Giải bài luyện tập hình thang cân
Nhiều bạn trong chúng ta thắc mắc là tại sao "hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân". Điều đó sẽ được chứng minh cụ thể thông qua một bài tập trong phần luyện tập về hình thang cân ngay sau đây.
Bài giải:
Ta có:
$\widehat{ABD}$ = $\frac{1}{2}$$\widehat{B}$ (BD là phân giác)
$\widehat{ACE}$ = $\frac{1}{2}$$\widehat{C}$ (CE là phân giác)
Mà $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ (tam giác ABC cân tại A)
Nên $\widehat{ABD}$ = $\widehat{ACE}$
Xét hai tam giác ADB và AEC có:
$\widehat{A}$ chung
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
$\widehat{ABD}$ = $\widehat{ACE}$ (chứng minh trên)
Do đó $\Delta$ ADB = $\Delta$ AEC (g-c-g)
Suy ra AD = AE
Nên tam giác ADE cân tại A
Ta có:
$\widehat{AED}$ = $\frac{180^0 - \widehat{A}}{2}$ (tam giác ADE cân tại A)
$\widehat{B}$ = $\frac{180^0 - \widehat{A}}{2}$ (tam giác ABC cân tại A)
Suy ra $\widehat{AED}$ = $\widehat{B}$
Nên ED//BC
Do đó: tứ giác BEDC là hình thang
Hình thang BEDC có $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ nên BEDC là hình thang cân.
Ta có ED//BC => $\widehat{D_1}$ = $\widehat{B_2}$ (so le trong)
Mà $\widehat{B_1}$ = $\widehat{B_2}$ (chứng minh trên)
Nên $\widehat{D_1}$ = $\widehat{B_1}$
Do đó tam giác BED cân tại E
Suy ra EB = ED
Vậy hình thang BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ ED bằng cạnh bên EB.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 16 trang 75 sgk hình học 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D $\in$ AC, E $\in$ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.Bài giải:
$\widehat{ACE}$ = $\frac{1}{2}$$\widehat{C}$ (CE là phân giác)
Mà $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ (tam giác ABC cân tại A)
Nên $\widehat{ABD}$ = $\widehat{ACE}$
 |
| Hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên. |
$\widehat{A}$ chung
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
$\widehat{ABD}$ = $\widehat{ACE}$ (chứng minh trên)
Do đó $\Delta$ ADB = $\Delta$ AEC (g-c-g)
Suy ra AD = AE
Nên tam giác ADE cân tại A
Ta có:
$\widehat{AED}$ = $\frac{180^0 - \widehat{A}}{2}$ (tam giác ADE cân tại A)
$\widehat{B}$ = $\frac{180^0 - \widehat{A}}{2}$ (tam giác ABC cân tại A)
Suy ra $\widehat{AED}$ = $\widehat{B}$
Nên ED//BC
Do đó: tứ giác BEDC là hình thang
Hình thang BEDC có $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ nên BEDC là hình thang cân.
Ta có ED//BC => $\widehat{D_1}$ = $\widehat{B_2}$ (so le trong)
Mà $\widehat{B_1}$ = $\widehat{B_2}$ (chứng minh trên)
Nên $\widehat{D_1}$ = $\widehat{B_1}$
Do đó tam giác BED cân tại E
Suy ra EB = ED
Vậy hình thang BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ ED bằng cạnh bên EB.
Giải bài 17 trang 75 sgk hình học 8 tập 1
Hình thang ABCD (AB//CD) có $\widehat{ACD}$ = $\widehat{BDC}$. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Bài giải:
Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Ta có
$\widehat{ACD}$ = $\widehat{BDC}$ nên tam giác DEC cân tại E
Suy ra ED = EC (1)
Ta lại có: AB // CD => $\begin{cases}\widehat{ACD} = \widehat{BAE}\\\widehat{BDC} = \widehat{ABE}\end{cases}$
Mà $\widehat{ACD}$ = $\widehat{BDC}$ (gt)
Nên $\widehat{BAE}$ = $\widehat{ABE}$
Do đó tam giác AEB cân tại A => EA = EB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AC = BD
Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.
Ta có
$\widehat{ACD}$ = $\widehat{BDC}$ nên tam giác DEC cân tại E
Suy ra ED = EC (1)
Ta lại có: AB // CD => $\begin{cases}\widehat{ACD} = \widehat{BAE}\\\widehat{BDC} = \widehat{ABE}\end{cases}$
Mà $\widehat{ACD}$ = $\widehat{BDC}$ (gt)
Nên $\widehat{BAE}$ = $\widehat{ABE}$
Do đó tam giác AEB cân tại A => EA = EB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AC = BD
Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.
Giải bài 18 trang 75 sgk hình học 8 tập 1
Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng:
a) $\Delta$ BDE là tam giác cân
b) $\Delta$ ACD = $\Delta$ BDC
c) Hình thang ABCD là hình thang cân
Bài giải:
a) Ta có
AB//CD => $\begin{cases}AB//CE\\AC//BE\end{cases}$
=> AC = BE
Ta lại có: AC = BD (gt) => BE = BD
Do đó tam giác BDE cân tại B
b) Ta có AC//BE => $\widehat{ACD}$ = $\widehat{BEC}$ (hai góc đồng vị)
Ta lại có:
$\widehat{BDE}$ = $\widehat{BEC}$ (tam giác BDE cân tại B)
=> $\widehat{BDC}$ = $\widehat{ACD}$
Xét hai tam giác ACD và BDC có:
Cạnh DC chung
$\widehat{BDC}$ = $\widehat{ACD}$ (chứng minh trên)
AD = BD (gt)
Nên $\Delta$ ACD = $\Delta$ BDC (c-g-c)
c) Hình thang ABCD có:
$\widehat{ADC}$ = $\widehat{BCD}$ ($\Delta$ ACD = $\Delta$ BDC)
Nên hình thang ABCD là hình thang cân.
Bài giải:
a) Ta có
=> AC = BE
Ta lại có: AC = BD (gt) => BE = BD
Do đó tam giác BDE cân tại B
b) Ta có AC//BE => $\widehat{ACD}$ = $\widehat{BEC}$ (hai góc đồng vị)
Ta lại có:
$\widehat{BDE}$ = $\widehat{BEC}$ (tam giác BDE cân tại B)
=> $\widehat{BDC}$ = $\widehat{ACD}$
Xét hai tam giác ACD và BDC có:
Cạnh DC chung
$\widehat{BDC}$ = $\widehat{ACD}$ (chứng minh trên)
AD = BD (gt)
Nên $\Delta$ ACD = $\Delta$ BDC (c-g-c)
c) Hình thang ABCD có:
$\widehat{ADC}$ = $\widehat{BCD}$ ($\Delta$ ACD = $\Delta$ BDC)
Nên hình thang ABCD là hình thang cân.
Giải bài 19 trang 75 sgk hình học 8 tập 1
Đố. Cho ba điểm A, D, K trên giấy kẻ ô vuông (h.32). Hãy tìm điểm thứ tư M là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn điểm của hình thang cân.
Bài giải:
Nếu cạnh của mỗi ô vuông là 1 đơn vị thì:
Ta có AK = 3 nên ta phải chọn M sao cho AM//DK và DM = 3. Khi đó ta được hình thang cân ADKM như hình bên.
Ta có AK = 3 nên ta phải chọn M sao cho AM//DK và DM = 3. Khi đó ta được hình thang cân ADKM như hình bên.
Xem bài trước: Giải bài tập về hình thang cân
EmoticonEmoticon