Giải bài tập liên hệ giữa cung và dây.
Trong bài liên hệ giữa cung và dây, cô giáo đã dạy "với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau thì hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau, cung lớn hơn căng dây lớn hơn, dây lớn hơn căng cung lớn hơn". Nhiệm vụ của chúng ta là phải vận dụng những hiểu biết đó để giải những bài tập về liên hệ giữa cung và dây.
b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12.
Bài giải:
a) Cung AB có số đo bằng $60^0$ thì góc ở tâm AOB cũng có số đo bằng $60^0$.
Do đó ta sẽ vẽ góc ở tâm $\widehat{AOB}$ = $60^0$. Góc này cắt đường tròn O tại hai điểm A và B. Khi đó cung AB là cung phải vẽ.
Ta có OA = OB = R nên tam giác AOB cân.
Mà $\widehat{AOB}$ = $60^0$.
Nên tam giác AOB đều.
Suy ra AB = OA = OB = R = 2cm.
⤷ Ngược lại, nếu dây AB = R thì tam giác AOB đều.
Do đó $\widehat{AOB}$ = $60^0$.
Suy ra sđ ⁀AB = $60^0$.
b) Vậy làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau?
Ta biết cả đường tròn có số đo $360^0$ được chia thành 6 cung bằng nhau nên số đo của mỗi cung sẽ là $360^0$ : 6 = $60^0$. Khi đó các dây căng của mỗi cung sẽ bằng R.
Qua phân tích trên, ta có cách vẽ như sau: Lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn, dùng compa với khẩu độ bằng R, vẽ liên tiếp các điểm B, C, D, E, F, ta được 6 cung bằng nhau.
a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung lớn ED thành hai cung bằng nhau: ⁀BE = ⁀BD).
Bài giải:
a) So sánh ⁀BC và ⁀BD
Ta có tam giác BAC nội tiếp đường tròn (O), tam giác BAD nội tiếp đường tròn (O'). Nên tam giác BAC và BAD vuông tại B.
Xét hai tam giác vuông BAC và BAD có:
AC = AD (đường kính của hai đường tròn bằng nhau)
Cạnh AB chung
Vậy $\Delta$ BAC = $\Delta$ BAD
Suy ra BC = BD (hai cạnh tương ứng)
Mà hai đường tròn (O) và (O') bằng nhau nên hai dây bằng nhau sẽ căng hai cung bằng nhau.
Do đó ⁀BC = ⁀BD.
b) Chứng minh ⁀BE = ⁀BD.
Ta có E $\in$ (O' ; AD) nên $\widehat{AED}$ = $90^0$
Mặt khác BC = BD (1) (cmt)
Nên EB là trung tuyến của tam giác vuông ECD.
Suy ra EB = $\frac{1}{2}$ CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = BD
Như vậy, trong đường tròn (O'), dây BE bằng dây BD. Suy ra ⁀BE = ⁀BD.
Nói cách khác B là điểm chính giữa của cung EBD (đpcm)
a) Chứng minh rằng OH > OK.
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
Bài giải:
a) Chứng minh OH > OK.
Trong tam giác ABC, ta có:
BC < AB + AC.
Mà AC = AD
Nên BC < AB + AD
Hay BC < BD
Theo định lí 2 về dây và khoảng cách từ tâm đến dây thì trong hai dây của đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
BD > BC nên BD gần tâm hơn.
Suy ra OH > OK. (đpcm)
b) So sánh ⁀BD và ⁀BC.
Trong đường tròn (O), ta có BC < BD
Suy ra ⁀BC < ⁀BD.
Bài giải:
GT Cho đường tròn (O)
EF // MN
KL ⁀EM = ⁀FN
Chứng minh:
Vẽ đường kính AB vuông góc với dây MN và EF.
Ta có
MN $\perp$ AB => sđ ⁀AM = sđ ⁀AN (1)
EF $\perp$ AB => sđ ⁀AE = sđ ⁀AF (2)
Trừ (1) và (2) vế theo vế, ta được:
sđ ⁀AM - sđ ⁀AE = sđ ⁀AN - sđ ⁀AF
Hay sđ ⁀EM = sđ ⁀FN
=> ⁀EM = ⁀FN (đpcm).
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
Bài giải:
GT Đường tròn (O)
AB: đường kính
MN: dây cung
⁀AM = ⁀AN
KL IM = IN
a) Ta có ⁀AM = ⁀AN (gt)
=> AM = AN (liên hệ giữa cung và dây)
Ta lại có OA = OB = R
Do đó OA là đường trung trực của MN
Hay đường kính AB là đường trung trực của dây MN.
Suy ra IM = IN (đpcm)
⤵ Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
➤ Ta dễ dàng nhận thấy mệnh đề đảo này không đúng, khi dây đó lại là đường kính.
Thật vậy, nếu MN là đường kính. Khi đó I ≡ O
Ta sẽ có IM = IN = R, nhưng cung AM $\neq$ cung AN lớn.
Do đó mệnh đề đảo không đúng.
➤ Mệnh đề đảo sẽ đúng nếu dây đó không đi qua tâm. Khi đó mệnh đề đảo được phát biểu như sau: Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Chứng minh:
Ta có OM = ON = R nên tam giác OMN cân tại O.
Ta lại có IM = IN (gt)
Do đó OI là trung tuyến của tam giác cân OMN vừa là phân giác.
Nên $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$
Suy ra ⁀AM = ⁀AN
b) Ta có ⁀AM = ⁀AN (gt)
=> AM = AN, chứng tỏ điểm A nằm trên đường trung trực của MN
Ta cũng có OM = ON = R, chứng tỏ điểm O nằm trên đường trung trực của MN.
Suy ra OA hay AB là đường trung trực của dây MN.
Nghĩa là AB $\perp$ MN.
⤵ Ngược lại: Đường kính vuông góc với dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Chứng minh:
Ta có OM = ON = R nên tam giác OMN cân tại O.
Mà OA $\perp$ MN tại I.
Nên OA vừa là trung trực vừa là đường phân giác góc MON.
=> $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$.
Xét hai tam giác OMA và ONA có:
OM = ON = R
$\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$.
Cạnh OA chung.
Vậy $\Delta$ OMA = $\Delta$ ONA.
Suy ra AM = AN (hai cạnh tương ứng)
Do đó ⁀AM = ⁀AN
Nói cách khác A là điểm chính giữa của cung MN. (đpcm)
Trên cở sở định lí 1 và 2 về liên hệ giữa cung và dây, ta hiểu thêm về nhóm định lí liên hệ giữa đường kính, cung và dây, định lí hai cung chắn giữa hai dây song song.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 10 trang 71 sgk hình học 9 tập 2.
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng $60^0$. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet?b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12.
Bài giải:
a) Cung AB có số đo bằng $60^0$ thì góc ở tâm AOB cũng có số đo bằng $60^0$.
Do đó ta sẽ vẽ góc ở tâm $\widehat{AOB}$ = $60^0$. Góc này cắt đường tròn O tại hai điểm A và B. Khi đó cung AB là cung phải vẽ.
Ta có OA = OB = R nên tam giác AOB cân.
Mà $\widehat{AOB}$ = $60^0$.
Nên tam giác AOB đều.
Suy ra AB = OA = OB = R = 2cm.
⤷ Ngược lại, nếu dây AB = R thì tam giác AOB đều.
Do đó $\widehat{AOB}$ = $60^0$.
Suy ra sđ ⁀AB = $60^0$.
b) Vậy làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau?
Ta biết cả đường tròn có số đo $360^0$ được chia thành 6 cung bằng nhau nên số đo của mỗi cung sẽ là $360^0$ : 6 = $60^0$. Khi đó các dây căng của mỗi cung sẽ bằng R.
 |
| Hình 12. |
Giải bài 11 trang 72 sgk hình học 9 tập 2.
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O') khác điểm O.a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung lớn ED thành hai cung bằng nhau: ⁀BE = ⁀BD).
Bài giải:
a) So sánh ⁀BC và ⁀BD
Ta có tam giác BAC nội tiếp đường tròn (O), tam giác BAD nội tiếp đường tròn (O'). Nên tam giác BAC và BAD vuông tại B.
Xét hai tam giác vuông BAC và BAD có:
AC = AD (đường kính của hai đường tròn bằng nhau)
Cạnh AB chung
Vậy $\Delta$ BAC = $\Delta$ BAD
Suy ra BC = BD (hai cạnh tương ứng)
Mà hai đường tròn (O) và (O') bằng nhau nên hai dây bằng nhau sẽ căng hai cung bằng nhau.
Do đó ⁀BC = ⁀BD.
 |
| So sánh các cung nhỏ BC, BD. |
b) Chứng minh ⁀BE = ⁀BD.
Ta có E $\in$ (O' ; AD) nên $\widehat{AED}$ = $90^0$
Mặt khác BC = BD (1) (cmt)
Nên EB là trung tuyến của tam giác vuông ECD.
Suy ra EB = $\frac{1}{2}$ CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = BD
Như vậy, trong đường tròn (O'), dây BE bằng dây BD. Suy ra ⁀BE = ⁀BD.
Nói cách khác B là điểm chính giữa của cung EBD (đpcm)
Giải bài 12 trang 72 sgk hình học 9 tập 2.
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H $\in$ BC, K $\in$ BD).a) Chứng minh rằng OH > OK.
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
Bài giải:
 |
| Đường tròn O ngoại tiếp tam giác DBC. |
a) Chứng minh OH > OK.
Trong tam giác ABC, ta có:
BC < AB + AC.
Mà AC = AD
Nên BC < AB + AD
Hay BC < BD
Theo định lí 2 về dây và khoảng cách từ tâm đến dây thì trong hai dây của đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
BD > BC nên BD gần tâm hơn.
Suy ra OH > OK. (đpcm)
b) So sánh ⁀BD và ⁀BC.
Trong đường tròn (O), ta có BC < BD
Suy ra ⁀BC < ⁀BD.
Giải bài 13 trang 72 sgk hình học 9 tập 2.
Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.Bài giải:
GT Cho đường tròn (O)
EF // MN
KL ⁀EM = ⁀FN
 |
| Hai cung bị chắn hai dây song song thì bằng nhau. |
Vẽ đường kính AB vuông góc với dây MN và EF.
Ta có
MN $\perp$ AB => sđ ⁀AM = sđ ⁀AN (1)
EF $\perp$ AB => sđ ⁀AE = sđ ⁀AF (2)
Trừ (1) và (2) vế theo vế, ta được:
sđ ⁀AM - sđ ⁀AE = sđ ⁀AN - sđ ⁀AF
Hay sđ ⁀EM = sđ ⁀FN
=> ⁀EM = ⁀FN (đpcm).
Giải bài 14 trang 72 sgk hình học 9 tập 2.
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
Bài giải:
GT Đường tròn (O)
AB: đường kính
MN: dây cung
⁀AM = ⁀AN
KL IM = IN
a) Ta có ⁀AM = ⁀AN (gt)
=> AM = AN (liên hệ giữa cung và dây)
Ta lại có OA = OB = R
Do đó OA là đường trung trực của MN
Hay đường kính AB là đường trung trực của dây MN.
Suy ra IM = IN (đpcm)
⤵ Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
➤ Ta dễ dàng nhận thấy mệnh đề đảo này không đúng, khi dây đó lại là đường kính.
Thật vậy, nếu MN là đường kính. Khi đó I ≡ O
Ta sẽ có IM = IN = R, nhưng cung AM $\neq$ cung AN lớn.
Do đó mệnh đề đảo không đúng.
➤ Mệnh đề đảo sẽ đúng nếu dây đó không đi qua tâm. Khi đó mệnh đề đảo được phát biểu như sau: Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Chứng minh:
Ta có OM = ON = R nên tam giác OMN cân tại O.
Ta lại có IM = IN (gt)
Do đó OI là trung tuyến của tam giác cân OMN vừa là phân giác.
Nên $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$
Suy ra ⁀AM = ⁀AN
 |
| Đường kính AB đi qua điểm chính giữa của cung. |
=> AM = AN, chứng tỏ điểm A nằm trên đường trung trực của MN
Ta cũng có OM = ON = R, chứng tỏ điểm O nằm trên đường trung trực của MN.
Suy ra OA hay AB là đường trung trực của dây MN.
Nghĩa là AB $\perp$ MN.
⤵ Ngược lại: Đường kính vuông góc với dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Chứng minh:
Ta có OM = ON = R nên tam giác OMN cân tại O.
Mà OA $\perp$ MN tại I.
Nên OA vừa là trung trực vừa là đường phân giác góc MON.
=> $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$.
Xét hai tam giác OMA và ONA có:
OM = ON = R
$\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$.
Cạnh OA chung.
Vậy $\Delta$ OMA = $\Delta$ ONA.
Suy ra AM = AN (hai cạnh tương ứng)
Do đó ⁀AM = ⁀AN
Nói cách khác A là điểm chính giữa của cung MN. (đpcm)
Trên cở sở định lí 1 và 2 về liên hệ giữa cung và dây, ta hiểu thêm về nhóm định lí liên hệ giữa đường kính, cung và dây, định lí hai cung chắn giữa hai dây song song.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon