[Toán 7] Chứng minh tam giác BFC cân.
Ngày 17/2/2017, bạn Ruby-Trinh gửi bài toán:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ tia phân giác BD của góc B (D thuộc AC). Từ D kẻ DE vuông BC (E thuộc BC). Goi giao điểm của DE và AB là F.
Chứng minh:
a) Tam giác ABD = EBD
b) DF = DC, AF = EC.
c) Tam giác AFC cân
d) AE // FC
Trước khi giải, ta nên xem lại những kiến thức về trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông, chứng minh tam giác cân, chứng minh hai đường thẳng song song.
Bài giải:
a) Chứng minh $\Delta$ ABD = $\Delta$ EBD
Xét hai tam giác vuông ABD và EBD có:
$\widehat{ABD}$ = $\widehat{EBD}$ (BD là tia phân giác góc B)
Cạnh BD chung
Vậy $\Delta$ ABD = $\Delta$ EBD (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Chứng minh: DF = CD, AF = EC.
Xét hai tam giác vuông ADF và EDC có:
AD = DE ($\Delta$ ABD = $\Delta$ EBD)
$\widehat{ADF}$ = $\widehat{EDC}$ (hai góc đối đỉnh)
Vậy $\Delta$ ADF = $\Delta$ EDC (cạnh góc vuông - góc nhọn)
Suy ra DF = DC và AF = EC (hai cạnh tương ứng)
c) Chứng minh tam giác BFC cân.
Ta có:
BA = BE (1) ($\Delta$ ABD = $\Delta$ EBD)
AF = EC (2) ($\Delta$ ADF = $\Delta$ EDC)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được BF = BC.
Suy ra tam giác BFC cân tại B.
d) Tia phân giác BD cắt AE tại I, cắt FC tại H. Khi đó:
Tam giác BAE cân tại B có BI là phân giác vừa là đường cao.
Tam giác BFC cân tại B có BH là phân giác vừa là đường cao.
Ta có $\widehat{IED}$ = $90^0$ - $\widehat{IDE}$
$\widehat{HFD}$ = $90^0$ - $\widehat{HDF}$
Mà $\widehat{IDE}$ = $\widehat{HDF}$ (hai góc đối đỉnh)
Nên $\widehat{IED}$ = $\widehat{HFD}$
Hay $\widehat{AEF}$ = $\widehat{CFE}$
Mà hai góc $\widehat{AEF}$ và $\widehat{CFE}$ ở vị trí so le trong.
Suy ra AE // FC.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ tia phân giác BD của góc B (D thuộc AC). Từ D kẻ DE vuông BC (E thuộc BC). Goi giao điểm của DE và AB là F.
Chứng minh:
a) Tam giác ABD = EBD
b) DF = DC, AF = EC.
c) Tam giác AFC cân
d) AE // FC
Trước khi giải, ta nên xem lại những kiến thức về trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông, chứng minh tam giác cân, chứng minh hai đường thẳng song song.
Bài giải:
a) Chứng minh $\Delta$ ABD = $\Delta$ EBD
Xét hai tam giác vuông ABD và EBD có:
$\widehat{ABD}$ = $\widehat{EBD}$ (BD là tia phân giác góc B)
Cạnh BD chung
Vậy $\Delta$ ABD = $\Delta$ EBD (cạnh huyền - góc nhọn)
 |
| Chứng minh tam giác BFC cân. |
Xét hai tam giác vuông ADF và EDC có:
AD = DE ($\Delta$ ABD = $\Delta$ EBD)
$\widehat{ADF}$ = $\widehat{EDC}$ (hai góc đối đỉnh)
Vậy $\Delta$ ADF = $\Delta$ EDC (cạnh góc vuông - góc nhọn)
Suy ra DF = DC và AF = EC (hai cạnh tương ứng)
c) Chứng minh tam giác BFC cân.
Ta có:
BA = BE (1) ($\Delta$ ABD = $\Delta$ EBD)
AF = EC (2) ($\Delta$ ADF = $\Delta$ EDC)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được BF = BC.
Suy ra tam giác BFC cân tại B.
d) Tia phân giác BD cắt AE tại I, cắt FC tại H. Khi đó:
Tam giác BAE cân tại B có BI là phân giác vừa là đường cao.
Tam giác BFC cân tại B có BH là phân giác vừa là đường cao.
Ta có $\widehat{IED}$ = $90^0$ - $\widehat{IDE}$
$\widehat{HFD}$ = $90^0$ - $\widehat{HDF}$
Mà $\widehat{IDE}$ = $\widehat{HDF}$ (hai góc đối đỉnh)
Nên $\widehat{IED}$ = $\widehat{HFD}$
Hay $\widehat{AEF}$ = $\widehat{CFE}$
Mà hai góc $\widehat{AEF}$ và $\widehat{CFE}$ ở vị trí so le trong.
Suy ra AE // FC.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon