 10(a + 4b) ⋮ 13
<=> 10a + 40b ⋮ 13
<=> 10a + b + 39b ⋮ 13
Dễ nhận thấy 39b ⋮ 13
Suy ra 10a + b ⋮ 13 (đpcm)
Xem thêm: Chứng minh dựa vào dấu hiệu chia hết.
Bài 146. Tìm các số tự nhiên x sao cho:
a) 6 ⋮ (x - 1) b) 14 ⋮ (2.x + 3)
Trả lời cho bạn:
a) Ta có 6 ⋮ (x - 1) nghĩa là (x - 1) ∈ Ư(6)
Mà Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Khi x - 1 = 1 => x = 2 (thỏa mãn x ∈ N)
Khi x - 1 = 2 => x = 3 (thỏa mãn đk)
Khi x - 1 = 3 => x = 4 (thỏa mãn)
Khi x - 1 = 6 => x = 7 (thỏa mãn)
Vậy với x = {2; 3; 4; 7} thì 6 ⋮ (x - 1)
b) 14 ⋮ (2.x + 3) nghĩa là (2x + 3) ∈ Ư(14)
Mà Ư(14) = {1; 2; 7; 14}. Do đó:
Khi 2x + 3 = 1 => 2x = 1 - 3 <=> 2x = -2 <=> x = -1 (không thỏa mãn đk x ∈ N)
Khi 2x + 3 = 2 => 2x = 2 - 3 <=> 2x = -1 <=> x = -1/2 (không thỏa mãn đk)
Khi 2x + 3 = 7 => 2x = 7 - 3 <=> 2x = 4 <=> x = 2 (thỏa mãn đk x ∈ N)
Khi 2x + 3 = 14 => 2x = 14 - 3 <=> 2x = 11 <=> x = 11/2 (không thỏa mãn đk)
Vậy với x = 2 thì 14 ⋮ (2.x + 3)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Bài 2. Tìm n ∈ N sao cho:
a) 2n + 11 ⋮ n + 1
b) 3n ⋮ 5 - 2n
Bài 3. Chứng minh:
a) 1028 + 8 ⋮ 72 b) 88 + 220 ⋮ 17
c) 2
d) 3 + 33 + 35 + ... + 31991 ⋮ 13; 41
Bài 4. Cho a; b thuộc N thỏa mãn a + 4b chia hết cho 13. Chứng minh 10a + b chia hết cho 13.
Trả lời cho bạn:
Bài 2
a) Ta có 2n + 11 ⋮ n + 1
<=> 2n + 2 + 9 ⋮ n + 1
<=> 2(n + 1) + 9 ⋮ n + 1
<=> 9 ⋮ n + 1
Suy ra n + 1 ∈ Ư(9)
Mà Ư(9) = {1; 3; 9}
Do đó:
Khi n + 1 = 1 => n = 0 (thỏa mãn)
Khi n + 1 = 3 => n = 2 (thỏa mãn)
Khi n + 1 = 9 => n = 8 (thỏa mãn)
Vậy với n = 0, n = 2, n = 8 thì 2n + 11 ⋮ n + 1
b) Theo đề ta có 3n ⋮ 5 - 2n
Suy ra 2.3n ⋮ 5 - 2n
Hay 6n ⋮ 5 - 2n (1)
Ta cũng có 5 - 2n ⋮ 5 - 2n
Suy ra 3.(5 - 2n) ⋮ 5 - 2n
Hay 15 - 6n ⋮ 5 - 2n (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có: 6n + 15 - 6n ⋮ 5 - 2n
Hay 15 ⋮ 5 - 2n
Suy ra 5 - 2n ∈ Ư(15)
Mà Ư(15) = {1; 3; 5; 15}
Do đó:
Khi 5 - 2n = 1 <=> 2n = 4 <=> n = 2 (thỏa mãn n ∈ N)
Khi 5 - 2n = 3 <=> 2n = 2 <=> n = 1 (thỏa mãn)
Khi 5 - 2n = 5 <=> 2n = 0 <=> n = 0 (thỏa mãn)
Khi 5 - 2n = 15 <=> 2n = -10 <=> n = -5 (loại)
Vậy với n = 0, n = 1, n = 2 thì 3n ⋮ 5 - 2n.
Xem thêm: Tìm n thuộc N sao cho n+8 chia hết cho n+3
Bài 3.
a) Ta có 1028 = 228.528 = 23.225.528 = 8.225.528
Tích 8.225.528 ⋮ 8
Nên 1028 + 8 ⋮ 8 (1)
Mặt khác ta có tổng các chữ số của 1028 + 8 bằng 1 + 27.0 + 8 = 9
Nên 1028 + 8 ⋮ 9 (2)
Ta lại có ƯCLN(8; 9) = 1 (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra 1028 ⋮ 8.9
Hay 1028 ⋮ 72 (đpcm)
b) Ta có 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 = 220(24 + 1) = 220.(16 + 1) = 220.17
Dễ nhận thấy 220.17 ⋮ 17
Do đó 88 + 220 ⋮ 17 (đpcm)
c) Chứng minh:
➤ 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 3
Ta có 22 + 23 + ... + 260
= (2 + 22) + (23 + 24) + ... + (259 + 260)
= 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + ... + 259(1 + 2)
= 2.3 + 23.3 + ... + 259.3
= 3.(2 + 23 + ... + 259)
Dễ dàng nhận thấy tích 3.(2 + 23 + ... + 259) ⋮ 3
Do đó 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 3 (đpcm)
➤ 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 7
Ta có 22 + 23 + ... + 260
= (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + ... + (258 + 259 + 260)
= 2(1 + 2 + 22) + 24(1 + 2 + 22) + ... + 258(1 + 2 + 22)
= 2.7 + 24.7 + ... + 258.7
= 7.(2 + 24 + ... + 258)
Rõ ràng tích 7.(2 + 24 + ... + 258) ⋮ 7
Nên 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 7 (đpcm)
➤ 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 15
Ta có 22 + 23 + ... + 260
= (2 + 22 + 23 + 24) + ( 25 + 26 + 27 + 28) + ... + (257 + 258 + 259 + 260)
= 2(1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + ... + 257(1 + 2 + 22 + 23)
= 2.15 + 25.15 + ... + 257.15
= 15.(2 + 25 + ... + 257)
Dễ thấy tích 15.(2 + 25 + ... + 257) ⋮ 15
Nên 22 + 23 + ... + 260 ⋮ 15 (đpcm)
d) Chứng minh:
➤ 3 + 33 + 35 + ... + 31991 ⋮ 13
Ta có 3 + 33 + 35 + ... + 31991
= (3 + 33 + 35) + (37 + 39 + 311) + ... + (31987 + 31989 + 31991)
= 3.(1 + 32 + 34) + 37(1 + 32 + 34) + ... + 31987(1 + 32 + 34)
= 3.91 + 37.91 + ... + 31987.91
= 91.(3 + 37 + ... + 31987)
= 7.13.(3 + 37 + ... + 31987)
Ta thấy tích 7.13.(3 + 37 + ... + 31987) ⋮ 13
Do đó 3 + 33 + 35 + ... + 31991 ⋮ 13 (đpcm)
➤ 3 + 33 + 35 + ... + 31991 ⋮ 41
Ta có 3 + 33 + 35 + ... + 31991
= (3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + (31985 + 31987 + 31989 + 31991)
= 3.(1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 31985(1 + 32 + 34 + 36)
= 3.820 + 39.820 + ... + 31985.820
= 820.(3 + 37 + ... + 31985)
= 41.20.(3 + 37 + ... + 31985)
Dễ thấy tích 41.20.(3 + 37 + ... + 31985) ⋮ 41
Do đó 3 + 33 + 35 + ... + 31991 ⋮ 41 (đpcm)
Bài 4:
Ta có a + 4b ⋮ cho 13
<=> 10(a + 4b) ⋮ 13
<=> 10a + 40b ⋮ 13
<=> 10a + b + 39b ⋮ 13
Dễ nhận thấy 39b ⋮ 13
Suy ra 10a + b ⋮ 13 (đpcm)
Xem thêm: Chứng minh dựa vào dấu hiệu chia hết.
Bài 146. Tìm các số tự nhiên x sao cho:
a) 6 ⋮ (x - 1) b) 14 ⋮ (2.x + 3)
Trả lời cho bạn:
a) Ta có 6 ⋮ (x - 1) nghĩa là (x - 1) ∈ Ư(6)
Mà Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Khi x - 1 = 1 => x = 2 (thỏa mãn x ∈ N)
Khi x - 1 = 2 => x = 3 (thỏa mãn đk)
Khi x - 1 = 3 => x = 4 (thỏa mãn)
Khi x - 1 = 6 => x = 7 (thỏa mãn)
Vậy với x = {2; 3; 4; 7} thì 6 ⋮ (x - 1)
b) 14 ⋮ (2.x + 3) nghĩa là (2x + 3) ∈ Ư(14)
Mà Ư(14) = {1; 2; 7; 14}. Do đó:
Khi 2x + 3 = 1 => 2x = 1 - 3 <=> 2x = -2 <=> x = -1 (không thỏa mãn đk x ∈ N)
Khi 2x + 3 = 2 => 2x = 2 - 3 <=> 2x = -1 <=> x = -1/2 (không thỏa mãn đk)
Khi 2x + 3 = 7 => 2x = 7 - 3 <=> 2x = 4 <=> x = 2 (thỏa mãn đk x ∈ N)
Khi 2x + 3 = 14 => 2x = 14 - 3 <=> 2x = 11 <=> x = 11/2 (không thỏa mãn đk)
Vậy với x = 2 thì 14 ⋮ (2.x + 3)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon