[Toán 8] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Ngày 6/9/2017 bạn Ánh Nhung yêu cầu bài toán:
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) $x^2$ - 2x + 1 b) $x^2$ + x + 1 c) 4$x^2$ + 4x - 5
d) (x - 3)(x + 5) + 4 e) $x^2$ - 4x + $y^2$ - 8y + 6
Trả lời cho bạn:
a) $x^2$ - 2x + 1 = $(x - 1)^2$
Ta có $(x - 1)^2$ $\geq$ 0 với mọi x.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = 0 <=> x = 1.
Do đó GTNN của biểu thức $x^2$ - 2x + 1 là 0 khi x = 1.
b) $x^2$ + x + 1 = $x^2$ + x + $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $(x + \frac{1}{2})^2$ + $\frac{3}{4}$
Ta có $(x + \frac{1}{2})^2$ + $\frac{3}{4}$ $\geq$ $\frac{3}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + $\frac{1}{2}$ = 0 <=> x = -$\frac{1}{2}$
Vậy GTNN của biểu thức $x^2$ + x + 1 là $\frac{3}{4}$ khi x = -$\frac{1}{2}$
c) 4$x^2$ + 4x - 5 = $(2x)^2$ + 2.2x + 1 - 6 = $(2x + 1)^2$ - 6
Ta có $(2x + 1)^2$ - 6 $\geq$ - 6
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2x + 1 = 0 <=> x = -$\frac{1}{2}$
Vậy GTNN của biểu thức 4$x^2$ + 4x - 5 là -6 khi x = -$\frac{1}{2}$
d) (x - 3)(x + 5) + 4 = x.x - 3.x + 5.x - 3.5 + 4 = $x^2$ + 2x - 11 = $x^2$ + 2x + 1 - 12 = $(x + 1)^2$ - 12
Ta có $(x + 1)^2$ - 12 $\geq$ -12
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 <=> x = -1
Vậy GTNN của biểu thức (x - 3)(x + 5) + 4 là -12 khi x = -1
e) $x^2$ - 4x + $y^2$ - 8y + 6
= $x^2$ - 2.2x + 4 + $y^2$ - 2.4y + 16 - 14
= $(x - 2)^2$ + $(y - 4)^2$ - 14
Ta có $(x - 2)^2$ + $(y - 4)^2$ $\geq$ -14
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $(x - 2)^2$ + $(y - 4)^2$ = 0
<=> $\begin{cases}x - 2 = 0 \\ y - 4 = 0\end{cases}$
<=> $\begin{cases}x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$
Vậy GTNN của biểu thức $x^2$ - 4x + $y^2$ - 8y + 6 là -14 khi $\begin{cases}x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) $x^2$ - 2x + 1 b) $x^2$ + x + 1 c) 4$x^2$ + 4x - 5
d) (x - 3)(x + 5) + 4 e) $x^2$ - 4x + $y^2$ - 8y + 6
Trả lời cho bạn:
a) $x^2$ - 2x + 1 = $(x - 1)^2$
Ta có $(x - 1)^2$ $\geq$ 0 với mọi x.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = 0 <=> x = 1.
Do đó GTNN của biểu thức $x^2$ - 2x + 1 là 0 khi x = 1.
b) $x^2$ + x + 1 = $x^2$ + x + $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $(x + \frac{1}{2})^2$ + $\frac{3}{4}$
Ta có $(x + \frac{1}{2})^2$ + $\frac{3}{4}$ $\geq$ $\frac{3}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + $\frac{1}{2}$ = 0 <=> x = -$\frac{1}{2}$
Vậy GTNN của biểu thức $x^2$ + x + 1 là $\frac{3}{4}$ khi x = -$\frac{1}{2}$
c) 4$x^2$ + 4x - 5 = $(2x)^2$ + 2.2x + 1 - 6 = $(2x + 1)^2$ - 6
Ta có $(2x + 1)^2$ - 6 $\geq$ - 6
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2x + 1 = 0 <=> x = -$\frac{1}{2}$
Vậy GTNN của biểu thức 4$x^2$ + 4x - 5 là -6 khi x = -$\frac{1}{2}$
d) (x - 3)(x + 5) + 4 = x.x - 3.x + 5.x - 3.5 + 4 = $x^2$ + 2x - 11 = $x^2$ + 2x + 1 - 12 = $(x + 1)^2$ - 12
Ta có $(x + 1)^2$ - 12 $\geq$ -12
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 <=> x = -1
Vậy GTNN của biểu thức (x - 3)(x + 5) + 4 là -12 khi x = -1
e) $x^2$ - 4x + $y^2$ - 8y + 6
= $x^2$ - 2.2x + 4 + $y^2$ - 2.4y + 16 - 14
= $(x - 2)^2$ + $(y - 4)^2$ - 14
Ta có $(x - 2)^2$ + $(y - 4)^2$ $\geq$ -14
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $(x - 2)^2$ + $(y - 4)^2$ = 0
<=> $\begin{cases}x - 2 = 0 \\ y - 4 = 0\end{cases}$
<=> $\begin{cases}x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$
Vậy GTNN của biểu thức $x^2$ - 4x + $y^2$ - 8y + 6 là -14 khi $\begin{cases}x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon