Giải SBT toán 7 tập hợp Q các số hữu tỉ.
Với việc chăm chú theo dõi bài giảng của cô trên lớp, ta đã hiểu được thế nào là số hữu tỉ. Tuy nhiên việc so sánh hai số hữu tỉ, cũng như biểu diễn số hữu tỉ trên trục số ... đôi khi ta còn lúng túng. Siêng năng giải những bài tập SGK và giải SBT về tập hợp các số hữu tỉ là cách để ta rèn luyện những kỹ năng còn thiếu đó.
Giải bài 1 trang 5 SBT toán 7 tập 1.
Điền kí hiệu ($\in$, $\notin$, $\subset$) thích hợp vào ô vuông:-5 $\square$ N; -5 $\square$ Z; -5 $\square$ Q; $\frac{-3}{7}$ $\square$ Z; $\frac{-3}{7}$ $\square$ Q; N $\square$ Q.
Bài giải:
Với những hiểu biết về tập hợp N các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên Z, tập hợp Q các số hữu tỉ, ta có thể điền như sau:
-5 $\notin$ N; -5 $\in$ Z; -5 $\in$ Q;
$\frac{-3}{7}$ $\notin$ Z; $\frac{-3}{7}$ $\in$ Q; N $\subset$ Q.
Giải bài 2 trang 5 SBT toán 7 tập 1.
Biểu diễn các số hữu tỉ $\frac{3}{-4}$; $\frac{5}{3}$ trên trục số.
Bài giải:
Trước hết ta xem lại cách biểu diễn một số hữu tỉ lên trục số.
Theo đó để biểu diễn số hữu tỉ $\frac{3}{-4}$ hay $\frac{-3}{4}$ trên trục số, ta thực hiện như sau:
- Chia đoạn thẳng đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới. Lúc này đơn vị mới bằng $\frac{1}{4}$ đơn vị cũ.
 |
| Biểu diễn số hữu tỉ $\frac{3}{-4}$ trên trục sô. |
- Khi đó số hữu tỉ $\frac{3}{-4}$ được biểu diễn bởi điểm A nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
Tương tự ta dễ dàng biểu diễn số hữu tỉ $\frac{5}{3}$ trên trục số bằng cách:
- Chia đoạn thẳng đơn vị thành 3 phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới. Khi đó đơn vị mới bằng $\frac{1}{3}$ đơn vị cũ.
 |
| Biểu diễn số hữu tỉ $\frac{5}{3}$ trên trục số. |
- Số hữu tỉ $\frac{5}{3}$ được biểu diễn bởi điểm B nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 5 đơn vị mới.
Giải bài 3 trang 5 SBT toán 7 tập 1.
Điền số hữu tỉ thích hợp vào ô vuông:
Bài giải:
Sau khi tính toán, ta điền như sau:
Điểm A = -1; điểm B = $\frac{-1}{3}$; điểm C = $\frac{1}{2}$; điểm D = 1$\frac{1}{3}$.
 |
| Điền số thích hợp vào ô vuông. |
Giải bài 4 trang 5 SBT toán 7 tập 1.
Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?
a) Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số hữu tỉ dương.
b) Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số tự nhiên.
c) Số 0 là số hữu tỉ dương.
d) Số nguyên âm không phải là số hữu tỉ âm.
e) Tập hợp Q gồm các số hữu tỉ dương và các số hữu tỉ âm.
Bài giải:
Nếu bạn nào trên lớp chăm chú nghe cô giáo giảng thì sẽ biết ngay câu nào đúng câu nào sai.
a) Câu này đúng, chẳng hạn $\frac{-2}{3}$ < $\frac{2}{3}$.
b) Số hữu tỉ âm là những số hữu tỉ nhỏ hơn 0, số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 0, do đó số hữu tỉ âm nhỏ hơn số tự nhiên là đúng.
c) Sai, số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ dương.
d) Sai, dĩ nhiên rồi số nguyên âm cũng là số hữu tỉ âm.
e) Sai vì còn thiếu số 0.
a) Câu này đúng, chẳng hạn $\frac{-2}{3}$ < $\frac{2}{3}$.
b) Số hữu tỉ âm là những số hữu tỉ nhỏ hơn 0, số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 0, do đó số hữu tỉ âm nhỏ hơn số tự nhiên là đúng.
c) Sai, số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ dương.
d) Sai, dĩ nhiên rồi số nguyên âm cũng là số hữu tỉ âm.
e) Sai vì còn thiếu số 0.
Giải bài 5 trang 5 SBT toán 7 tập 1.
Cho hai số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ (b > 0, d > 0). Chứng tỏ rằng:
a) Nếu $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ thì ad < bc.
b) Nếu ad < bc thì $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$.
Bài giải:
Ta có b > 0, d > 0 nên:
$\frac{a}{b}$ = $\frac{ad}{bd}$ (nhân tử và mẫu với d)
$\frac{c}{d}$ = $\frac{bc}{bd}$ (nhân tử và mẫu với b)
bd > 0. Khi đó:
a) Ta có $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$
<=> $\frac{ad}{bd}$ < $\frac{bc}{bd}$
<=> ad < bc (đpcm)
b) Ta có ad < bc
<=> $\frac{ad}{bd}$ < $\frac{bc}{bd}$ (chia tử và mẫu cho bd)
<=> $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ (đpcm)
Bài giải:
Ta có b > 0, d > 0 nên:
$\frac{a}{b}$ = $\frac{ad}{bd}$ (nhân tử và mẫu với d)
$\frac{c}{d}$ = $\frac{bc}{bd}$ (nhân tử và mẫu với b)
bd > 0. Khi đó:
a) Ta có $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$
<=> $\frac{ad}{bd}$ < $\frac{bc}{bd}$
<=> ad < bc (đpcm)
b) Ta có ad < bc
<=> $\frac{ad}{bd}$ < $\frac{bc}{bd}$ (chia tử và mẫu cho bd)
<=> $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ (đpcm)
Giải bài 6 trang 5 SBT toán 7 tập 1.
a) Chứng tỏ rằng nếu $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ (b > 0, d > 0) thì $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + c}{b + c}$ < $\frac{c}{d}$.
b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-1}{4}$.
Bài giải:
a) Theo chứng minh ở bài 5 ta có:
$\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ <=> ad < bc (1)
Cộng ab vào 2 vế của (1) ta được:
ad + ab < bc + ab
<=> a(d + b) < b(c + a) (đặt thừa số chung)
<=> $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + c}{b + d}$ (2)
Tương tự cộng cd vào hai vế của (1) ta được:
ad + cd < bc + cd
<=> d(a + c) < c(b + d)
<=> $\frac{a + c}{b + d}$ < $\frac{c}{d}$ (3)
Từ (2) và (3) suy ra $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + c}{b + d}$ < $\frac{c}{d}$ (đpcm)
b) Ta sẽ dựa vô kết quả câu a để làm câu b:
Ta có $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + c}{b + d}$ < $\frac{c}{d}$
Do đó từ $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-1}{4}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-1 + (-1)}{3 + 4}$ < $\frac{-1}{4}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-2}{7}$ < $\frac{-1}{4}$
$\frac{-1}{3}$ < $\frac{-2}{7}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-1 + (-2)}{3 + 7}$ < $\frac{-2}{7}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-3}{10}$ < $\frac{-2}{7}$
$\frac{-1}{3}$ < $\frac{-3}{10}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-1 + (-3)}{3 + 10}$ < $\frac{-3}{10}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-4}{13}$ < $\frac{-3}{10}$
Vậy ba số hữu tỉ xen giữa $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-1}{4}$ đó là:
$\frac{-1}{3}$ < $\frac{-4}{13}$ < $\frac{-3}{10}$ < $\frac{-2}{7}$ < $\frac{-1}{4}$.
a) Theo chứng minh ở bài 5 ta có:
$\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ <=> ad < bc (1)
Cộng ab vào 2 vế của (1) ta được:
ad + ab < bc + ab
<=> a(d + b) < b(c + a) (đặt thừa số chung)
<=> $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + c}{b + d}$ (2)
Tương tự cộng cd vào hai vế của (1) ta được:
ad + cd < bc + cd
<=> d(a + c) < c(b + d)
<=> $\frac{a + c}{b + d}$ < $\frac{c}{d}$ (3)
Từ (2) và (3) suy ra $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + c}{b + d}$ < $\frac{c}{d}$ (đpcm)
b) Ta sẽ dựa vô kết quả câu a để làm câu b:
Ta có $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + c}{b + d}$ < $\frac{c}{d}$
Do đó từ $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-1}{4}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-1 + (-1)}{3 + 4}$ < $\frac{-1}{4}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-2}{7}$ < $\frac{-1}{4}$
$\frac{-1}{3}$ < $\frac{-2}{7}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-1 + (-2)}{3 + 7}$ < $\frac{-2}{7}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-3}{10}$ < $\frac{-2}{7}$
$\frac{-1}{3}$ < $\frac{-3}{10}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-1 + (-3)}{3 + 10}$ < $\frac{-3}{10}$ => $\frac{-1}{3}$ < $\frac{-4}{13}$ < $\frac{-3}{10}$
Vậy ba số hữu tỉ xen giữa $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-1}{4}$ đó là:
$\frac{-1}{3}$ < $\frac{-4}{13}$ < $\frac{-3}{10}$ < $\frac{-2}{7}$ < $\frac{-1}{4}$.
Giải bài 7 trang 5 SBT toán 7 tập 1.
Tìm x $\in$ Q, biết rằng x là số âm lớn nhất được viết bằng ba chữ số 1.
Bài giải:
Với ba chữ số 1, ta có thể viết được các số hữu tỉ: $\frac{1}{11}$; $\frac{-1}{11}$; $\frac{11}{1}$; $\frac{-11}{1}$; ; 111; -111. Trong đó số hữu tỉ âm lớn nhất là $\frac{-1}{11}$.
Vậy x = $\frac{-1}{11}$.
Với ba chữ số 1, ta có thể viết được các số hữu tỉ: $\frac{1}{11}$; $\frac{-1}{11}$; $\frac{11}{1}$; $\frac{-11}{1}$; ; 111; -111. Trong đó số hữu tỉ âm lớn nhất là $\frac{-1}{11}$.
Vậy x = $\frac{-1}{11}$.
Giải bài 8 trang 5 SBT toán 7 tập 1.
So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất.
a) $\frac{-1}{5}$ và $\frac{1}{1000}$ b) $\frac{267}{-268}$ và $\frac{-1347}{1343}$
c) $\frac{-13}{38}$ và $\frac{29}{-88}$ d) $\frac{-18}{31}$ và $\frac{-181818}{313131}$
Bài giải:
a) Ta có $\frac{-1}{5}$ < 0
Mà 0 < $\frac{1}{1000}$
Nên $\frac{-1}{5}$ < $\frac{1}{1000}$
b) Ta có: $\frac{267}{268}$ < 1
<=> $\frac{-267}{268}$ > -1 (nhân hai vế với -1, bất đẳng thức đổi chiều)
Hay $\frac{267}{-268}$ > -1 (1)
Tương tự $\frac{1347}{1343}$ > 1
<=> $\frac{-1347}{1343}$ < -1 (nhân tử cả hai vế với -1, bất đẳng thức đổi chiều) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{267}{-268}$ > $\frac{-1347}{1343}$
c) Ta có $\frac{13}{38}$ > $\frac{13}{39}$ (hai phân số cùng tử, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn)
Hay $\frac{13}{38}$ > $\frac{1}{3}$. (rút gọn $\frac{13}{39}$ = $\frac{1}{3}$) (1)
Ta có $\frac{1}{3}$ = $\frac{29}{87}$ (nhân tử và mẫu với 29 để được phân số có tử giống với tử của phân số $\frac{29}{-88}$) (2)
Mà $\frac{29}{87}$ > $\frac{29}{88}$ (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra $\frac{13}{38}$ > $\frac{29}{88}$.
Do đó $\frac{-13}{38}$ < $\frac{-29}{88}$ (nhân hai vế với (-1) bất đẳng thức đổi chiều).
Hay $\frac{-13}{38}$ < $\frac{29}{-88}$.
d) Nhân tử và mẫu của phân số $\frac{-18}{31}$ với 10101, ta được
$\frac{-18.10101}{31.10101}$ = $\frac{-181818}{313131}$
Vậy $\frac{-18}{31}$ = $\frac{-181818}{313131}$.
a) Ta có $\frac{-1}{5}$ < 0
Mà 0 < $\frac{1}{1000}$
Nên $\frac{-1}{5}$ < $\frac{1}{1000}$
b) Ta có: $\frac{267}{268}$ < 1
<=> $\frac{-267}{268}$ > -1 (nhân hai vế với -1, bất đẳng thức đổi chiều)
Hay $\frac{267}{-268}$ > -1 (1)
Tương tự $\frac{1347}{1343}$ > 1
<=> $\frac{-1347}{1343}$ < -1 (nhân tử cả hai vế với -1, bất đẳng thức đổi chiều) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{267}{-268}$ > $\frac{-1347}{1343}$
c) Ta có $\frac{13}{38}$ > $\frac{13}{39}$ (hai phân số cùng tử, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn)
Hay $\frac{13}{38}$ > $\frac{1}{3}$. (rút gọn $\frac{13}{39}$ = $\frac{1}{3}$) (1)
Ta có $\frac{1}{3}$ = $\frac{29}{87}$ (nhân tử và mẫu với 29 để được phân số có tử giống với tử của phân số $\frac{29}{-88}$) (2)
Mà $\frac{29}{87}$ > $\frac{29}{88}$ (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra $\frac{13}{38}$ > $\frac{29}{88}$.
Do đó $\frac{-13}{38}$ < $\frac{-29}{88}$ (nhân hai vế với (-1) bất đẳng thức đổi chiều).
Hay $\frac{-13}{38}$ < $\frac{29}{-88}$.
d) Nhân tử và mẫu của phân số $\frac{-18}{31}$ với 10101, ta được
$\frac{-18.10101}{31.10101}$ = $\frac{-181818}{313131}$
Vậy $\frac{-18}{31}$ = $\frac{-181818}{313131}$.
Giải bài 9 trang 5 SBT toán 7 tập 1.
Cho a, b $\in$ Z, b > 0. So sánh hai số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ và $\frac{a + 2001}{b + 2001}$.
Bài giải:
Ta có:
a(b + 2001) = ab + 2001a
b(a + 2001) = ab + 2001b
Theo đề b > 0 <=> b + 2001 > 0
Khi đó:
- Nếu a > b thì:
2001a > 2001b
<=> ab + 2001a > ab + 2001b
<=> a(b + 2001) > b(a + 2001)
<=> $\frac{a}{b}$ > $\frac{a + 2001}{b + 2001}$
- Nếu a < b thì:
2001a < 2001b
<=> ab + 2001a < ab + 2001b
<=> a(b + 2001) < b(a + 2001)
<=> $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + 2001}{b + 2001}$
- Nếu a = b, dĩ nhiên ta có $\frac{a}{b}$ = $\frac{a + 2001}{b + 2001}$.
Ta có:
a(b + 2001) = ab + 2001a
b(a + 2001) = ab + 2001b
Theo đề b > 0 <=> b + 2001 > 0
Khi đó:
- Nếu a > b thì:
2001a > 2001b
<=> ab + 2001a > ab + 2001b
<=> a(b + 2001) > b(a + 2001)
<=> $\frac{a}{b}$ > $\frac{a + 2001}{b + 2001}$
- Nếu a < b thì:
2001a < 2001b
<=> ab + 2001a < ab + 2001b
<=> a(b + 2001) < b(a + 2001)
<=> $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + 2001}{b + 2001}$
- Nếu a = b, dĩ nhiên ta có $\frac{a}{b}$ = $\frac{a + 2001}{b + 2001}$.
EmoticonEmoticon