Giải bài luyện tập diện tích hình chữ nhật.
Nếu so sánh diện tích của hình chữ nhật và diện tích hình vuông có cùng chu vi ta nhận thấy diện tích hình vuông bao giờ cũng lớn nhất. Vì sao lại như vậy, ta cùng tìm hiểu trong phần giải bài luyện tập diện tích hình chữ nhật hôm nay.
Bài giải:
Diện tích tam giác ABE bằng:
$S_{\Delta ABE}$ = $\frac{1}{2}$AB.AE = $\frac{1}{2}$12.x = 6x ($cm^2$)
Diện tích hình vuông ABCD bằng:
$S_{ABCD}$ = $AB^2$ = $12^2$ = 144 ($cm^2$)
Theo đề bài:
$S_{\Delta ABE}$ = $\frac{1}{3}$$S_{ABCD}$
<=> 6x = $\frac{1}{3}$144
<=> 6x = 48 <=> x = 8
Vậy x = 8 cm.
Gợi ý: Sử dụng định lí Pi-ta-go.
Bài giải:
Tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền là a, độ dài hai cạnh góc vuông là b và c.
Khi đó tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông là:
$b^2$ + $c^2$
Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền là $a^2$.
Theo định lí Pi-ta-go, ta có: $a^2$ = $b^2$ + $c^2$.
Vậy tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền.
a) Một tam giác cân
b) Một hình chữ nhật
c) Một hình bình hành.
Diện tích của các hình này có bằng nhau không? Vì sao?
Bài giải:
a) Với hai tam giác cắt ra từ tấm bìa, ta có hai cách ghép để tạo thành một tam giác cân:
b) Để tạo thành hình chữ nhật, với hai tấm bìa trên, ta chỉ có một cách ghép:
c) Cũng với hai tấm bìa hình tam giác như trên, ta sẽ ghép được hai hình bình hành như sau:
Diện tích các hình này bằng nhau vì cùng bằng tổng diện tích hai tam giác cắt từ tấm bìa.
Bài giải:
- Hình a là hình chữ nhật, có diện tích bằng 2 . 3 = 6 (đơn vị diện tích)
- Hình b:
Vẽ thêm 2 đoạn thẳng như hình vẽ. Khi đó diện tích hình bình hành này bằng tổng diện tích của hai tam giác vuông và diện tích hình vuông.
Diện tích hai tam giác vuông bằng 2.$\frac{1}{2}$.1.2 = 2 (đvdt)
Diện tích hình vuông bằng: 2.2 = 4 (đvdt)
Vậy diện tích hình bình hành ở hình b bằng 2 + 4 = 6 (đvdt)
- Hình c:
Vẽ thêm một đoạn thẳng như hình vẽ. Khi đó diện tích hình bình hành bằng tổng diện tích của hai tam giác vuông: 2.$\frac{1}{2}$.3.2 = 6 (đvdt)
Bài giải:
Dựa vào tính chất 1 và 2 của diện tích đa giác để chứng minh bài toán này.
Ta có $\Delta$ ABC = $\Delta$ CDA (vì ABCD là hcn, AC là đường chéo)
Suy ra $S_{\Delta ABC}$ = $S_{\Delta CDA}$ (1) (theo tính chất diện tích đa giác)
Ta cũng có AFEH là hình chữ nhật (vì FG // AD, HK // AB)
=> $\Delta$ AFE = $\Delta$ AHE => $S_{\Delta AFE}$ = $S_{\Delta AHE}$ (2)
Tương tự EKCG là hình chữ nhật => $\Delta$ EKC = $\Delta$ EGC => $S_{\Delta EKC}$ = $S_{\Delta EGC}$ (3)
Từ (1), (2), (3) trừ vế theo vế, ta có:
$S_{\Delta ABC}$ - $S_{\Delta AFE}$ - $S_{\Delta EKC}$ = $S_{\Delta CDA}$ - $S_{\Delta AHE}$ - $S_{\Delta EGC}$
<=> $S_{\Delta ABC}$ - ($S_{\Delta AFE}$ + $S_{\Delta EKC}$) = $S_{\Delta CDA}$ - ($S_{\Delta AHE}$ + $S_{\Delta EGC}$)
<=> $S_{hcn(EFBK)}$ = $S_{hcn(EGDH)}$ (đpcm)
Bài giải:
Diện tích hình chữ nhật bằng: 700 . 400 = 280 000 ($m^2$)
Ta có 1$km^2$ = 1 000 000 $m^2$
1ha = 10 000 $m^2$
1a = 100 $m^2$
Vậy diện tích đám đất bằng 280 000$m^2$ = 0,28$km^2$ = 28ha = 2800a.
a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy?
b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình vuông như vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật và diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ. Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất?
Bài giải:
a) Hình chữ nhật ABCD với kích thước 5cm và 3cm có:
Diện tích $S_{hcnABCD}$ = 5 . 3 = 15 ($cm^2$)
Chu vi $C_{hcnABCD}$ = 2(5 + 3) = 16cm
Như vậy, ta có thể tìm và vẽ được vô số hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD, chẳng hạn:
- Hình chữ nhật có kích thước 9cm và 1cm có:
S = 9 . 1 = 9 $cm^2$ và C = 2(9 + 1) = 20 cm.
- Hình chữ nhật có kích thước 7cm và 2cm có:
S = 7 . 2 = 14 $cm^2$ và C = 2(7 + 2) = 18 cm
- Hình chữ nhật có kích thước 9cm và 1,2cm có:
S = 9 . 1,2 = 10,8 $cm^2$ và C = 2(9 + 1,2) = 20,4 cm
b) Tìm hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật.
Với a là cạnh hình vuông, ta có chu vi hình vuông bằng 4a.
Để chu vi hình vuông bằng chu vi hình chữ nhật thì 4a = 16 => a = 4 cm.
Ta có:
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng 15 $cm^2$.
Diện tích hình vuông có cùng chu vi bằng $a^2$ = $4^2$ = 16 $cm^2$
Suy ra $S_{hcnABCD}$ < $S_{hình vuông}$.
Như vậy, trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Chứng minh:
Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là a và b (a; b > 0)
=> $S_{hcn}$ = a . b
Cạnh hình vuông có cùng chu vi với hình chữ nhật là $\frac{a + b}{2}$
=> $S_{hv}$ = $(\frac{a + b}{2})^2$ = $(\frac{(a + b)^2}{4})^2$
Ta có $S_{hv}$ - $S_{hcn}$ = $(\frac{(a + b)^2}{4})^2$ - ab = $(\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4ab})^2$ = $(\frac{(a - b)^2}{4})^2$ $\geq$ 0
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 9 trang 119 sgk hình học 8 tập 1.
ABCD là một hình vuông cạnh 12cm, AE = xcm (h.123). Tính x sao cho diện tích tam giác ABE bằng $\frac{1}{3}$ diện tích hình vuông ABCD.Bài giải:
 |
| Hình vuông ABCD có cạnh 12cm. |
Diện tích tam giác ABE bằng:
$S_{\Delta ABE}$ = $\frac{1}{2}$AB.AE = $\frac{1}{2}$12.x = 6x ($cm^2$)
Diện tích hình vuông ABCD bằng:
$S_{ABCD}$ = $AB^2$ = $12^2$ = 144 ($cm^2$)
Theo đề bài:
$S_{\Delta ABE}$ = $\frac{1}{3}$$S_{ABCD}$
<=> 6x = $\frac{1}{3}$144
<=> 6x = 48 <=> x = 8
Vậy x = 8 cm.
Giải bài 10 trang 119 sgk hình học 8 tập 1.
Cho một tam giác vuông. Hãy so sánh tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông với diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền.Gợi ý: Sử dụng định lí Pi-ta-go.
Bài giải:
 |
| So sánh tổng diện tích hai hình vuông. |
Tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền là a, độ dài hai cạnh góc vuông là b và c.
Khi đó tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông là:
$b^2$ + $c^2$
Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền là $a^2$.
Theo định lí Pi-ta-go, ta có: $a^2$ = $b^2$ + $c^2$.
Vậy tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền.
Giải bài 11 trang 119 sgk hình học 8 tập 1.
Cắt hai tam giác vuông từ một tấm bìa. Hãy ghép hai tam giác đó để tạo thành:a) Một tam giác cân
b) Một hình chữ nhật
c) Một hình bình hành.
Diện tích của các hình này có bằng nhau không? Vì sao?
Bài giải:
a) Với hai tam giác cắt ra từ tấm bìa, ta có hai cách ghép để tạo thành một tam giác cân:
 |
| Ghép thành tam giác cân. |
 |
| Ghép thành hình vuông. |
 |
| Ghép thành hình bình hành, |
Giải bài 12 trang 119 sgk hình học 8 tập 1.
Tính diện tích của các hình dưới đây (h.124) (mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích.)Bài giải:
 |
| Hình 124. |
- Hình a là hình chữ nhật, có diện tích bằng 2 . 3 = 6 (đơn vị diện tích)
- Hình b:
Vẽ thêm 2 đoạn thẳng như hình vẽ. Khi đó diện tích hình bình hành này bằng tổng diện tích của hai tam giác vuông và diện tích hình vuông.
Diện tích hai tam giác vuông bằng 2.$\frac{1}{2}$.1.2 = 2 (đvdt)
Diện tích hình vuông bằng: 2.2 = 4 (đvdt)
Vậy diện tích hình bình hành ở hình b bằng 2 + 4 = 6 (đvdt)
- Hình c:
Vẽ thêm một đoạn thẳng như hình vẽ. Khi đó diện tích hình bình hành bằng tổng diện tích của hai tam giác vuông: 2.$\frac{1}{2}$.3.2 = 6 (đvdt)
Giải bài 13 trang 119 sgk hình học 8 tập 1.
Cho hình 125, trong đó ABCD là hình chữ nhật, E là một điểm bất kì nằm trên đường chéo AC, FG // AD và HK // AB. Chứng minh rằng hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có cùng diện tích.Bài giải:
 |
| ABCD là hình chữ nhật. |
Dựa vào tính chất 1 và 2 của diện tích đa giác để chứng minh bài toán này.
Ta có $\Delta$ ABC = $\Delta$ CDA (vì ABCD là hcn, AC là đường chéo)
Suy ra $S_{\Delta ABC}$ = $S_{\Delta CDA}$ (1) (theo tính chất diện tích đa giác)
Ta cũng có AFEH là hình chữ nhật (vì FG // AD, HK // AB)
=> $\Delta$ AFE = $\Delta$ AHE => $S_{\Delta AFE}$ = $S_{\Delta AHE}$ (2)
Tương tự EKCG là hình chữ nhật => $\Delta$ EKC = $\Delta$ EGC => $S_{\Delta EKC}$ = $S_{\Delta EGC}$ (3)
Từ (1), (2), (3) trừ vế theo vế, ta có:
$S_{\Delta ABC}$ - $S_{\Delta AFE}$ - $S_{\Delta EKC}$ = $S_{\Delta CDA}$ - $S_{\Delta AHE}$ - $S_{\Delta EGC}$
<=> $S_{\Delta ABC}$ - ($S_{\Delta AFE}$ + $S_{\Delta EKC}$) = $S_{\Delta CDA}$ - ($S_{\Delta AHE}$ + $S_{\Delta EGC}$)
<=> $S_{hcn(EFBK)}$ = $S_{hcn(EGDH)}$ (đpcm)
Giải bài 14 trang 119 sgk hình học 8 tập 1.
Một đám đất hình chữ nhật dài 700m, rộng 400m. Hãy tính diện tích đám đất đó theo đơn vị $m^2$, $km^2$, a, ha.Bài giải:
Diện tích hình chữ nhật bằng: 700 . 400 = 280 000 ($m^2$)
Ta có 1$km^2$ = 1 000 000 $m^2$
1ha = 10 000 $m^2$
1a = 100 $m^2$
Vậy diện tích đám đất bằng 280 000$m^2$ = 0,28$km^2$ = 28ha = 2800a.
Giải bài 15 trang 119 sgk hình học 8 tập 1.
Đố: Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cma) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy?
b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình vuông như vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật và diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ. Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất?
Bài giải:
a) Hình chữ nhật ABCD với kích thước 5cm và 3cm có:
Diện tích $S_{hcnABCD}$ = 5 . 3 = 15 ($cm^2$)
Chu vi $C_{hcnABCD}$ = 2(5 + 3) = 16cm
Như vậy, ta có thể tìm và vẽ được vô số hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD, chẳng hạn:
- Hình chữ nhật có kích thước 9cm và 1cm có:
S = 9 . 1 = 9 $cm^2$ và C = 2(9 + 1) = 20 cm.
- Hình chữ nhật có kích thước 7cm và 2cm có:
S = 7 . 2 = 14 $cm^2$ và C = 2(7 + 2) = 18 cm
- Hình chữ nhật có kích thước 9cm và 1,2cm có:
S = 9 . 1,2 = 10,8 $cm^2$ và C = 2(9 + 1,2) = 20,4 cm
b) Tìm hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật.
Với a là cạnh hình vuông, ta có chu vi hình vuông bằng 4a.
Để chu vi hình vuông bằng chu vi hình chữ nhật thì 4a = 16 => a = 4 cm.
Ta có:
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng 15 $cm^2$.
Diện tích hình vuông có cùng chu vi bằng $a^2$ = $4^2$ = 16 $cm^2$
Suy ra $S_{hcnABCD}$ < $S_{hình vuông}$.
Như vậy, trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Chứng minh:
Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là a và b (a; b > 0)
=> $S_{hcn}$ = a . b
Cạnh hình vuông có cùng chu vi với hình chữ nhật là $\frac{a + b}{2}$
=> $S_{hv}$ = $(\frac{a + b}{2})^2$ = $(\frac{(a + b)^2}{4})^2$
Ta có $S_{hv}$ - $S_{hcn}$ = $(\frac{(a + b)^2}{4})^2$ - ab = $(\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4ab})^2$ = $(\frac{(a - b)^2}{4})^2$ $\geq$ 0
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Xem bài trước: Giải bài tập diện tích hình chữ nhật.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon