[Toán 8] Tính nhanh

Ngày 18/9/2017 bạn có nickname BlackPink Blink gửi yêu cầu:
Tính nhanh:
B = $20^2$ + $18^2$ + $16^2$ + ... + $4^2$ + $2^2$ - ($19^2$ + $17^2$ + ... + $3^2$ + $1^2$)
C = (3 + 1)($3^2$ + 1)($3^4$ + 1)($3^8$ + 1)($3^{16}$ + 1)
E = $1^2$ - $2^2$ + $3^2$ - $4^2$ + ... - $2004^2$ + $2005^2$

Trả lời cho bạn:
Để tính nhanh bài này, ta sẽ vận dụng hằng đẳng thức bình phương một hiệu. Bạn có thể xem lại những hằng đẳng thức đáng nhớ.
B = $20^2$ + $18^2$ + $16^2$ + ... + $4^2$ + $2^2$ - ($19^2$ + $17^2$ + ... + $3^2$ + $1^2$)
= $20^2$ + $18^2$ + $16^2$ + ... + $2^2$ + $1^2$ - $19^2$ - $17^2$ - ... - $3^2$ - $1^2$
= ($20^2$ - $19^2$) + ($18^2$ - $17^2$) + ($16^2$ - $15^2$) + ... + ($4^2$ - $3^2$) + ($2^2$ - $1^2$)
= (20 - 19)(20 + 19) + (18 - 17)(18 + 17) + (16 - 15)(16 + 15) + ... + (4 - 3)(4 + 3) + (2 - 1)(2 + 1)
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + ... + 4 + 3 + 2 + 1
= $\frac{(20 + 1).20}{2}$ = 210.

C = (3 + 1)($3^2$ + 1)($3^4$ + 1)($3^8$ + 1)($3^{16}$ + 1)
Ta có C = (3 + 1)($3^2$ + 1)($3^4$ + 1)($3^8$ + 1)($3^{16}$ + 1)
Suy ra 2.C = 2.(3 + 1)($3^2$ + 1)($3^4$ + 1)($3^8$ + 1)($3^{16}$ + 1)
<=> 2C = (3 - 1)(3 + 1)($3^2$ + 1)($3^4$ + 1)($3^8$ + 1)($3^{16}$ + 1)
<=> 2C = ($3^2$ - 1)($3^2$ + 1)($3^4$ + 1)($3^8$ + 1)($3^{16}$ + 1)
<=> 2C = [$(3^2)^2$ - 1]($3^4$ + 1)($3^8$ + 1)($3^{16}$ + 1)
<=> 2C = ($3^4$ - 1)($3^4$ + 1)($3^8$ + 1)($3^{16}$ + 1)

<=> 2C = [$(3^4)^2$ - 1]($3^8$ + 1)($3^{16}$ + 1)

<=> 2C = ($3^8$ - 1)($3^8$ + 1)($3^{16}$ + 1)

<=> 2C = [$(3^8)^2$ - 1]($3^{16}$ + 1)

<=> 2C = ($3^{16}$ - 1)($3^{16}$ + 1)

<=> 2C = $(3^{16})^2$ - 1

<=> 2C = $3^{32}$ - 1

<=> C = $\frac{3^{32} - 1}{2}$ 

Có thể viết lại:
E = $1^2$ - $2^2$ + $3^2$ - $4^2$ + $5^2$ ... - $2004^2$ + $2005^2$
= 1 + ($3^2$ - $2^2$) +  ($5^2$ - $4^2$) + ... +  ($2005^2$ - $2004^2$)
= 1 + (3 - 2)(3 + 2) + (5 - 4)(5 + 4) + ... + (2005 - 2004)(2005 + 2004)
= 1 + 5 + 9 + ... + 4009
= [(4009 - 1):4 + 1].(4009 + 1):2
= 1003. 2005
= 2011015.

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.

• [Toán 8] Tính chiều cao của ống khói. Ngày 1/4/2018 bạn Tam Nguyen yêu cầu bài toán: Một ống khói của nhà máy có bóng trên mặt đất là 36
• [Toán 9] Giải các phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$Ngày 5/8/2018 bạn Nguyễn Hân gửi bài toán giải các phương trình sau: 1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x
• [Toán 8] Chứng minh tứ giác BB''CC'' là hình thang.Ngày 11/9/2018 bạn có nickname Đepchat gửi bài toán: Cho tam giác ABC. Trên tia AC lấy điểm B'&
• [Toán 8] Chứng minh AECB là hình thang vuông.Ngày 13/9/2018 bạn Dang Dang gửi bài toán:Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC bằng 2cm. Ở phía ngo
• [Toán 9] Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosCNgày 4/10/2018 bạn Anh Tran gửi bài toán: Cho tam giác ABC nhọn a) Chứng minh $\frac{BC}{sinA}$ = $
• Hai đường thẳng Mz và Ny có song song với nhau hay không.Ngày 2/8/2018 bạn có nickname Toikhongbiet yêu cầu bài tập bổ sung 4.3 trong bài hai đường thẳng so