Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Khi giải một phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, suy nghĩ đầu tiên là phải đưa phương trình đó về phương trình không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Nhưng bằng cách nào, bài học hôm nay sẽ giúp các bạn giải quyết vấn đề đó.
$ \left | a \right | $ = a khi a $\geq$ 0
$ \left | a \right | $ = -a khi a < 0
Ví dụ: $ \left | 3 \right | $ = 3 , $ \left | -5 \right | $ = -(-5) = 5
$ \left | x \right | $ = $\left[ \,\begin{matrix}x\ nếu\ x\ \geq 0 \\ -x \ nếu \ x < 0 \end{matrix}\right.$
Bước 2: Giải các phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối.
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm thích hợp.
Bước 4: Kết luận nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình $ \left | 2x \right | $ = x + 6 (1)
Ta có: $ \left | 2x \right | $ = 2x khi 2x $\geq$ 0 hay x $\geq$ 0
$ \left | 2x \right | $ = -2x khi 2x < 0 hay x < 0
Để giải phương trình (1) ta quy về giải hai phương trình:
a) 2x = x + 6 với x $\geq$ 0
Ta có 2x = x + 6 <=> 2x - x = 6 <=> x = 6
Giá trị x = 6 thỏa mãn điều kiện x $\geq$ 0 nên x = 6 là nghiệm của phương trình (1)
b) -2x = x + 6 với điều kiện x < 0
Ta có -2x = x + 6 <=> 3x = -6 <=> x = -2
Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x < 0 nên x = -2 là nghiệm của phương trình (1)
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {-2 ; 6}
Ví dụ 2: Giải phương trình $ \left | x - 3 \right | $ = 9 - 2x (2)
Ta có $ \left | x - 3 \right | $ = x - 3 khi x - 3 $\geq$ 0 hay x $\geq$ 3
$ \left | x - 3 \right | $ = -(x - 3) khi x - 3 < 0 hay x < 3
Để giải phương trình (2) ta quy về giải hai phương trình:
a) x - 3 = 9 - 2x với điều kiện x $\geq$ 3
Ta có x - 3 = 9 - 2x <=> 3x = 12 <=> x = 4
Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện x $\geq$ 3 nên x = 4 là nghiệm của phương trình (2)
b) -(x - 3) = 9 - 2x <=> -x + 3 = 9 - 2x <=> x = 6
Giá trị x = 6 không thỏa mãn điều kiện x < 3 nên x = 6 là không phải là nghiệm của phương trình (2)
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S = {4}
# $ \left | A \right | $ $\leq$ B <=> -B $\leq$ A $\leq$ B
# $ \left | A \right | $ $\geq$ B <=> $\left[ \,\begin{matrix}A \geq B \\ A < -B \end{matrix}\right.$
# $ \left | A \right | $ $\geq$ $ \left | B \right | $ <=> $A^2$ - $B^2$ $\geq$ 0 <=> (A + B)(A - B) $\geq$ 0
Nhắc lại về giá trị tuyệt đối
Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu $ \left | a \right | $, được định nghĩa như sau:$ \left | a \right | $ = a khi a $\geq$ 0
$ \left | a \right | $ = -a khi a < 0
Ví dụ: $ \left | 3 \right | $ = 3 , $ \left | -5 \right | $ = -(-5) = 5
Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Bước 1: Áp dụng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.$ \left | x \right | $ = $\left[ \,\begin{matrix}x\ nếu\ x\ \geq 0 \\ -x \ nếu \ x < 0 \end{matrix}\right.$
Bước 2: Giải các phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối.
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm thích hợp.
Bước 4: Kết luận nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình $ \left | 2x \right | $ = x + 6 (1)
Ta có: $ \left | 2x \right | $ = 2x khi 2x $\geq$ 0 hay x $\geq$ 0
$ \left | 2x \right | $ = -2x khi 2x < 0 hay x < 0
Để giải phương trình (1) ta quy về giải hai phương trình:
a) 2x = x + 6 với x $\geq$ 0
Ta có 2x = x + 6 <=> 2x - x = 6 <=> x = 6
Giá trị x = 6 thỏa mãn điều kiện x $\geq$ 0 nên x = 6 là nghiệm của phương trình (1)
b) -2x = x + 6 với điều kiện x < 0
Ta có -2x = x + 6 <=> 3x = -6 <=> x = -2
Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x < 0 nên x = -2 là nghiệm của phương trình (1)
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {-2 ; 6}
Ví dụ 2: Giải phương trình $ \left | x - 3 \right | $ = 9 - 2x (2)
Ta có $ \left | x - 3 \right | $ = x - 3 khi x - 3 $\geq$ 0 hay x $\geq$ 3
$ \left | x - 3 \right | $ = -(x - 3) khi x - 3 < 0 hay x < 3
Để giải phương trình (2) ta quy về giải hai phương trình:
a) x - 3 = 9 - 2x với điều kiện x $\geq$ 3
Ta có x - 3 = 9 - 2x <=> 3x = 12 <=> x = 4
Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện x $\geq$ 3 nên x = 4 là nghiệm của phương trình (2)
b) -(x - 3) = 9 - 2x <=> -x + 3 = 9 - 2x <=> x = 6
Giá trị x = 6 không thỏa mãn điều kiện x < 3 nên x = 6 là không phải là nghiệm của phương trình (2)
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S = {4}
Một số tính chất quan trọng cần ghi nhớ
# Nếu trong phương trình có nhiều dấu giá trị tuyệt đối có thể xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.# $ \left | A \right | $ $\leq$ B <=> -B $\leq$ A $\leq$ B
# $ \left | A \right | $ $\geq$ B <=> $\left[ \,\begin{matrix}A \geq B \\ A < -B \end{matrix}\right.$
# $ \left | A \right | $ $\geq$ $ \left | B \right | $ <=> $A^2$ - $B^2$ $\geq$ 0 <=> (A + B)(A - B) $\geq$ 0
Xem bài trước: Luyện tập giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon